第5回 数式のシルエット(前編)

元気な高校一年生のテトラちゃんが「僕」に《多項式の書き方》を教えてもらう。ところがテトラちゃんは素朴でストレートな疑問をぶつけてきて……
は高校二年生。数学が大好きだ。 放課後、図書室に行くと、熱心にノートに書いている後輩のテトラちゃんがいた。

図書室にて

「テトラちゃん、何を書いているの?」

テトラ「あ、せ、先輩! こんにちは!」

「熱心に書いてる、それは、宿題?」

テトラ「いえいえ違います。これはあたしの《秘密ノート》なんです」

「秘密ノートって?」

テトラちゃんは高校一年生の女の子。の一年後輩だ。 いつも元気で熱心に数学に取り組んでいる。 髪はショートカット。大きな目がとても魅力的だ。

テトラ「ほら、あたし、トロくて忘れっぽいじゃないですか。先輩やミルカさんから、せっかく数学の話をおうかがいしてもうっかり忘れそうで」

「いや、テトラちゃんはちっともトロくなんかないと思うけど……」

テトラ「ありがとうございます。それでですね、忘れてはいやなので、きちんと書き留めておこうと思いまして」

「そのノート……秘密ノートに?」

テトラ「はいはい、そうです。きちんと書き留めておけば、いざというときにパッと取り出せますよね。 ちょうどドラえもんが四次元ポケットから《ひみつ道具》を取り出すみたいに、 この《秘密ノート》を作ったというわけなんですっ!」

「なるほどね、それはいいことだよ。大事なことや、覚えておきたいことを改めて書いておくのはそれだけでも勉強になるしね。 うん、そんなふうに《言葉で表現しよう》というのは、とってもテトラちゃんらしいな」

テトラ「そ、そうですか。あ、ありがとうございますっ!」

「でもね、テトラちゃん」

テトラ「はいっ、なんでしょうか!」

「僕にそんなふうに話してくれるのはありがたいけど、それじゃちっとも《秘密》じゃないよね……」

テトラ「えっ、あっ、そうですね……先輩、わ、忘れてくださいっ!」

「はいはい、忘れました忘れました」

Photo by umjanedoan.

テトラ「先輩は先日、算数と数学の大きな違いは文字を使うかどうかだって話してくださいましたよね」

「そうだね。それが大きいと思う。中学校に入って、算数から数学になると $x$ や $y$ のような文字を使いはじめる」

テトラ「はい。あたしもその違いはとても大きいと思います。文字が入った式って、何というか、すごく複雑になりますよね。 たとえば、中学校に入ると $x + 5$ のような式が出てきます。 このくらいはまだいいです。 $x$ は何だかわからないけれど数なんだなあと思って、 $x + 5$ だったら、その数に $5$ を足すんだろうなあと想像が付きますから。 でも、数学をやっていると、あっというまに複雑な式になっちゃいます」

「まあそうだね。慣れてしまえば難しくないけれど」

テトラ「あたしって、変なところで悩んじゃうんです。たとえば、あたしが中学時代にすごく引っかかったのは、 $3x^2$ という式でした」

「へえ……そりゃまたどうして?」

テトラ「あのですね。 $3x^2$ が何を表しているか、さっぱりわからなかったんですよ」

「 $3x^2$ の何がわからなかったの、テトラちゃん」

テトラ「 $3x$ は $3$ と $x$ を掛けたものですよね。そして右肩に小さく書いた数字はそれを何回か掛けたものだと習ったので、 あたしは、 $3x^2$ のことを、 $3x$ を $2$ 回掛けたものだと思ったんです。 でも実際は、 $3x^2$ っていうのは『 $3x$ を $2$ 回掛けたもの』ではなくて、 『 $3$ と、 $x^2$ を掛けたもの』になるんですよね。つまり $3 \times x \times x$ です」

$$ \begin{align*} \text{(誤)} 3x^2 & = 3x \times 3x \\ \text{(正)} 3x^2 & = 3 \times x \times x \end{align*} $$

「ああ、そうだね。 $3x^2$ は $x^2$ のほうが強いまとまりになる。 カッコを使って書けば $3x^2$ というのは $3(x^2)$ に等しいということだよ。 $(3x)^2$ じゃない」

テトラ「はい……きっと先生は授業で教えてくださったと思うんですが、あたしはその説明の前にいろんなことを自分で考え込んじゃって、 先生の話を聞き逃したんです。 それで、すぐに練習問題に入って、あたしはまちがいをたくさんしちゃいました。 いまでも覚えています」

「テトラちゃんはよくそこまで自分のまちがいを覚えているよね。ほらほら、ちっとも忘れっぽくなんかないじゃないか」

テトラ「よけいなことばっかり考えちゃうんですよ、あたし。自分が勘違いをしていることに気がついて、 $3x^2$ という式は $3 \times x \times x$ なんだってということに気づくまで、すごく時間がかかりました。トロいんです、あたし」

「いやいや、時間がかかっても粘り強く考えたんだね、えらいよ。そういう基本的なところでつまづいちゃって数学がきらいになる人はたくさんいると思うな。 そういう数式の書き方って、中学の始めにまとめて習っちゃうよね。 一つ一つはかんたんなことなんだけど、練習しないとなかなか慣れない。 だから、ちょっと練習をさぼると、あっというまにわからなくなって、 それで《自分は数学が苦手だ、才能がない》って思い込んじゃう人もいるよ」

テトラ「そうなんですか」

「うん。中学時代、そういうやつが何人かいたなあ。中学三年のころに《おれは数学の才能がないんだ》なんていってた。 でも、あれは、数式の書き方に慣れる練習をしなかっただけなんだよ。 ちょうど、九九の練習をさぼると、二桁の掛け算や三桁の掛け算がすごくつらくなるじゃない? あれととても似ているよ」

テトラ「あ、わかります」

「練習をちょっとさぼっただけのことで、《数学の才能がない》は言い過ぎだよね」

テトラ「ちょっ、ちょっと心配になってきました。数式の書き方というのは、たとえばどういうことでしょうか」

「僕がいま言ったのは多項式の書き方のことだよ。たとえばこの式がなにを表しているか、掛け算の記号 $\times$ を使って書けますか、というだけの話」

$$ 3x^2 - 2x - 8 $$

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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