第356回 立方体倍積問題で《予言者読み》をやってみよう(後編)

ヒポクラテスが見つけた二つの比例中項から考えを進めていく「僕」とユーリ。……「数学ガールの秘密ノート」でいっしょに学ぼう!

証明、さっぱりわかりません..oO

三角形の合同を初めとするやさしい図形の問題を通じて、数学の証明に迫ります。

数学が苦手な「ノナちゃん」といっしょに、あなたも証明を学びましょう!

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登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

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本の《予言者読み》

ここはの部屋。

ユーリは、与えられた立方体の二倍の体積を持つ立方体を作図する問題(立方体倍積問題)に取り組んでいた(第355回参照)。

立方体倍積問題

定規とコンパスを有限回だけ使って、 与えられた立方体の二倍の体積を持つ立方体を作図してください。

立方体倍積問題は有名な作図問題で、定規とコンパスを有限回使うだけでは解けないことが証明されている。

でも僕たちは数学史の本を読みながら、いにしえの人たちの考えに触れようとしている。

そう、本の《予言者読み》を通して……

ここまで読んできたことをヒントにして、本の先に何が書いてあるのかを読む前に言い当てる。……そんな本の読み方を、僕は《予言者読み》と呼んでるんだ。 まるで予言者のように先に書いてあることを当てられたらおもしろいよね。 特に、数式という巨大なヒントを見ちゃったあとなら、ガチで考えることができる」

ユーリ「本の《予言者読み》、何だかおもしろくなってきた。答えを見ないように、見ないように少しずつ読んでくんでしょ? もっとやろーよ!」

「じゃあ、引き続き、先を読んでいくか。二つの比例中項$a:x = x:y = y:b$を求める問題が、 どうして立方体倍積問題に出てくるのかはよくわかった(第355回参照)から、 その続きを読んでいこう」

ユーリ「そして、数式が出てきたら、お兄ちゃんは叫び声を上げて、ばたっと本を閉じる!」

「いや、もう叫ばないし、本を閉じるのもやめるよ。この紙で先の部分を隠しながら、少しずつ読んでいこう!」

ユーリ「おー!」

メナイクモス

「ヒオスのヒポクラテスが二つの比例中項を考えたところの次から……」

ユーリは、数学史の本のページを紙で隠し、少しずつ下に滑らせて一行ずつゆっくり読んでいった。

何かおもしろそうな《予言者読み》ができそうなところまで進むのだ。

ユーリ「メナイクモスの解法だって」

メナイクモスの解法

……ヒオスのヒポクラテスが発見した二つの比例中項は、 立方体倍積問題を解こうとするものにとってのランドマークとなった。

すなわち、$a,b$が与えられたときに$a:x = x:y = y:b$を満たす$x,y$を求める作図法へと人々を向かわせた。

メナイクモスは、二つの比例中項を求める問題を、円錐曲線の性質を用いて解いた。 その意味で、メナイクモスは円錐曲線の性質を発見していたといえる。

メナイクモスが使った円錐曲線は、放物線と双曲線である。 まず……

「っと、ここで止めよう! ここまでで《予言者読み》ができそうだよ」

ユーリ「えーっ、もうちょっと先まで読んだら解法がわかるのに?」

「だからだよ。もう十分にヒントが出てる。考えようよ」

ユーリ「まだ数式出てきてないよ。ナントカ曲線が出てきただけじゃん」

「メナイクモスは放物線と双曲線を使ったって書いてある。放物線と双曲線を使って、$a:x = x:y = y:b$の$x,y$を求めるんだ。これはできるよ」

ユーリ「さっぱりわからん」

「さっき、ユーリが書いてくれた連立方程式のことだよ(第355回参照)」

$$ \begin{cases} ay &= x^2 \\ bx &= y^2 \end{cases} $$

ユーリ「これが放物線?」

「$ay = x^2$から、$$y = \tfrac{1}{a}x^2$$が得られるから、このグラフを描けば放物線になるよね」

ユーリ「あー、その式で一つの放物線になるってことね」

「グラフを描くってことは、$x$座標の値と$y$座標の値の関係を曲線として表していることになる。このグラフの場合、この曲線上にある点$(x,y)$は必ず、$ay = x^2$という関係を満たしているし、 この曲線上にない点はその関係を満たしていないといえるから」

$ay = x^2$のグラフは放物線になる

ユーリ「$bx = y^2$はどーなんの?」

「こっちも放物線だね」

$bx = y^2$のグラフも放物線になる

ユーリ「$bx = y^2$だと、放物線は横に転がるってことかー」

「そうだね。『横に転がった』と言っても悪くないけど、どちらかといえば『鏡に映すように反転した』かな」

ユーリ「細かい突っ込み入った」

「$bx = y^2$から、$$x = \tfrac{1}{b}y^2$$が得られるけど、この放物線は、$$y = \tfrac{1}{b}x^2$$の$x$と$y$が入れ替わった形になってる。ちょうど$y = x$という直線に鏡を置いて、そこに映した形になるんだね」

$bx = y^2$のグラフと$by = x^2$のグラフの関係

ユーリ「あ、そーゆー意味か」

連立方程式

「それで、この連立方程式を満たす$x$と$y$を見つければ$a:x = x:y = y:b$の$x,y$を求めたことになる。それは、$ay = x^2$と$bx = y^2$という二つの放物線が交わった交点を求めることになる。 それは二つの放物線の交点は、両方の関係を満たしていることになるから」

$$ \begin{cases} ay &= x^2 \\ bx &= y^2 \end{cases} $$

ユーリ「えーと……なにをしたいんだっけ」

「もちろん、立方体倍積問題だよ」

  • 立方体倍積問題は、$A$が与えられて$B^3 = 2A^3$を満たす$B$を求めれば解ける。
  • そしてそれは、$X^3 = 2$を満たす実数$X$を求めれば解ける。
  • そしてそれは、ヒオスのヒポクラテスが見つけた比例中項$a:x = x:y = y:b$で$b = 2a$にしたときに相当する。
  • なぜなら、$a:x = x:y = y:2a$から$x^3 = 2a^3$が得られるから。

ユーリ「んー……てことは放物線の交点の$x$座標が答え?」

「そうだね。$b = 2a$として、二つの放物線の交点を求める。すると、その$x$座標は$\sqrt[3]{2}$になっている……というのが、メナイクモスの解法なんだと思うよ!」

$b = 2a$のとき、$ay = x^2$と$bx = y^2$の交点から$\sqrt[3]{2}$を得る

ユーリ「お兄ちゃんの《予言者読み》ってすげー! 本読む必要ないじゃん!」

「いやいや、そんなことないよ。本からヒントをたっぷりもらって、最後の一歩を考えただけだから」

ユーリ「だって、本には数式、何も書いてなかったよね」

「放物線を使ったと書いてあったから、あとは知識でいける。じゃあ、本の続きを読んで《予言者読み》の答え合わせをしよう!」

ユーリ「あっ!!」

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この連載について

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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takacha_hby 読みました😊 14日前 replyretweetfavorite

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