第11回 手間のかかる近道(前編)

中学二年生のユーリが《お兄ちゃん》に3の倍数のクイズを出す。そのうちに数式を使った数学トークが始まって…

の部屋

ユーリ「お兄ちゃん、クイズ出したげるよ」

「その《たげる》は何?」

ユーリ「まーいいじゃん。あのね、一億二千三百四十五万六千七百八十九は《 $3$ の倍数》かにゃ?」

問題
一億二千三百四十五万六千七百八十九は《 $3$ の倍数》か。
ユーリはいきなり猫語で質問を繰り出してくる。 ユーリは中学二年生。従妹いとこだ。 小さい頃からいっしょに遊んでいたから、 高校二年生ののことをいつも《お兄ちゃん》と呼ぶ。 の部屋に遊びに来ては本を読んだり、クイズをしたり……

「ん? 要するに $123456789$ ってこと?」

ユーリ「そーそー。さーどーだ!」

「 $3$ の倍数かどうかだろ? 簡単だよ。 $123456789$ は $3$ の倍数だ」

ユーリ「ちぇー、つまんないの。お兄ちゃん、即答しないでよ」

解答
一億二千三百四十五万六千七百八十九は《 $3$ の倍数》である。

「こんなの基本だよ。《 $3$ の倍数かどうか》を知りたかったら、《各桁かくけたの数字をすべて足し合わて $3$ の倍数になるかどうか》を調べればいい、簡単」

$3$ の倍数かどうかを調べる方法
《 $3$ の倍数かどうか》を調べるには、 《各桁の数字をすべて足し合わせて $3$ の倍数になるかどうか》を調べる。
たとえば、 $123456789$ の各桁の数字をすべて足し合わせると、 $$ 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 $$ となる。 $45$ は $3$ の倍数だから、 $123456789$ も $3$ の倍数になる。

ユーリ「ちぇっ、やっぱり知ってたか」

「ユーリ。最近、言葉使いが乱暴になってないか?」

ユーリ「そんなことないですよー。ちゃーんとわきまえてございますもん」

「日本語へんだぞ」

ユーリ「でも、お兄ちゃん、暗算早いよね。 $1+2+3+4+5+6+7+8+9$ をそんなに早く計算できるの?」

「ん? いや、覚えてたから」

ユーリ「へ?」

「 $1$ から $10$ まで足した数は $55$ になるって、暗記してるから。 $55$ から $10$ を引いて $45$ だろ? だから $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ 」

ユーリ「なにそのマニアックな発言」

「マニアックじゃないって……ところで何で急に $123456789$ のクイズが出てきたんだ?」

ユーリ「あのね、授業でその話が出たから。 $3$ の倍数の話。へーって思ったの」

「そうか……あれ? ところでユーリは自分では納得してるの?」

ユーリ「納得ってどーゆーこと?」

「自分で《確かにそうだ》と確認したかどうかだよ。《各桁をぜんぶ足して $3$ の倍数になるかどうか》っていうのは、 有名な $3$ の倍数の判定方法だけど、 どうしてこのやり方でいいのか、納得してる?」

ユーリ「え……」

ユーリは困った表情になってポニーテールの髪をいじりだした。

数学的に証明する

「《各桁をぜんぶ足して $3$ の倍数になるかどうか》が $3$ の倍数の判定方法になることは、きちんと数学的に証明しょうめいできるよ。中学生でも大丈夫」

ユーリ「《しょーめい》って何?」

「数学の証明っていうのは、与えられた条件から、ある数学的な主張までの道筋を論理的に示すことだよ。 《たぶんこうなんじゃないかな》や《経験上こうなんだよ》じゃなくて、 《論理的に絶対これが成り立つ》と示すことが証明だね」

ユーリ「ほー! 論理的に絶対って? ユーリ、証明、好きかも!」

「きっと好きだと思うよ」

ユーリは《バシっとわかる》のが好きだからな。

ユーリ「証明ってどうするの?」

「話を《 $3$ 桁の正の整数》にしぼって考えることにしよう」

証明したいこと
$N$ は $3$ 桁の正の整数とする( $N = 100, 101, 102, \ldots, 999$ )。
$N$ の各桁の数字をすべて足した数が $3$ の倍数ならば、 $N$ は $3$ の倍数である。

ユーリ「ふーん」

「いや、ふーん、じゃなくて、これを証明するんだよ」

ユーリ「わかんない。ねー、お兄ちゃん。なんでこんなややこしい話になっちゃうの?  $N$ とか出てきてやだな」

「 $N$ が出てくるのは、問題の内容が正確に伝わるようにするためだよ」

ユーリ「あのね、たとえば $123$ とか考えちゃだめなの?」

「もちろんいいよ。具体的な数で考えたいんだね。それはとても大事なことだ」

ユーリ「たとえばね、 $123$ という数だと、 $1 + 2 + 3 = 6$ で、 $6$ は $3$ の倍数。 それから $123$ は $3$ で割ると…えーと… $41$ かにゃ? うん、 $123 \div 3 = 41$ で割り切れる。オッケー! いいじゃん」

「……うん、ユーリはいま、《 $N$ の各桁の数字をすべて足した数が $3$ の倍数ならば、 $N$ は $3$ の倍数である。》 を、具体的な $N = 123$ について確かめたんだね」

ユーリ「ま、そーだよー」

「それは正しいし、いま問題になっていることの具体例になっている。《例示は理解の試金石》だ。ユーリは問題の中心的なアイディアをよく理解しているといえる」

ユーリ「えへん」

「でもね」

ユーリ「?」

「いまやりたいのは、そこからもう一歩進むことだよ。つまり、もっと《一般的なこと》を証明したいんだ」

ユーリ「一般的なこと?」

Photo by KristinNador.

「そう。ユーリは $N = 123$ という具体的な数で調べた。 でも $N = 100, 101, 102, \ldots, 999$ のように $3$ 桁の数すべてについて 確かめるわけにはいかないよね」

ユーリ「なんで?  $124$ でも $567$ でも $999$ でも、確かめられるよ?」

「わかった、お兄ちゃんの言い方が悪かった。確かめることはできる。でも、とても手間がかかるんだ。 $100$ から $999$ までの数一つ一つを調べていくのは不可能じゃない。でも、手間がかかる」

ユーリ「ふんふん。まー、めんどーだよね」

「具体的に一つ一つ調べるのに手間がかかるとき、数学では文字を使うことがある」

ユーリ「文字を使う? 数学の問題なのに?」

「そう。《文字の導入による一般化》というんだよ。 $3$ 桁の正の整数 $N$ は、 $a,b,c$ という文字を使って次のように書ける」

《 $3$ 桁の正の整数 $N$ 》を文字 $a,b,c$ を使って書く。
$$ N = 100a + 10b + c $$
ただし、 $a,b,c$ はそれぞれ、
$a = 1,2,3,4,5,6,7,8,9$ (のいずれか)
$b = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ (のいずれか)
$c = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ (のいずれか)
とする。

ユーリ「出たな数式マニア」

「マニアというほどの数式じゃないよ。 $100a + 10b + c$ という数式を、 掛け算の記号を使って書ける?」

ユーリ「書けるよー。こうでしょ?」

$$ 100 \times a + 10 \times b + c $$

「そうそう。《 $100$ 倍した $a$ と、 $10$ 倍した $b$ と、 $c$ を足した数》を表している」

ユーリ「ねー、でも、この $a$ って何?」

「それはとてもいい疑問だよ、ユーリ。いま $a,b,c$ は $3$ 桁の数の各桁を表している。 $a$ は百の位の数字、 $b$ は十の位の数字、 $c$ は一の位の数字だよ」

ユーリ「どーして?」

「え、どーしてって?」

自分で定義する

ユーリ「どーして、そんなことがわかるの?  $a$ が百の位とかさ」

「あ、そうじゃない、そうじゃない。あのね、 $a$ を百の位の数字、 $b$ を十の位の数字、 $c$ を一の位の数字を表すと決めたのはお兄ちゃんなんだよ。 いま、そういうふうに自分で決めたんだ。 これからの証明のために自分で定義ていぎしたんだよ」

ユーリ「そーゆーのって自分で勝手に決めてもいーの?」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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xrekkusu こういう数学の話をうまく書けるようになりたい - #miteru 5年以上前 replyretweetfavorite