「数学ガール」シリーズ既刊本5冊のうち、4冊がKindle版として刊行されました！ 2014年2月27日までキャンペーン価格でご提供中です。
※固定レイアウトですので、サイズと使用感を無料サンプルでご確認の上ご購入ください。
（第65回の続き）
屋上にて
※以下では、組み合わせの個数 ${}_m\textrm{C}_n$ を $\displaystyle\binom{m}{n}$ と表記します。
$2n$ 人の人が円形に並んでいます（ $n = 1,2,3,\ldots$ ）。 全員が、誰か一人と握手をします。 このとき《握手の仕方》は何通りありますか。
ただし、一つの握手は他人同士の握手と交差してはいけないとします。
僕「……だから、一般の $a_n$ について、こんな漸化式が書けそうだ」
$$ a_{n+1} = a_na_0 + a_{n-1}a_1 + a_{n-2}a_2 + \cdots + a_2a_{n-2} + a_1a_{n-1} + a_0a_n $$テトラ「あ、あの……」
僕「シグマを使って簡単に書けば、こうだね……おっと！ 思い出した！」
$$ a_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} a_{n-k}a_k $$
テトラ「先輩？」
僕「うわあ！ なぜここまで気付かなかったんだろう！ ねえテトラちゃん、これは有名な数列だよ。カタラン数だ」
テトラ「カタラン数……名前があるんですか」
僕「うん。カタラン数の一般項なら覚えているよ。第 $n$ 項を $C_n$ と書くことにすると、 $\displaystyle C_n = \dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ になるはず。計算してみよう」
$$ C_n = \dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \qquad (n = 0,1,2,3,\ldots) $$
テトラ「そ、そうなんですか。でも……」
僕「実際に計算してみようよ」
$$ \begin{align*} C_0 &= \dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \qquad \textbf{カタラン数の定義から} \\ &= \dfrac{1}{0+1}\binom{2\cdot 0}{0} \qquad \textbf{ $n = 0$ とした} \\ &= \dfrac{1}{1} \binom{0}{0} \qquad \textbf{} \\ &= 1 \cdot 1 \qquad \textbf{} \\ &= 1 \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} C_1 &= \dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \qquad \textbf{カタラン数の定義から} \\ &= \dfrac{1}{1+1}\binom{2\cdot 1}{1} \qquad \textbf{ $n = 1$ とした} \\ &= \dfrac{1}{2} \binom{2}{1} \qquad \textbf{} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{1} \qquad \textbf{} \\ &= 1 \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} C_2 &= \dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \qquad \textbf{カタラン数の定義から} \\ &= \dfrac{1}{2+1}\binom{2\cdot 2}{2} \qquad \textbf{ $n = 2$ とした} \\ &= \dfrac{1}{3} \binom{4}{2} \qquad \textbf{} \\ &= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4\cdot 3}{2 \cdot 1} \qquad \textbf{} \\ &= \dfrac{6}{3} \\ &= 2 \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} C_3 &= \dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \qquad \textbf{カタラン数の定義から} \\ &= \dfrac{1}{3+1}\binom{2\cdot 3}{3} \qquad \textbf{ $n = 3$ とした} \\ &= \dfrac{1}{4} \binom{6}{3} \qquad \textbf{} \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \qquad \textbf{} \\ &= \dfrac{20}{4} \\ &= 5 \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} C_4 &= \dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \qquad \textbf{カタラン数の定義から} \\ &= \dfrac{1}{4+1}\binom{2\cdot 4}{4} \qquad \textbf{ $n = 4$ とした} \\ &= \dfrac{1}{5} \binom{8}{4} \qquad \textbf{} \\ &= \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \qquad \textbf{} \\ &= \dfrac{70}{5} \\ &= 14 \\ \end{align*} $$
テトラ「ははあ……確かに、 $1, 1, 2, 5, 14$ ということは $C_n$ と $a_n$ は同じ数列……なんでしょうか」
僕「そうだよ。さっき（第65回参照）作った数列の表に追加しよう。 $n = 0$ も含めて……」
$2n$ 人の《握手の仕方》の数を $a_n$ で表そう（ $n = 0,1,2,3,\ldots$ とする）。
これまでにわかった $a_n$ を表に書く。カタラン数 $C_n$ も追加する。
$$ \begin{array}{c|ccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\ \hline \text{人数 $2n$ } & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & \cdots \\ \hline a_n & 1 & 1 & 2 & 5 & 14 & \cdots \\ \hline C_n & 1 & 1 & 2 & 5 & 14 & \cdots \\ \end{array} $$
テトラ「確かにここまで一致しますが、先輩……でも、どうして急にカタラン数という数列を思い出したんですか？」
僕「うん、この漸化式だよ。正確には $a_0 = 1$ を付け加えた漸化式。この漸化式に見覚えがあったんだ」
$$ \left\{\begin{array}{llll} a_{0} & = 1 \\ a_{n+1} & = \sum_{k=0}^{n} a_{n-k}a_k \qquad (n = 0,1,2,3,\ldots) \\ \end{array}\right. $$
テトラ「こんな複雑な式に？」
僕「そうそう、この漸化式を元に、母関数（ぼかんすう）という方法を使って一般項を求めたんだ。自分で考えたから記憶に残っていたのかな。 といっても、ミルカさんと二人で解いたんだけど」
テトラ「ミルカさんと……お二人で」
僕「そうだね」
テトラ「そうですよね。お二人ならば解けますよね。いくら難しい方法でも。その……ええと、母関数という方法で」
僕「いや、母関数を使わなくても、いったん一般項 $a_n$ が $\displaystyle\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ という式で表されると予想ができたなら、証明はすぐにできるよ。数学的帰納法を使えばいいんだから。母関数を使わなきゃいけないわけじゃない」
テトラ「予想がつけばそうかもしれませんが……そもそも、こんな式は思いつきません！」
図書室にて
そこにミルカさんとテトラちゃんがいっしょに話しながらやってきた。
テトラ「……そうなんですか、ミルカさん」
ミルカ「そう。母関数を使わなくても一般項は求められる」
僕「何の話？」
テトラ「もちろん、お昼の《握手問題》です！ ミルカさんも母関数を使わなくてもいいと」
僕「ああ、カタラン数を求めるときに、以前ミルカさんが教えてくれた、曲がり角の……」
ミルカ「それとは別の話。場合の数を求めるときには《問題の言い換え》が大事になる」
僕「それはそうだね」
テトラ「問題の言い換え……といいますと」
ミルカ「場合の数を数えるとき、数えやすいように問題を言い換えるのだ。 もちろん、問題の構造が変わるような言い換えはできないが」
テトラ「すみません……よくわかりません」
ミルカ「カタラン数は非常にたくさんの言い換えが可能だ」
僕「曲がり角の……」
ミルカ「それもそうだが、別の話をしよう。《数えやすいように問題を言い換える》というのは、《もれなく、だぶりなく》数えるように問題を変形するともいえるし、 問題が含んでいる構造を明らかにするともいえる。 だから《数えやすいように問題を言い換える》のは、数学的示唆に富むことも多い」
テトラ「そうなんですか……」
握手からの言い換え
ミルカ「テトラが提示した握手から始めよう。 $n = 2$ つまり $2n = 4$ 人で握手している状況を想像する」
テトラ「はい、二通りあります」
ミルカ「円形に並んでいると考えにくいので、一列に並んでもらう。握手としては不自然になるけれど意味はわかるだろう。 これは《数えやすいように問題を言い換える》ことの一つだ」
テトラ「え……あ、わかります。aさんとdさんは手をぐうんと伸ばしているのですね」
ミルカ「ここで、握手を表す線を矢印だと考えることにする。矢印は左から右に向かうことにすれば、場合の数は増えも減りもしない。 これも《数えやすいように問題を言い換える》ことになる」
テトラ「はい、わかってきました！ 言い換えてはいますが、問題の大事なところは変わっていないから、 場合の数は変わらないということですね」
ミルカ「そう」
僕「確かに場合の数は変わらないけれど、数えやすくもなっていないよね」
ミルカ「まだ話は終わっていない」
僕「……」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
