第315回　ふれあう三角関数：タンジェントはお友達（前編）

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図書室にて

テトラ「せーんぱいっ！」

僕「ああ、テトラちゃん」

テトラ「先輩、クイズです。すぐに答えてくださいね」

僕「いきなりのテトラクイズだね。どういう問題？」

テトラ「$\cos(\theta + \pi/4)$を求めてくださいっ！」

僕「ええと、求めるっていうのは？」

テトラ「あっと、失礼しました」

僕「なるほど。うん、これは加法定理を使えば一発だよね。あっちの机で書いてもいい？」

テトラ「先輩、せんぱい。暗算してくださいよう！ あ・ん・ざ・ん！」

僕「暗算？　そういうチャレンジなのね、はいはい、ええと……」

僕「……うん、$1/\sqrt2$でくくれば、こうだね。くくらなくてもいいけど」

テトラ「やっぱりサッとできちゃうんですね……」

僕「まあこのくらいはできるよ。基本的な三角関数トレーニングはしてるからね（『数学ガール／ポアンカレ予想』第9章参照）」

テトラ「あたしも最近、三角関数の公式を練習していますが、難しいですよね。先輩はこの$\cos(\theta + \pi/4)$はどういうふうに計算したんですか？」

僕「いや、ふつうに加法定理を使っただけだよ。$\cos(\alpha + \beta)$はこうなるよね。これは覚えている」

$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$

テトラ「はい」

僕「それから、有名角の三角関数の値も覚えている。この場合は$\pi/4$つまり45度のコサインとサイン」

$$ \left\{ \begin{align*} \cos\frac\pi4 = \frac1{\sqrt2} \\ \sin\frac\pi4 = \frac1{\sqrt2} \end{align*} \right. $$

テトラ「はいはい、そうですね。それもサッと出るんですか……」

僕「うん。もちろん覚えているんだけど、単位円周上の点が45度にあるところを想像すれば、 $\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$になるのは軽くチェックできる。 一つの角度が45度になる直角三角形は直角二等辺三角形ということで、 対角線の長さが1になっている正方形の一辺の長さになるからね」

テトラ「確かにそうですね。三平方の定理で、$$ \PS{\frac{1}{\SQRT2}}^2 + \PS{\frac{1}{\SQRT2}}^2 = 1^2 $$ ということですね？」

僕「そうそう。この場合は二辺がたまたま$\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$で等しいからくくって答えたんだ。くくらなくても正しいけど}

$$ \begin{align*} \cos\PS{\theta + \frac\pi4} &= \cos\theta\cos\frac\pi4 - \sin\theta\sin\frac\pi4 && \REMTEXT{加法定理から} \\ &= (\cos\theta)\frac1{\sqrt2} - (\sin\theta)\frac1{\sqrt2} && \REMTEXT{$\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$から} \\ &= \frac1{\sqrt2}(\cos\theta - \sin\theta) && \REMTEXT{$1/\sqrt2$でくくった} \end{align*} $$

テトラ「先輩のおっしゃることはよくわかります。テトラもいちおうその計算はできるんですが、サッと出てきません。練習でしょうか？」

有名角と《お友達》になる

僕「そうだね。有名角の値や加法定理はよく練習して損はないよね。有名角の値はほんの数個だけだからすぐに覚えられるし、単位円を思い浮かべればすぐにチェックできる。 分数で混乱しないように注意しないといけないけど」

テトラ「有名角は$\pi/6, \pi/4, \pi/3$とか？」

僕「うん、それから$0, \pi/2, \pi$もいちおうね」

テトラ「なるほど」

僕「その他に$2\pi/3, 3\pi/2$も練習すると楽しいけど、それは暗記というよりも単位円を思い浮かべる練習になるかな」

テトラ「練習って暗記カードを作るんですか？　表に$\cos\pi/3$と書いてあって裏に$1/2$と書いてあるみたいな」

僕「それでもいいけど、録音してもいいよね」

テトラ「録音？」

僕「自分の声で$\cos\pi/3$と録音して、数秒あいだをあけて$1/2$と録音する」

テトラ「なるほどですっ！　それを使ってトレーニングするんですか」

僕「ゲーム感覚だよね。あとは友達と問題を出し合うのも練習になるかな」

テトラ「問題を出し合うのは楽しそうですね。問題。$\cos\pi/2$イコール？」

僕「ゼロ。そうそう、そういう具合に問題を出すんだ」

$$ \cos\frac\pi2 = 0 $$

テトラ「はい」

僕「問題。$\sin\pi/2$イコール？」

テトラ「えとえと、点が上に来るから……えっと、1です！」

僕「はい、正解です」

$$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$

テトラ「いきなり言われるとドキドキしちゃいますね。問題。$\cos2\pi/3$イコール？」

僕「$-1/2$だね」

$$ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$

テトラ「先輩、速すぎですっ！」

僕「1の三乗根である$\omega,\omega^2$の実部だから、すぐに出るよ。複素数平面で、正三角形の頂点」

テトラ「なるほど……先輩は有名角の値が《お友達》になっているんですね……」

僕「お友達？」

テトラ「そうです。友達の名字を言われるとあだ名や性格がパッと思いつくみたいに」

僕「そうかもしれないね。《お友達》か……」

加法定理と《お友達》になる

テトラ「有名角もそうですけれど、加法定理も練習する必要がありますよね」

僕「といっても、加法定理については二つをしっかり覚えておくと、あとは導けちゃうけど」

テトラ「《しっかり覚える加法定理》？」