第95回 領域の利用、一気に(前編)

「数式を見たときには、そこに出てくる文字が何を表しているかをちゃんと確かめておかないといけないよ」と「僕」は言った。

第94回の続き)

$$ \newcommand{\SQRT}[1]{\sqrt{\mathstrut #1}} \newcommand{\GEQ}{\geqq} \newcommand{\LEQ}{\leqq} \newcommand{\ABS}[1]{|#1|} $$

の部屋

「ユーリ、なに遊んでるの?」

ユーリ「……」

「無言か。ゲームだな」

ユーリ「……いま忙しいから、あとで」

「ひとの部屋に来て『忙しいから』もないと思うんだけどな。何のゲーム?」

ユーリ「あっ! やられた! 話しかけないでって言ったのにー!」

「やっぱりゲームか。どんなの?」

ユーリ「お掃除ゲーム。この大きな丸いのを動かして、この小さなフワフワを食べてくんだよ。 食べてくと、この丸いのはどんどん大きくなる」

「なるほど。時間内に全部食べればいい?」

ユーリ「そーそー。でも、大きくなると、角のが食べにくくなるから、小さいうちに食べとかなきゃいけないの」

「やってみたいな」

ユーリ「お兄ちゃんは勉強で忙しいんでしょ? ……ま、一回だけなら貸したげてもいーよ」

「どれどれ……あれ? これは?」

ユーリ「うわー、いきなりレッド食べますか。それ食べるとしびれて動けなくなる。アウトー」

「知らないよ、そんなの!」

円の半径

「食べるたびにこの円は $r$ が大きくなっていくんだね」

ユーリ「アール?」

「円の半径だよ。ほら、円の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$ って書くだろ。あの $r$ だよ」

ユーリ「お兄ちゃん、こないだ円の方程式は $x^2 + y^2 = 1$ って言ってなかった?」

「それは半径が $1$ の場合だね。つまり、単位円のとき。そのときは半径 $r$ が $1$ に等しいから、 $x^2 + y^2 = r^2$ という式は、 $x^2 + y^2 = 1$ と書けることになる」

ユーリ「あーそかそか。それだけのことね」

中心が $(0,0)$ で、半径が $r$ の円の方程式
$$ x^2 + y^2 = r^2 $$

中心が $(0,0)$ で、半径が $1$ の円の方程式
$$ x^2 + y^2 = 1 $$

「ユーリのこのゲームだと、円がどんどん大きくなっていくよね。ということは、この $r$ がどんどん大きくなっていってるといえるね」

ユーリ「 $r$ が $1,2,3,\ldots$ みたいに?」

「そうそう。もちろん、そんなふうに正の整数の値を取らなくてもいいよ。 $1.5$ とか $3.7$ みたいな値でもいい。とにかく $r$ が大きくなれば、 $x^2 + y^2 = r^2$ という方程式が表す円は大きくなっていく」

ユーリ「ふーん」

半径 $r$ が大きくなると、 $x^2 + y^2 = r^2$ が表す円は大きくなる

「逆に $r$ がどんどん小さくなって……ゼロに近づけば近づくほど、 $x^2 + y^2 = r^2$ という方程式が表す円は小さくなる」

ユーリ「……」

半径 $r$ が小さくなると、 $x^2 + y^2 = r^2$ が表す円は小さくなる

「ん? 何かおかしい? そんなに難しい話はしてないよね?」

ユーリ「ねーお兄ちゃん。 $r = 0$ になったらどーなるの?」

「 $r = 0$ になったら一点になるから、ふつうは円とは呼べないね。まあ半径がゼロの円と言ってもいいけど」

ユーリ「なに急に顔赤くしてんの?」

「赤くなんかしてないよ。 $x^2 + y^2 = 0^2$ を満たすような点 $(x,y)$ は、 $(0,0)$ しかない。だからこの方程式を満たす点は原点の一点だけだよ」

ユーリ「そっから先は?」

「先って?」

ユーリ「 $r$ を小さくして、ゼロの先。マイナスになったらどーなるの?」

「マイナス! 半径は長さだからマイナスにはならないね」

ユーリ「でも、 $x^2 + y^2 = r^2$ だったら、 $r$ は二乗してるじゃん? だったら、 $r$ がマイナスでも大丈夫だよ」

「うん、それはそうだなあ。もしも $r < 0$ だとしたら、 $x^2 + y^2 = r^2$ が表している図形は、 原点が中心で半径が $\ABS{r}$ になる円と呼べるね。 半径が $r$ の絶対値ということ」

ユーリ「ふんふん。 $r$ がすごくマイナスになったら、すごく大きな円になるわけ?」

「そうなるね」

文字が表しているもの

「だから、円の方程式 $x^2 + y^2 = r^2$ を見たときには、 $r \GEQ 0$ だったら $r$ は円の半径を表しているといえるけど、 $r < 0$ だったら、 $r$ は円の半径を表しているとはいえない」

ユーリ「ふんふん」

「数式を見たときには、そこに出てくる文字が何を表しているかをちゃんと確かめておかないといけないよ」

ユーリ「おー、ひさびさの教師トーク!」

「なんだそれ」

ユーリ「 $r$ は、まあいーんだけど、 $x$ と $y$ は何を表してるの? これも文字でしょ?」

「 $x$ は点の $x$ 座標で、 $y$ は点の $y$ 座標だよ。もう少しちゃんといえば、 $x^2 + y^2 = r^2$ が表している円の、 円周上にある点の座標 $(x,y)$ を表している」

ユーリ「お兄ちゃん、そーゆーの、練習してんの?」

「そういうのって何のこと?」

ユーリ「円の半径とか点の座標とか、さくさくさくって答えるじゃん。劇の台本読むみたいに練習してんの?」

「そんなことないけど、数学の本読んだり、問題を解いたりするときに、心の中で毎回確かめているからじゃないかな。 『この式の $r$ って何だっけ』とか『ここでは $x$ は何を表しているかな』みたいに、 自分で確かめながら本を読んでいる。だから、さっと言えるんだと思うよ」

ユーリ「へー」

円を動かす

「そうだ。さっきは半径 $r$ を変えて、円を大きくしたり小さくしたりしたよね」

ユーリ「そーだね」

「今度は横に動かしてみよう。ほら、ユーリのゲームでも、大きな丸いのが動いてた。円を右に動かしてみよう」

ユーリ「ほほー」

問題1(円を動かす)
方程式 $x^2 + y^2 = r^2$ で表されている円 $O$ がある。
この円 $O$ を $x$ 軸の正の向きに $3$ だけ移動した円 $Q$ の方程式を求めよ。

「どう?」

ユーリ「この問題って円 $O$ を $3$ だけ動かすってことでしょ。だったら、 $x$ に $3$ を足せばいーんじゃないの?」

「そうなんだけど、そこをきちんと答えるのが大事。円 $O$ を動かしてできる円 $Q$ の方程式はどうなる?」

ユーリ「だから、 $x+3$ にすればいい」

「……」

ユーリ「 $(x + 3)^2 + y^2 = r^2$ じゃないの?」

「違うんだよ、ユーリ」

ユーリ「違うの?」

「違うんだ。 $(x + 3)^2 + y^2 = r^2$ だと、円は $3$ だけ左に移動してしまう。 期待した動きとは逆になってしまうんだ」

方程式 $(x+3)^2 + y^2 = r^2$ が表す図形

ユーリ「でもね、お兄ちゃん。点 $(x,y)$ を右に $3$ 動かした点は $(x+3,y)$ でしょ?」

「その通りだよ。ユーリ、それは正しい」

ユーリ「ねーお兄ちゃん。何か気分悪い」

「どうした?」

ユーリ「何だかお兄ちゃん、ユーリがまちがっているの楽しそうなんだもん」

「違う違う。お兄ちゃんはユーリがまちがうのを楽しんでいるんじゃない。お兄ちゃんも、ユーリと同じまちがいをしたの、思い出したからなんだ」

ユーリ「へー?」

「点 $(x,y)$ を右に $3$ 動かした点は $(x+3,y)$ になる。これは正しい」

点 $(x,y)$ と $(x+3,y)$ の位置関係

ユーリ「うん」

「でも、円 $x^2+y^2 = r^2$ を右に $3$ 動かした円の方程式は、 $(x+3)^2 + y^2 = r^2$ じゃなくて、 $(x-3)^2 + y^2 = r^2$ なんだ」

円 $x^2+y^2 = r^2$ と $(x-3)^2+y^2$ の位置関係

ユーリ「うわー、納得できなーい」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

shiano_blue 第96回が気になる✰ 4年弱前 replyretweetfavorite

chibio6 xy>1の時の領域は、xが正か負かで場合わけをするので、y>1/xの領域とは違いそうだ。 4年弱前 replyretweetfavorite

wed7931 最後の問題、解いてみたけど、間違えてた。他の人のtweetを見て気づいた。ケアレスミス。 4年弱前 replyretweetfavorite

aramisakihime まさに領域を「一気に」という感じでさくさく。境界を含まない例だけなのは布石でしょうか。 4年弱前 replyretweetfavorite