第94回　対象の対称な交換に好感（後編）

（第93回の続き）

$$ \newcommand{\SQRT}[1]{\sqrt{\mathstrut #1}} \newcommand{\GEQ}{\geqq} $$

図書室

テトラ「それにしても、《相加相乗平均の関係》が関数の最小値を求めるのに使えるなんて知りませんでした」

僕「いや、そんなことはなくて、問題としてよく出てくるんだけどね……それにしても $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ にあてはめるのに気付かなかったのはちょっと恥ずかしかったな……」

テトラ「以前、先輩からこの《相加相乗平均の関係》の証明を教えていただきました」

僕「そうだっけ？」

テトラ「はい、そうです。 $\left(\SQRT a - \SQRT b\right)^2$ を展開するという、とっても簡単な方法で」

僕「ああ、そうだったね」

$$ \begin{align*} \left(\SQRT a - \SQRT b\right)^2 &= \left(\SQRT a\right)^2 - 2\SQRT a \SQRT b + \left(\SQRT b\right)^2 && \text{展開した} \\ &= a - 2\SQRT a \SQRT b + \left(\SQRT b\right)^2 && \text{ $\left(\SQRT a\right)^2 = a$ だから} \\ &= a - 2\SQRT a \SQRT b + b && \text{ $\left(\SQRT b\right)^2 = b$ だから} \\ &= a - 2\SQRT{ab} + b && \text{ $\SQRT a \SQRT b = \SQRT{ab}$ だから} \\ \end{align*} $$

テトラ「それから、これで、 $\left(\SQRT a - \SQRT b\right)^2$ は実数を $2$ 乗したものなので、必ず $0$ 以上になります。ということで……」

$$ \begin{align*} \left(\SQRT a - \SQRT b\right)^2 \GEQ 0 && \text{実数の $2$ 乗は $0$ 以上だから} \\ a - 2\SQRT{ab} + b \GEQ 0 && \text{上の結果を使って左辺を書き換えた} \\ a + b \GEQ 2\SQRT{ab} && \text{ $-2\SQRT{ab}$ を右辺に移項した} \\ \dfrac{a + b}{2} \GEQ \SQRT{ab} && \text{両辺を $2$ で割った} \\ \end{align*} $$

僕「そうそう。《相加相乗平均の関係》のときに出てくる $a \GEQ 0, b \GEQ 0$ という条件は どこに出てきたかわかる？」

テトラ「はい、それも先輩に教えていただきました。 $\SQRT{a}$ や $\SQRT{b}$ と書いていて、 いまは実数で考えているのでルートの中の数は $0$ 以上という条件がいるんですよね？」

僕「そうだね。等号が成立するのは $\SQRT a - \SQRT b = 0$ のときだから、 $a = b$ のとき」

テトラ「そうですね」

僕「改めて考えると、《相加相乗平均の関係》で『等号が成立するとき』というのは大事だなあ。 それがあるから、さっきの $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ が最小値を取るところが はっきりするわけだし」

テトラ「なるほどです。ちゃんと意味があるんですね。先ほども言いましたけど、不等式の話と関数の話がつながるっておもしろいですね。 あたしは、なかなか気づけないと思いますけど……」

一般化

僕「ただ、 $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ の最小を調べるのに《相加相乗平均の関係》が使えるのは相乗平均の側が定数になるからだよ」

テトラ「どういうことでしょうか」

僕「 $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ で $a = x^2, b = \dfrac{1}{x^2}$ とすると、《相加相乗平均の関係》からこんな式がいえるよね」

$$ x^2 + \dfrac{1}{x^2} \GEQ 2 $$

テトラ「はい、そうですね」

僕「この不等式で右辺が $2$ という定数だから……つまり変数 $x$ を含んでいない式だから、最小値が $2$ といえる。もしも、 $f(x) \GEQ \text{《$ x $を含んだ式》}$ という形だったら、等号成立のときに $f(x)$ が最小値を取るなんていえないよね？」

テトラ「ええと……ああ、それはそうですね！　右辺も変化するかもしれないんですから！」

僕「テトラちゃんがさっき書いてくれた《相加相乗平均の関係》の証明の式と同じように、 $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2$ を考えてみるとはっきりするよ」

$$ \begin{align*} \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 &= x^2 - 2 \cdot \underbrace{x \cdot \dfrac{1}{x}}_{\text{ここに注目}} + \dfrac{1}{x^2} \\ &= x^2 - 2 \cdot \underbrace{1}_\text{注目} + \dfrac{1}{x^2} \\ &= x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} \\ \end{align*} $$

テトラ「なるほどです。 $x$ と $\dfrac{1}{x}$ の積が出てくるので $x$ がちょうど消し合って $1$ になるんですね」

僕「そうそう。逆数との積。そこが定数を作り出しているところなんだね」

テトラ「よくわかります。あ、ということは《ある数と逆数の差》を二乗すればいつでもそうなりますね。 たとえば $\left(\dfrac{A}{B} - \dfrac{B}{A}\right)^2$ のように……」

僕「そうだね。 $\dfrac{A^2}{B^2} + \dfrac{B^2}{A^2} \GEQ 2$ になるはずだよ……そうだ！　関数の話も《一般化》できるよ」

テトラ「一般化？」

僕「たとえば $F$ を $x$ の関数だとすると、 $F^2 + \dfrac{1}{F^2}$ という式を作って、 新しい $x$ の関数だと思うと、この関数の最小値は $2$ になるね！」

テトラ「なるほどです！」

僕「もっとも、 $F = \dfrac{1}{F}$ という値を取れば、ということだけれど」

分数関数

ミルカ「村木先生のカードが来た」

僕「うん、ちょうどいま、僕たちもテトラちゃんがもらった村木先生のカードを見てたんだよ」

ミルカ「だと思った」

僕「え？」

ミルカ「私に来たカードが $f(x)$ じゃなくて $g(x)$ になっていたからね。誰かのカードが $f(x)$ になっていると推測」

テトラ「あたしのカードはこれでした」

ミルカ「ふむ」

テトラ「ミルカさんのカードの方は、どんな問題なんですか」

僕「テトラちゃんの関数 $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ は和の形で、ミルカさんの関数 $g(x) = \dfrac{x^2}{x^4 + 1}$ は商の形だね。分数関数だ」

ミルカ「まだ、気付かない？」