登場人物紹介
僕:数学が好きな高校生。
テトラちゃん:僕の後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。
図書室にて
いまは放課後。ここは高校の図書室。
僕は書架のあいだを歩きながら本の背表紙を眺めていた。と、後輩のテトラちゃんがひょいと顔を出す。
テトラ「せーんぱいっ!」
僕「ああ、テトラちゃん」
テトラ「先輩、クイズです。すぐに答えてくださいね」
僕「いきなりのテトラクイズだね。どういう問題?」
テトラ「$\cos(\theta + \pi/4)$を求めてくださいっ!」
僕「ええと、求めるっていうのは?」
テトラ「あっと、失礼しました」
テトラクイズ
$\cos\theta\text{と}\sin\theta$を使って、 $$ \cos\PS{\theta+\frac{\pi}{4}} $$
を表してください。
僕「なるほど。うん、これは加法定理を使えば一発だよね。あっちの机で書いてもいい?」
テトラ「先輩、せんぱい。暗算してくださいよう! あ・ん・ざ・ん!」
僕「暗算? そういうチャレンジなのね、はいはい、ええと……」
僕は、加法定理の式を思い浮かべる。
僕「……うん、$1/\sqrt2$でくくれば、こうだね。くくらなくてもいいけど」
テトラクイズへの答え
$$ \cos\PS{\theta + \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt2}\PS{\cos\theta - \sin\theta} $$
テトラ「やっぱりサッとできちゃうんですね……」
僕「まあこのくらいはできるよ。基本的な三角関数トレーニングはしてるからね(『数学ガール/ポアンカレ予想』第9章参照)」
テトラ「あたしも最近、三角関数の公式を練習していますが、難しいですよね。先輩はこの$\cos(\theta + \pi/4)$はどういうふうに計算したんですか?」
僕「いや、ふつうに加法定理を使っただけだよ。$\cos(\alpha + \beta)$はこうなるよね。これは覚えている」
$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$テトラ「はい」
僕「それから、有名角の三角関数の値も覚えている。この場合は$\pi/4$つまり45度のコサインとサイン」
$$ \left\{ \begin{align*} \cos\frac\pi4 = \frac1{\sqrt2} \\ \sin\frac\pi4 = \frac1{\sqrt2} \end{align*} \right. $$テトラ「はいはい、そうですね。それもサッと出るんですか……」
僕「うん。もちろん覚えているんだけど、単位円周上の点が45度にあるところを想像すれば、 $\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$になるのは軽くチェックできる。 一つの角度が45度になる直角三角形は直角二等辺三角形ということで、 対角線の長さが1になっている正方形の一辺の長さになるからね」
一つの角度が$\pi/4$の直角三角形は直角二等辺三角形になる
テトラ「確かにそうですね。三平方の定理で、$$ \PS{\frac{1}{\SQRT2}}^2 + \PS{\frac{1}{\SQRT2}}^2 = 1^2 $$ ということですね?」
僕「そうそう。この場合は二辺がたまたま$\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$で等しいからくくって答えたんだ。くくらなくても正しいけど}
$$ \begin{align*} \cos\PS{\theta + \frac\pi4} &= \cos\theta\cos\frac\pi4 - \sin\theta\sin\frac\pi4 && \REMTEXT{加法定理から} \\ &= (\cos\theta)\frac1{\sqrt2} - (\sin\theta)\frac1{\sqrt2} && \REMTEXT{$\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$から} \\ &= \frac1{\sqrt2}(\cos\theta - \sin\theta) && \REMTEXT{$1/\sqrt2$でくくった} \end{align*} $$テトラ「先輩のおっしゃることはよくわかります。テトラもいちおうその計算はできるんですが、サッと出てきません。練習でしょうか?」
有名角と《お友達》になる
僕「そうだね。有名角の値や加法定理はよく練習して損はないよね。有名角の値はほんの数個だけだからすぐに覚えられるし、単位円を思い浮かべればすぐにチェックできる。 分数で混乱しないように注意しないといけないけど」
テトラ「有名角は$\pi/6, \pi/4, \pi/3$とか?」
僕「うん、それから$0, \pi/2, \pi$もいちおうね」
テトラ「なるほど」
僕「その他に$2\pi/3, 3\pi/2$も練習すると楽しいけど、それは暗記というよりも単位円を思い浮かべる練習になるかな」
テトラ「練習って暗記カードを作るんですか? 表に$\cos\pi/3$と書いてあって裏に$1/2$と書いてあるみたいな」
僕「それでもいいけど、録音してもいいよね」
テトラ「録音?」
僕「自分の声で$\cos\pi/3$と録音して、数秒あいだをあけて$1/2$と録音する」
テトラ「なるほどですっ! それを使ってトレーニングするんですか」
僕「ゲーム感覚だよね。あとは友達と問題を出し合うのも練習になるかな」
テトラ「問題を出し合うのは楽しそうですね。問題。$\cos\pi/2$イコール?」
僕「ゼロ。そうそう、そういう具合に問題を出すんだ」
$$ \cos\frac\pi2 = 0 $$テトラ「はい」
僕「問題。$\sin\pi/2$イコール?」
テトラ「えとえと、点が上に来るから……えっと、1です!」
僕「はい、正解です」
$$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$テトラ「いきなり言われるとドキドキしちゃいますね。問題。$\cos2\pi/3$イコール?」
僕「$-1/2$だね」
$$ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$テトラ「先輩、速すぎですっ!」
僕「1の三乗根である$\omega,\omega^2$の実部だから、すぐに出るよ。複素数平面で、正三角形の頂点」
$x^3 = 1$の解
三次方程式$x^3 = 1$の解は、 $x = 1, \omega,\omega^2$になる。
テトラ「なるほど……先輩は有名角の値が《お友達》になっているんですね……」
僕「お友達?」
テトラ「そうです。友達の名字を言われるとあだ名や性格がパッと思いつくみたいに」
僕「そうかもしれないね。《お友達》か……」
加法定理と《お友達》になる
テトラ「有名角もそうですけれど、加法定理も練習する必要がありますよね」
僕「といっても、加法定理については二つをしっかり覚えておくと、あとは導けちゃうけど」
テトラ「《しっかり覚える加法定理》?」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)