第75回　ゼロの足し算（前編）

（第74回の続き）

$$ \newcommand{\LOG}[1]{\log_{10}{#1}} $$

リビングにて

ユーリ「いーな、いーな！　お兄ちゃんっていつもミルカさまとお話しできるんでしょ？」

僕「同じクラスだしね」

ユーリ「ミルカさまって、いろんな問題をばしばしっと解決しちゃうから……くううっ！」

僕「なに感極まってるんだよ」

ユーリ「ところで、その《たいすー》って何？」

僕「がく。対数（たいすう）っていうのは、大きな数を扱うときに便利なものだよ。ミルカさんが対数の話をしたのは、とてつもなく大きくなる指数関数の話をしていたからなんだ」

ユーリ「へー。あのね、テトラさんがグラフたくさん描いて、ミルカさまが対数の話をしたのはわかったんだけど、カンジンのその対数が何かわかんないから、 いまいち盛り上がれない」

僕「いま、じゅうぶん盛り上がっていたじゃないか」

ユーリ「あれは別腹」

僕「わけがわからないよ」

ユーリ「とゆーわけで、お兄ちゃんには対数の詳しい解説が求められているのぢゃ」

対数

僕「じゃあね、簡単なクイズからね。『 $10$ を何乗すると $100$ になりますか？』」

ユーリ「え？　 $100$ は $10$ の $2$ 乗……でしょ？　なら $2$ が答え？」

僕「そうだね、その通り」

ユーリ「それで？」

僕「では、次のクイズ。『 $10$ を何乗すると $1000$ になりますか？』」

ユーリ「ねーお兄ちゃん、簡単すぎるよ、そのクイズ。 $3$ でしょ？」

僕「はい正解」

ユーリ「それで、対数の話は？」

僕「いまお兄ちゃんはユーリに『 $10$ を何乗すると $100$ ？』とか『 $10$ を何乗すると $1000$ ？』って訊いたよね」

ユーリ「うん。答えたよ」

僕「実はね、ユーリはいま《対数を求めた》んだよ」

ユーリ「は？　意味わかんない」

僕「つまりね、『 $10$ を何乗すると $100$ になるか答えよ』という質問は『 $100$ の対数を求めよ』という質問と同じ」

ユーリ「へ、へー……あ！　じゃあさ、 $100$ の対数は $2$ なの？」

僕「そうだよ。そして、 $1000$ の対数は $3$ に等しい」

ユーリ「そーなんだ！　なーんだ、簡単じゃん！」

僕「簡単だよね」

ユーリ「うん、簡単」

僕「いまの話は、対数の基本中の基本。かなり大ざっぱだけどね」

ユーリ「大ざっぱって？」

僕「『 $100$ の対数を求めよ』という質問は言葉が足りないっていうこと。ちゃんというなら『 $10$ を底（てい）としたとき、 $100$ の対数を求めよ』という必要があるんだ」

ユーリ「ははーん。あれだね《何乗するか》のもとの数を決めなきゃダメってこと？」

僕「そうそう、ユーリ、さえてるな」

ユーリ「ふふん。こんなの簡単じゃん！」

僕「定義の形でまとめておこうか」

ユーリ「ふんふん」

僕「じゃあ、クイズだよ。『 $10$ を底としたとき、 $10000$ の対数は？』」

ユーリ「一万？　 $4$ だね」

僕「正解！　『 $10$ を底としたとき、 $10000$ の対数は $4$ に等しい』」

ユーリ「ふふん。要するにあれだよね。対数って《ゼロの個数》なんだね！」

僕「そうだね。 $10$ を底としたとき、 $10^n$ の形をしている数については、対数は《ゼロの個数》に等しくなる。その通り」

ユーリ「何にも難しいことないね」

僕「それじゃ、こんなクイズは？　『 $10$ を底としたとき、 $1$ の対数は？』」

ユーリ「お、おおっ？　……そっか、わかった！ $0$ だ！」

僕「はい、正解です。 $10^0 = 1$ だから、 $10$ を底としたとき、 $1$ の対数は $0$ になる。ユーリがさっき言ったように《ゼロの個数》としてもいいね。 $10$ を底としたとき……」

• $10$ を底としたとき、 $1$ の対数は $0$ に等しい。
• $10$ を底としたとき、 $10$ の対数は $1$ に等しい。
• $10$ を底としたとき、 $100$ の対数は $2$ に等しい。
• $10$ を底としたとき、 $1000$ の対数は $3$ に等しい。
• $10$ を底としたとき、 $10000$ の対数は $4$ に等しい。
• $10$ を底としたとき、 $100000$ の対数は $5$ に等しい。
• ……
• $10$ を底としたとき、 $1\underbrace{000\cdots0}_{\text{$ n $}個}$ の対数は $n$ に等しい。

ユーリ「お兄ちゃん、わかったよ。ありがと！」

僕「いやいや、話はここから始まるんだけど」

ユーリ「へ？」

log

僕「いちいち《 $10$ を底としたとき、この数の対数は何か》と言わずに済むように、数学者は記号を使っているよ」

ユーリ「記号？」

僕「そう。対数を表す記号。《 $10$ を底としたとき、 $0$ より大きな数 $a$ の対数》のことを $\LOG{a}$ と書くんだよ。 $\log$ は《ログ》」

ユーリ「ログ・エー……」

僕「うん、そうだよ」

ユーリ「ねえ、お兄ちゃん。さっきまで、対数ってすごく簡単だと思ってたんだけど、何だか急に難しっぽくなった」

僕「 $\LOG{a}$ のような数式が出てきたからだろ」

ユーリ「たぶん、そう」

僕「数式で少し遊べばすぐ慣れるんだけどね」

ユーリ「出たな数式マニア。その《数式で遊ぶ》って発想が驚きだよね」

僕「そうかなあ」

ユーリ「そーだよー」

僕「でも、お兄ちゃんが数式変形すると、ユーリいつも楽しそうじゃないか」

ユーリ「まー、そーなんだけど……そんで、ログ・エーでどう遊ぶの？」

僕「まずはクイズだよ。 $\LOG{100}$ の値はなーんだっ♪」

ユーリ「キャラに合わないから、そんな言い方しないほーがいいよ」

僕「では、 $\LOG{100}$ の値は？」

ユーリ「ログ・ひゃくの値……えーと、まちがっても笑わないでよ」

僕「笑わないよ」

ユーリ「……たぶん、 $2$ かにゃ？」

僕「はい正解。どうしてそう思った？」

ユーリ「 $100$ のゼロの数だから、 $2$ かなって……」

僕「うん、それでいいよ。《 $10$ を何乗したら $100$ になるか》という数が $\LOG{100}$ だからね」

ユーリ「ねー、じゃさー、 $\LOG{1000} = 3$ ってこと？」

僕「そうだよ、それでいい。さっきの表をもう一回書こうか」

• $\LOG{1} = 0$ （ $10$ を底としたとき、 $1$ の対数は $0$ に等しい）
• $\LOG{10} = 1$ （ $10$ を底としたとき、 $10$ の対数は $1$ に等しい）
• $\LOG{100} = 2$ （ $10$ を底としたとき、 $100$ の対数は $2$ に等しい）
• $\LOG{1000} = 3$ （ $10$ を底としたとき、 $1000$ の対数は $3$ に等しい）
• $\LOG{10000} = 4$ （ $10$ を底としたとき、 $10000$ の対数は $4$ に等しい）
• $\LOG{100000} = 5$ （ $10$ を底としたとき、 $100000$ の対数は $5$ に等しい）
• ……
• $\LOG{1\underbrace{000\cdots0}_{\text{$ n $}個}} = n$ （ $10$ を底としたとき、 $1\underbrace{000\cdots0}_{\text{$ n $}個}$ の対数は $n$ に等しい）

ユーリ「ふんふん。よくわかるよくわかる」

僕「 $\LOG{a}$ という書き方は単なる約束だから、慣れてしまえば別に難しいことはないよね」

ユーリ「まーね。でもこの下の方にある小さい $10$ はうざいよね、いちいち」

僕「 $\LOG{a}$ の ${}_{10}$ は底を表しているから必要なんだけど、もしも底が何かはっきりしているんだったら、省略しても問題はないよ。 $\log{a}$ のようにね」

ユーリ「あ、すっきり」

僕「でも、慣れるまでは $\LOG{a}$ のように書いていた方がいいと思うよ」

ユーリ「へーい」

僕「ではここで問題です」

ユーリ「 $-10$ でしょ？」

僕「え、えええ？」