第91回 イリュージョンの代償(前編)

「だって、直観はだまされることがあるからね」と「僕」は言った。

第90回の続き)

の部屋

ここはの部屋。今日は土曜日の午後。 いつものようにユーリの部屋でたいくつそうに本を読んでいる。

ユーリ「ねーお兄ちゃん、何かして遊ぼーよ! たいくつたいくつ!」

「人の部屋に来て『たいくつたいくつ!』もないと思うんだけど……」

ユーリ「そういえば朝ドラで『マッサン』が始まったよね」

「だから、そういう時事ネタ禁止」

ユーリ「金髪っていーなあ! ユーリみたいな栗色ってパッとしないよね」

ユーリはそう言ってポニーテールの先をいじる。

「いやいや。ユーリだって、ほら数学の問題解いているとき……」

ユーリ「なーに?」

「まあいいや。たいくつだったら、クイズ出そうか」

ユーリ「クイズ? おもしろいならいーけど」

「こういうクイズ」

クイズ1

クイズ1
$a,b,c$ を実数とする。
「もしも、 $$ a > b $$ ならば、 $$ a + c > b + c $$ である」は、いつも成り立つか。

ユーリ「成り立つ! はい、次のクイズは?」

「答えるの早いな!」

ユーリ「こんなの簡単じゃん! はい、次のクイズ!」

「ちゃんと理解して答えたのかなあ……」

ユーリ「えー、ユーリさまを疑うの? だって $a > b$ っていうのは『 $a$ の方が $b$ より大きい』ってことでしょ?」

「そうだね」

ユーリ「 $a + c > b + c$ っていうのは両辺に $c$ を足したんでしょ?」

「そうそう」

ユーリ「 $a$ が $b$ より大きくて、両辺に $c$ っていう同じ数を足したんだもん。 $a + c$ の方が $b + c$ より大きいままじゃん」

「なるほどね」

ユーリ「何がなるほど?」

「いやいや、じゃあ次のクイズに進んでもいい?」

ユーリ「いいよん。早く!」

クイズ2

「じゃ、次のクイズ。これは簡単かな?」

クイズ2
$a,b,c$ を実数とする。
「もしも、 $$ a > b $$ ならば、 $$ a - c > b - c $$ である」は、いつも成り立つか。

ユーリ「おっと、そう来るのね。ええっと、ええっと……うん、成り立つ成り立つ!」

「ちゃんと問題を……」

ユーリ「分かって答えてるよ! 今度は両辺から同じ数 $c$ を引いたんでしょ?」

「そうそう」

ユーリ「 $a > b$ なんだから、両辺から同じ数 $c$ を引いてもやっぱり $a - c > b - c$ だよね」

「うん、それでいいんだけど」

ユーリ「だけど?」

「さっきのクイズ1は即答したのに、どうしてこのクイズ2は一瞬だけ答えるのが遅れたのかなと思って」

ユーリ「だって、引き算でも大丈夫かなって、ちょっと考えたんだもん。悪い?」

「いやいや、悪くはないよ。考えることはまったく悪くない。でもね」

ユーリ「……」

「でも、クイズ1とクイズ2はまったく同じ問題なんだよ」

ユーリ「何で?……あっ、そうか!」

「だよね」

ユーリ「にゃるほど!  $c$ はマイナスでもいいのか!」

「そうだね」

ユーリ「 $c$ はもともとマイナスでもいいんだね。だから、つまり、えーと、クイズ1で $a + c > b + c$ が成り立つから、 $a - c > b - c$ もいえてたんだ!」

「まあ、だいたいそういうことだね。説明はちょっとあやふやだけど。ユーリが答えたように $c$ がどんな実数でも 《 $a > b$ なら $a + c > b + c$ である》が成り立つ。 たとえば、 $c$ が $1$ でも $-1$ でもね。 もしも $c$ が $-1$ のような負の数のとき、 $a + (-1) > b + (-1)$ だけど、これは $a - 1 > b - 1$ と同じこと。引き算」

ユーリ「そー! そー言いたかったの!」

「 $c$ が $1$ のような正の数でも同じことがいえるね。 $a + c > b + c$ は $a + 1 > b + 1$ だけど、これは引き算の形で $a - (-1) > b - (-1)$ とも書くことができる。 要するに、クイズ1に答えた時点で、クイズ2にも答えていたことになるんだ」

ユーリ「そだね」

「では、それを踏まえて次のクイズ」

ユーリ「?」

「これはどうかな」

クイズ3

クイズ3
$a,b,c$ を実数とする。
「もしも、 $$ a > b $$ ならば、 $$ ac > bc $$ である」は、いつも成り立つか。

ユーリ「なーるほど、そう来たか。これもカンタンだよ。これは成り立たないね!」

「そうだね。いつも成り立つとは限らない」

ユーリ「《いつも $ac > bc$ である》とはいえなくて、 $ac > bc$ になるときと、ならないときがある」

「うん、それで?」

ユーリ「 $c$ がプラスだったら $ac > bc$ になるけど、 $c$ がマイナスだったら反対になって $ac < bc$ でしょ?」

「……」

ユーリ「え? 違うの?」

「……待ってるんだけど」

ユーリ「何を?」

「何かを」

ユーリ「ん? だってそーじゃん。 $a > b$ のとき、 $c$ がプラスならそのまま $ac > bc$ だけど、 $c$ がマイナスなら反対になって $ac < bc$ と」

「……」

ユーリ「……あっ! もう一つあった。ゼロだ! $c = 0$ のときは $ac = bc$ だね!」

「はい、大正解! 待っててよかった」

ユーリ「これを待ってたの?」

「そう。《いつも成り立つか》に対しては《成り立つとは限らない》でいいよ。でも、さらに $ac$ と $bc$ の大小関係を調べたかったら、 $c$ が正か、ゼロに等しいか、負かという場合分けがいるんだね。 このクイズでは」

クイズ3の答え
$a,b,c$ を実数とする。
「もしも、 $$ a > b $$ ならば、 $$ ac > bc $$ である」は、いつも成り立つとは限らない。
$ac$ と $bc$ の大小関係は、 $c$ の値によって次のように決まる。 $$ \begin{align*} ac > bc & (\text{ $c > 0$ のとき}) \\ ac = bc & (\text{ $c = 0$ のとき}) \\ ac < bc & (\text{ $c < 0$ のとき}) \\ \end{align*} $$

「掛ける数が負なら、不等号の向きが逆になるというのはミスしやすいところだね」

ユーリ「まー、これも大したことないクイズだよ。カンタン、カンタン」

クイズ4

「言ったな。じゃ、こんなクイズはどう?」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

hyuki 金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日ですが、今日は過去記事二件の6時間の無料リンクをツイート。公式 3年以上前 replyretweetfavorite

cielavenir a>b>c>d A=ab+cd B=ac+bd C=ad+bc のとき A-B=a(b-c)-d(b-c)=(a-d)(b-c)>0 B-C=a(c-d)-b(c-d)=(a-b)(c-d)>0 ∴A>B>C 3年以上前 replyretweetfavorite

chibio6 場合わけが、全部正数だった時からもうわからない… 3年以上前 replyretweetfavorite

shinoa_blue あれ…わからないんだけども… 3年以上前 replyretweetfavorite