第116回 イチをイチと呼ぶために(後編)

「こないだの《ゼロみたいな行列》の話! ユーリ、発見したよ!」とユーリは言った。
登場人物紹介
:数学が好きな高校生。
ユーリのいとこの中学生。のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだけれど飽きっぽい。

$ \newcommand{\MATAWA}{\mathrel{\text{または}}} \newcommand{\KATSU}{\mathrel{\text{かつ}}} \newcommand{\LEFTRIGHTARROW}{\quad\Longleftrightarrow\quad} \newcommand{\LEFTARROW}{\quad\Longleftarrow\quad} \newcommand{\RIGHTARROW}{\quad\Longrightarrow\quad} \newcommand{\MAT}[4]{\left(\begin{array}{cc} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{array} \right)} \newcommand{\UL}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\UUL}[1]{\underline{\underline{#1}}} \newcommand{\RELATED}{\dashleftarrow\dashrightarrow} $

僕の部屋

ユーリは行列の積の話を続けている。
$$ \begin{array}{ccc} \text{《数の世界》} & & \text{《行列の世界》} \\ 0 & \RELATED & O = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \\ 1 & \RELATED & I = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\ a & \RELATED & A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \\ x & \RELATED & X = \left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right) \\ ax = 1 \quad(a \neq 0) & \RELATED & AX = I \quad (ad - bc \neq 0) \\ x = a^{-1} & \RELATED & X = A^{-1} \\ aa^{-1} = 1 & \RELATED & AA^{-1} = I \\ \end{array} $$

「 $aa^{-1} = 1$ になる $a^{-1}$ のことを《 $a$ の逆数》っていうよね。それと同じように、 $AA^{-1} = I$ になる $A^{-1}$ のことを《 $A$ の逆行列》っていうんだ」

ユーリ「ぎゃくぎょうれつ……逆数みたいな行列」

「ちゃんといえば、 $AX = I$ になるような $X$ のことだね。このときの $X$ を《 $A$ の逆行列》というんだよ。そして、 $A^{-1}$ と書く」

ユーリ「ふんふん」

「 $a$ の逆数が $a \neq 0$ のときだけ存在するのと同じように、 $A$ の逆行列は、 $ad - bc \neq 0$ のときだけ存在することになるね」

ユーリ「ねー、でも、そもそも $ad - bc$ って何?」

「うん、これは行列式ぎょうれつしきだよ」

ユーリ「?」

「何か変な感じ?」

ユーリ「『何をいまさら』とゆー感じ。だって、ずっと行列の式を書いてきたじゃん」

「ああ、行列式は、行列が出てくる数式のことじゃない。 $ad - bc$ という式のことを行列式っていうんだよ。 $ad - bc$ は、《行列 $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ の行列式》という名前なんだ」

行列式
行列 $A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ に対して、式 $$ ad - bc $$ のことを $A$ の行列式と呼ぶ。

ユーリ「ふーん……」

「 $a,b,c,d$ が実数のとき $ad - bc$ は実数だから、行列式は行列じゃなくて、ただの実数だよ」

ユーリ「それはわかる」

「だから、行列式という言葉を使うなら、《 $A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ の逆行列 $A^{-1}$ は、 $A$ の行列式 $ad - bc$ が $0$ に等しくないときだけ存在する》といえるね」

ユーリ「……えーと」

「納得いかない? だって、ほら、 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ はこうだろ?」

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) $$

ユーリ「……」

「だから、 $ad - bc = 0$ だったら、逆行列は存在できない。ゼロ割りになるし」

ユーリ「なんか変だよ……あのね『 $ad - bc = 0$ だったら、 $\dfrac{1}{ad - bc}$ はゼロ割りになる』はわかる」

「それで?」

ユーリ「だから、『 $ad - bc = 0$ だったら、 $\dfrac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$ という行列が存在しない』もわかる」

「うん」

ユーリ「それから、『 $ad - bc \neq 0$ だったら、 $\dfrac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$ が $A$ の逆行列』というのもわかる。計算したから(第115回参照)」

「じゃあ、何がわからないの?」

ユーリ「えーとねー。『 $ad - bc = 0$ だったら、 $A$ の逆行列が存在しない』かどーかがわかんない」

「なるほど! その通りだね。ユーリは賢いなあ。確かに、ユーリのいう通りだ。 僕たちは $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ が成り立つような $\left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right)$ ……つまり逆行列……を計算で求めようとしていた (第115回参照)。 そして、 $ad - bc \neq 0$ のとき、 $$ \left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right) = \frac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) $$ という行列が求める逆行列だとわかった」

ユーリ「うんうん」

「でも、 $ad - bc = 0$ のときに逆行列が存在しないことは証明していないね。 $\dfrac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$ は使えないけれど、 他の形をした行列が $A$ の逆行列になるかもしれない……」

ユーリ「そー! そーなの! そこが引っかかってたの!」

「ユーリのその《引っかかり》はどうやったら解消するだろう」

ユーリ「《ユーリの問題》を解く……」

ユーリの問題
実数 $a,b,c,d$ に対して、 $$ ad - bc = 0 $$ が成り立つとする。
このとき、行列 $A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ の逆行列は存在しないことを証明せよ。
ただし、 $A$ の逆行列とは、 $AX = I$ を満たす行列 $X$ のことである。

ユーリ「これは、どーすんのかな……たぶんだけど、 $ad - bc = 0$ を使うわけだよね」

「そうだね。 $ad - bc = 0$ は重要な条件だ」

ユーリ「 $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ で $ad - bc = 0$ というと、 $ad = bc$ ということだから、うーん……つまり、 $ad$ と $bc$ が等しい」

「それはそう」

ユーリ「でも、 $ad$ と $bc$ が等しいのが、逆行列とどう関係あるかわかんない」

「たとえば」

ユーリ「ちょっと待って! 別のやりかた考える。……えーと、 $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ と $\left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right)$ の積はこーだよね?」

$$ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} aw+by & ax+bz \\ cw+dy & cx+dz \end{array} \right) $$

「うん、これは正しい式だよ」

ユーリ「だから、えーと、わかった! もっかいこーゆー連立方程式を解いてみればいいんだ!」

$$ \left\{\begin{array}{llll} aw + by &= 1 && \cdots \text{(1)} \\ ax + bz &= 0 && \cdots \text{(2)} \\ cw + dy &= 0 && \cdots \text{(3)} \\ cx + dz &= 1 && \cdots \text{(4)} \\ ad - bc &= 0 && \cdots \text{(5)} \\ \end{array}\right. $$

「……」

ユーリ「そんでね、 $ad - bc = 0$ じゃん? だから、 $ad = bc$ になって……うーん」

「いま証明したいのは $ad - bc = 0$ のときに、こういう $w,x,y,z$ が《存在しない》ことをいわなきゃいけないからつらいよね」

ユーリ「うん……連立方程式が《解けない》って言わなきゃいけないんだ……」

「ぜんぜん違う方向から考えてみようか」

ユーリ「ぜんぜん違う方向?」

「うん。《 $A$ の逆行列を求めよう》というのをちょっと忘れて、《 $A$ について詳しく調べよう》と考えてみる。 テトラちゃんだったら『行列 $A$ さんとお友達になる』と言いそうな方法だよ」

ユーリ「詳しく調べる……って?」

「たとえば、 $A^2$ がどうなるかを調べる。 $A^2$ というのは、 $AA$ という積のことだよ」

ユーリ「はあ……え、 $AA$ を計算するってこと?」

$$ \begin{align*} A^2 &= AA \\ &= \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \\ &= \left(\begin{array}{cc} aa+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+dd \end{array} \right) \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & ab+bd \\ ca+cd & bc+d^2 \end{array} \right) \\ \end{align*} $$

ユーリ「へーい、できたよ」

「うん、さらに、 $ab + bd = (a+d)b$ と $ca + cd = (a+d)c$ と変形できるから、つまり、こうなる」

$$ A^2 = \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{array} \right) \qquad \cdots\text{(★)} $$

ユーリ「うん、それで?」

「 $(a+d)$ が二箇所に出てきてるよね」

ユーリ「うん、右上の $(a+d)b$ と、左下の $(a+d)c$ のとこ?」

「そこだけ抜き出すと、こんな行列が見える」

$$ \left(\begin{array}{cc} 0 & (a+d)b \\ (a+d)c & 0 \end{array} \right) = (a+d)\left(\begin{array}{cc} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \right) $$

ユーリ「?」

「 $\left(\begin{array}{cc} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \right)$ というのは $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ に似ている。つまり、 $A$ にとても似ている」

ユーリ「??」

「それを踏まえて、 $A^2 - (a+d)A$ という式を計算してみよう」

$$ \begin{align*} & A^2 - (a+d)A \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{array} \right) - (a+d)A && \text{★から} \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{array} \right) - (a+d)\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) && \text{ $(a+d)A$ の $A$ を成分で表す} \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc} (a+d)a & (a+d)b \\ (a+d)c & (a+d)d \end{array} \right) \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc-(a+d)a & 0 \\ 0 & bc+d^2-(a+d)d \end{array} \right) && \text{ $(a+d)b$ と $(a+d)c$ は引き算で消える} \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc-a^2-ad & 0 \\ 0 & bc+d^2-ad-d^2 \end{array} \right) && \text{展開した} \\ &= \left(\begin{array}{cc} -ad+bc & 0 \\ 0 & -ad+bc \end{array} \right) && \text{ $a^2$ と $d^2$ は引き算で消える} \\ &= -(ad-bc)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) && \text{ $-ad+bc = -(ad-bc)$ だから} \\ &= -(ad-bc)I && \text{単位行列 $I = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ を使って書いた} \\ \end{align*} $$

ユーリ「はあああっ?」

「要するに、この式が成り立つ」

$$ A^2 - (a+d)A = -(ad - bc)I $$

ユーリ「……」

「移項してやると、これで《ケイリー・ハミルトンの定理》を証明したことになる」

《ケイリー・ハミルトンの定理》
常に、行列 $A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ に対して、 $$ A^2 = (a+d)A - (ad - bc)I $$ が成り立つ。

ユーリ「何この《謎の数式変形》の嵐!」

「おもしろいだろ?」

ユーリ「《おもしろいだろ》じゃなくて。華麗な式変形はいーんだけど、ユーリの問題、解く話はどーなったの?」

ユーリの問題
実数 $a,b,c,d$ に対して、 $$ ad - bc = 0 $$ が成り立つとする。
このとき、行列 $A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ の逆行列は存在しないことを証明せよ。
ただし、 $A$ の逆行列とは、 $AX = I$ を満たす行列 $X$ のことである。

「 $A^2$ を成分で計算して、 $A^2 = (a+d)A - (ad-bc)I$ という式が成り立つことがわかったよね。ほら、行列式 $ad - bc$ がちゃんと出てきてる」

ユーリ「むー……確かに $ad - bc$ が出てきてるけど、ぜんぜん《ユーリの問題》が解ける気がしない」

「そんなことはないよ。考えてごらん?」

ユーリ「うーん……」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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hyuki 金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。最新回お休み。過去リンクをツイート。 https://t.co/V3kUl0R30Y https://t.co/SwDR5FYtsT 約5年前 replyretweetfavorite

hyuki 金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。最新回お休み。過去リンクをツイート。 https://t.co/V3kUl0R30Y https://t.co/SwDR5FYtsT 約5年前 replyretweetfavorite

hyuki 確かめた。確かにそうだった。忘れっぽくなってるなあ…(^_^; 5年以上前 replyretweetfavorite

mf_7712 そういえば高校では行列式を教えないから、注意しないと、逆行列とCHの定理のどちらにもad-bcがあることを見落とすんじゃないかな イチをイチと呼ぶために(後編)| 5年以上前 replyretweetfavorite