第4回 連立方程式のアピール(後編)

ポニーテールの中学二年生ユーリは、数学が得意な《お兄ちゃん》が大好き。今日は小学校で習った「ツルカメ算」について質問をする。考えればすぐわかるのに、どうして連立方程式なんて解かなくちゃいけないの?
高校二年生のは、いとこのユーリに連立方程式の答え方を教えている。 でも、その問題に何だか変なところを見つけてしまった。

(前編から続く)

「あれ……でも、この問題、なんだか変だな」

ユーリ「何が?」

問題 次の連立方程式を解きなさい。 $$ \left\{\begin{array}{llll} x + y & = 5 & \qquad \text{(a)}\\ 2x + 4y & = 16 & \qquad \text{(b)}\\ \end{array}\right. $$ 解答 $$ \begin{align*} \text{ $\text{(b)} - \text{(a)}\times 2$ から、} \\ 2y &= 6 \\ \text{両辺を $2$ で割って、} \\ y &= 3 \\ \text{(a)に $y = 3$ を代入して、} \\ x + 3 &= 5 \\ x &= 2 \\ & && \text{答 $\, x = 2,\, y = 3$ } \\ \end{align*} $$

「ほら、この $\text{(b)}$ だよ。 $2x + 4y = 16$ のところ。これ、係数がぜんぶ偶数だから両辺を $2$ で割れる」

$$ \begin{align*} 2x + 4y & = 16 \\ \text{両辺を $2$ で割る} \downarrow& \\ x + 2y & = 8 \\ \end{align*} $$

ユーリ「あ、ほんとだ」

「この解き方のほうが少し楽だね」

問題 次の連立方程式を解きなさい。 $$ \left\{\begin{array}{llll} x + y & = 5 & \qquad \text{(a)}\\ 2x + 4y & = 16 & \qquad \text{(b)}\\ \end{array}\right. $$ 解答 $$ \begin{align*} \text{(b)の両辺を $2$ で割って、} & \\ x + 2y &= 8 \qquad \text{(c)} \\ \text{ $\text{(c)} - \text{(a)}$ から、} & \\ y &= 3 \\ \text{(a)に $y = 3$ を代入して、} & \\ x + 3 &= 5 \\ x &= 2 \\ & && \text{答 $\, x = 2,\, y = 3$ } \\ \end{align*} $$

ユーリ「あんまし変わんないよー」

「まあ、そうかな……あ、わかったぞ。ユーリ、その宿題プリント見せて」

ユーリ「これ?」

「やっぱりそうだ。ユーリ、これはツルカメ算を意識して作った練習問題なんだね。ほらこっちに文章が書かれているじゃないか」

問題(ツルカメ算)
  • ツルとカメが合わせて $5$ 匹います。
  • ツルとカメの足の数を合わせると $16$ 本になります。
  • このとき、ツルとカメはそれぞれ何匹ずついるでしょうか?

Illustration by Hiroshi Yuki.

ユーリ「ふーん……」

「あれ、ノリ悪いな」

ユーリ「こーゆーの、めんどくさいんだよー」

「出た! ユーリ、めんどうくさがりだなあ。もう連立方程式は解いているんだから、めんどうも何もないよね。こんなふうに考えればいい」

  • ツルが $x$ 匹いるとする。
  • カメが $y$ 匹いるとする。
  • ツルとカメが合わせて $5$ 匹いることから、 $x + y = 5$ が成り立つ。

ユーリ「はいはい……」

「これで問題に書いてある文『ツルとカメが合わせて $5$ 匹います』を $x+y=5$ という数式に移したことになるよね」

は宿題プリントを指さしながらユーリに説明する。

ユーリ「はいはい……」

「同じようにして今度は『ツルとカメの足の数を合わせると $16$ 本になります』という文を数式に移してみよう」

  • ツルの足は $2$ 本だから、ツルが $x$ 匹いれば、ツルの足は全部で $2x$ 本になる。
  • カメの足は $4$ 本だから、カメが $y$ 匹いれば、カメの足は全部で $4y$ 本になる。
  • ツルとカメの足の数を合わせると $16$ 本になることから、 $2x + 4y = 16$ が成り立つ。

ユーリ「はいはい……」

「今度は $2x + 4y = 16$ という数式に移せた。これで、問題に出てきた連立方程式が作れたことになる」

$$ \left\{\begin{array}{llll} x + y & = 5 \\ 2x + 4y & = 16 \\ \end{array}\right. $$

ユーリ「はいはい……」

「僕たちはこれで、ツルカメ算の文章を数式の世界に移したことになる。《連立方程式を立てた》わけだね」

問題(ツルカメ算)
  • ツルとカメが合わせて $5$ 匹います。
  • ツルとカメの足の数を合わせると $16$ 本になります。
  • このとき、ツルとカメはそれぞれ何匹ずついるでしょうか?
解答
  • ツルが $x$ 匹いるとする。
  • カメが $y$ 匹いるとする。
  • ツルとカメが合わせて $5$ 匹いることから、 $x + y = 5$ が成り立つ。
  • ツルの足は $2$ 本だから、ツルが $x$ 匹いれば、ツルの足は全部で $2x$ 本になる。
  • カメの足は $4$ 本だから、カメが $y$ 匹いれば、カメの足は全部で $4y$ 本になる。
  • ツルとカメの足の数を合わせると $16$ 本になることから、 $2x + 4y = 16$ が成り立つ。
ここから、次の連立方程式が立てられる。 $$ \left\{\begin{array}{llll} x + y & = 5 \\ 2x + 4y & = 16 \\ \end{array}\right. $$ これを解いて、 $x = 2,\, y = 3$ を得る。
したがって、ツルは $2$ 匹、カメは $3$ 匹いる。

答 $\,$ ツルは $2$ 匹、カメは $3$ 匹

ユーリ「はいはい……」

「ユーリ、さっきから『はいはい』しか言ってないな」

ユーリ「だって、お兄ちゃん、あたりまえのこと言ってるだけじゃん。くどいし、つまんないよ」

ユーリはポニーテールをくくり直しながら言った。

「そう?ユーリが『めんどくさいんだよー』っていうから、 お兄ちゃんがそこをやってあげたんじゃないか。代わりに」

ユーリ「こんなのわかりきってるもん。そもそもさ、こういう問題っていちいち式を……えっと、連立方程式を書かなくちゃいけないのがめんどくさ。 お兄ちゃんの答えもそーだけど、わかりきっていることをいちいち書かなくちゃいけないじゃん?」

「うん? それで?」

ユーリ「ツルやカメってちょうどいい数なんだから、ぐっと考えればわかるんだよ」

「ちょうどいい数って、整数のこと?」

ユーリ「せーすーって何だっけ」

「がく。整数せいすうっていうのは、 $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ のことだよ」

ユーリ「それそれ。せーすー」

「ツルやカメの数は $0$ 以上の整数になるね。 $0, 1, 2, 3, \ldots$ だ」

ユーリ「だからさ、ぐっと考えれば解けるんだよ。合わせて $5$ 匹、足が $16$ 本だから—うん、 $2$ 匹と $3$ 匹!とか」

「そのとき、ユーリの頭は何を考えているんだろう」

ユーリ「うーんとねー。 $5$ 匹が全部ツルだったら足は $10$ 本じゃん?」

「確かにそうだね。 $5$ 匹のツルがいて、ツルの足は $2$ 本ずつだから、 $5 \times 2 = 10$ で、足の数は全部で $10$ 本になる。それで?」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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tokyosisters69 ツルカメ算ってこのことなのか、はじめ知ったー 2年以上前 replyretweetfavorite