第312回 ふれあう三角関数:タンジェント(後編)

コサイン、サイン、タンジェント。中学生のユーリが三角関数に挑戦します。「ふれあう三角関数」シーズン、何が見つかるかな?

数学ガールの秘密ノート/丸い三角関数

丸い三角関数

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登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

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僕の部屋

いまは土曜日。

ここはの部屋。

ユーリはいつものように数学のおしゃべりをしている。

ユーリノナに三角関数を教えようとしたという話題に始まって、$\cos, \sin, \tan$について話していた。

いまはちょうど、 $$ \tan{\theta}\tan(\KAKUDO{90} - \theta) = 1 $$ の証明が終わったところ(第311回参照)。

ユーリ「ほらね! ユーリは三角関数カンペキでしょ? お兄ちゃんの出す問題なんか、全部わかっちゃうよ!」

「そりゃすごいな。でも確かにユーリは、$\tan$の定義もちゃんとわかっているし、 $\tan\KAKUDO{30}, \tan\KAKUDO{45}, \tan{\KAKUDO{60}}$の値も、きちんと考えているよね」

ユーリ「ふふん。単位円を描けばすぐわかるもん。三角関数カンペキさ!」

「じゃあ、ちょっと違うクイズを出してみようか」

ユーリ「どんとこい」

関数$\cos\theta$の定義域と値域

「ユーリは$\cos,\sin,\tan$を三角関数だって言ってたよね。関数というからには定義域は何だろう」

ユーリ「わかんない」

「がく」

ユーリ「あっ、ちがうちがう。答えがわかんないんじゃなくて、お兄ちゃんが何を言ってるかがわかんないの!」

「関数っていうのは、数を何か与えると、数が得られるものだよね。まあ、数じゃないこともあるけど」

ユーリ「えーと?」

「うん、じゃあ、たとえば、関数$\cos$で具体的に話そうか。角度$\theta$を$\cos$という関数に与えると、数$\theta$に対応して単位円上の点の$x$座標という数が得られるよね。 いま角度は《度》で考えているから、$\cos$に$60$を与えると、$0.5$が得られるという具合に」

関数$\cos$に$60$を与えると$0.5$が得られる

※角度は《度》で考えています。

ユーリ「それって、$\cos\theta$の定義の話、してる?」

「そうだよ」

ユーリ「$\cos$に$\KAKUDO{60}$を与えると$\frac12$だから$0.5$が得られるって?」

関数$\cos$に$\theta$を与えると$x$座標の値が得られる

「そうそう、そういう話。そのとき、いま考えている関数$\cos\theta$では、$\theta$として与えることができるのは実数だよね」

ユーリ「そだね。数だから」

「数といってもいろいろある。たとえば$\theta$に虚数の$i$を与えることは、いまは考えていない。考えているのは実数だけ」

ユーリ「ほほー。虚数の角度?」

「$\theta$を虚数にするという話は、それはそれでおもしろい話につながるけど、いまは実数だけを考えている」

ユーリ「そんで? お兄ちゃんは何が言いたいの?」

「関数を考えるときには《その関数に与えることができるのはどんな数なのか》をきちんと決めておく必要があるという話だよ。$\cos\theta$の$\theta$に対して$\KAKUDO{0}$を与えてもいいし、 $\KAKUDO{30}$を与えてもいいし、もっと大きな数やもっと小さな数を与えてもいい。 $\KAKUDO{100}$とか$\KAKUDO{360}$とかね」

ユーリ「$\KAKUDO{3000}$とか」

「そうだね。それからマイナスでもいい。$-\KAKUDO{60}$とかね」

ユーリ「いーよ」

「つまり、僕たちはいま$\cos\theta$という関数の定義域を、実数全体の集合だと考えているわけだ」

ユーリ「てーぎいき」

「そう。$\cos$という関数に与えることができる数全体の集合を、関数$\cos$の定義域という。いま僕たちは、関数$\cos\theta$の定義域を実数全体の集合だとして考えていることになる」

ユーリ「ねえ……お兄ちゃん。それって簡単な話をややこしく言ってる?」

「そうじゃないよ。簡単な話を正確に言ってるんだ」

ユーリ「はいはい」

「ユーリは《実数全体の集合》といわれて、ピンと来てるよね?」

ユーリ「だいじょーぶ。数直線でしょ?」

「うん、それでいいよ。数直線は実数全体の集合だと考えることができるし、 一つ一つの実数は数直線上の点として考えることができる。 実数全体の集合のことは$\REAL$と書くこともある」

ユーリ「はいはい。そんでそんで?」

「それが$\cos\theta$の定義域。それに対して、$\cos\theta$の値域というものもある」

ユーリ「ちいき」

「そう。関数$\cos\theta$がとる値全体の集合のことを$\cos\theta$の値域という。$\cos\theta$の値域って、具体的に何だかわかる?」

ユーリ「わかんない」

「がく。『そのスピードは考えていない証拠』ってミルカさんに言われたことなかったっけ?」

ユーリ「ぐぬぬ。ミルカさまを出してくるなー!」

「$\cos\theta$の値域って、具体的に何だかわかる?」

ユーリ「えーと? ……結局$\cos\theta$って、点の$x$座標だよね?」

「そうだね。$\cos\theta$の定義から、単位円の円周上にある点の$x$座標だといえる」

ユーリ「だったらカンタン! ぐるっと回るから、$-1$から$1$までの範囲だ。 こーゆーこと!」

「そうだね。ユーリはちゃんとわかってる。関数$\cos\theta$の値域は《$-1$以上で$1$以下の実数全体の集合》になる。 関数$\cos$の値域は、数式を使ってこんなふうに書くこともできる」

$$ \SET{x \SETM -1 \LEQ x \LEQ 1 } $$

ユーリ「あ、そーゆーの見たことある。お兄ちゃん、よく書くよね」

「そうだね。$x \in \REAL$と書いて、実数であることをはっきりと書いてもいい」

$$ \SET{x \in \REAL \SETM -1 \LEQ x \LEQ 1 } $$

ユーリ「いろんな書き方あるんだね」

「関数を考えるときには、もう一つ、終域(しゅういき)という集合を考えることがあるけれど、それはまた今度話をしよう」

テトラ「定義域・終域・値域については連載第203回 関数を手がかりに:対応の対応(前編)をどうぞ!」

ユーリ「いま一瞬、テトラさんが見えたよ」

「それはさておき、定義域と値域のクイズを出そう。いいよね」

ユーリ「いいよん。理解したから大丈夫!」

関数$\sin\theta$の定義域と値域

「僕たちが考えている関数$\cos\theta$の定義域は《実数全体の集合$\REAL$》で、値域は《$-1$以上$1$以下の実数全体の集合》だったよね」

ユーリ「それ、さっきやった」

「それじゃ今度は、関数$\sin\theta$の定義域と値域は?」

ユーリ「同じ」

「速いな!」

ユーリ「速いけど、ちゃんと考えたかんね。お兄ちゃんが$\cos\theta$の話しているとき、$\sin\theta$についても考えてたんだ!」

「おお!」

ユーリ「$\theta$は角度だから実数全体でいいじゃん? そして$\sin\theta$は$y$座標なんだから、やっぱり$-1$から$1$まで」

「それでいいね。ユーリはちゃんと単位円で考えているんだね」

ユーリ「単位円の円周上を点がぐるぐるまわったときにどーなるか考えれば一発さ!」

「うんうん」

ユーリ「$\cos\theta$と$\sin\theta$って、ちょっとズレてるだけで同じなんだよねー……むむ?」

「どうした?」

ユーリ「見える……ユーリには見えるぞよ。お兄ちゃんは次に、$\tan\theta$の定義域と値域のクイズを出す!」

関数$\tan$の定義域と値域

「ばれたか」

ユーリ「見え見えじゃん」

「それで? 関数$\tan$の定義域と値域は?」

ユーリ「まず、$\tan$の定義域は角度だから同じでしょ? 定義域は実数全体の集合!」

「そうかな?」

ユーリ「その手には引っかかりませんぜ、ダンナ。《先生トーク》をしてもだめ。だって、$\theta$がどんな角度だって$\tan\theta$は……」

ユーリは急に話を止めて、視線をずうっと上に向けた。

「$\tan\theta$は?」

ユーリ「違う違う! 実数全体じゃない! $\KAKUDO{90}$はダメ!」

「$\KAKUDO{90}$が駄目とは?」

ユーリ「単位円描いて考えたら、$\tan\theta$って、ココだよね。$\theta$を決めれば、$\tan\theta$が決まる」

「そうだね。半直線$OP$と$x=1$という直線の交点を$Q$とすると、点$Q$の$y$座標が$\tan\theta$の値だ(第311回参照)」

ユーリ「でも、角度を$\KAKUDO{0}$から大きくしていったら、点$Q$はずっと上に行くじゃん? $\KAKUDO{90}$にしたら、点$Q$は無限の上まで行っちゃう?」

「$\theta = \KAKUDO{90}$にしたら、半直線$OP$は直線$x=1$と平行になっちゃうから、交点$Q$はなくなるわけだ」

ユーリ「交点がなくなったら、$y$座標ってどーなるの?」

《定義にかえれ》だね」

ユーリ「?」

「図を使って考えるのは大事だけど、直感的にわからなくなったら、 ちゃんと考えるために《定義にかえれ》という指示に従おう。 $\tan\theta$の定義にかえるんだ」

ユーリ「$\tan\theta$の定義は……$$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $$ だよ……あー、わかった! ゼロ割かあ!  $\theta = \KAKUDO{90}$のとき、 $\cos\theta = 0$だよね。 だとしたらゼロ割になっちゃうからダメだね!」

「すばらしい!」

ユーリ「だから、$\tan\theta$の定義域は、実数全体の集合から$\KAKUDO{90}$を抜いたもの!」

「すばらしく……ないなあ」

ユーリ「ありゃ? ……あ、そっか。$\KAKUDO{90}$だけじゃないんだ。 $\cos\theta = 0$になるところ、全部抜かないといけない?」

「そういうことだね。$\cos\theta = 0$になるような実数$\theta$に対しては、$\tan\theta$は定義できない。 だから、関数$\tan$の定義域は、 『実数全体の集合から、$\cos\theta = 0$になるような実数$\theta$をすべて除いた集合』になる」

ユーリ「どう答えたらいいかわかんない」

「いまのが答えだよ。別の言い方をするなら、 $\tan\theta$の定義域は、

  $\cos\theta = 0$にならない実数$\theta$全体の集合

となるかな。同じことだけど、

  $\cos\theta \NEQ 0$になる実数$\theta$全体の集合

数式で書くなら、 $$ \SET{\theta \SETM \theta \in \REAL, \cos\theta\neq 0} $$ にしたり、 $$ \SET{\theta \in \REAL \SETM \cos\theta\neq 0} $$ としたりできる」

ユーリ「ふーん……それでいーんだ」

「でも、もう少し具体的に$\theta$を定めたいね。$\cos\theta = 0$になるのは、$\theta$がどういうときだろうか」

ユーリ「あっ、それはわかるよ。$\KAKUDO{90}$と、$\KAKUDO{270}$と……ずっと、あとは$\KAKUDO{180}$の倍数を足していくの。 だって、$x$座標が$0$になるのは、角度がそーゆーときだから」

「そうだね。マイナスもね」

ユーリ「そっか。あのね、点が単位円をぐるぐる回るときに、一番上に来るときと一番下に来るとき。それが$\cos\theta = 0$のとき」

$\cos\theta = 0$になるところ

「そういうこと。だから、$\cos\theta = 0$になるのは、$\theta$が……$$ \ldots, \KAKUDO{-270}, \KAKUDO{-90}, \KAKUDO{90}, \KAKUDO{270}, \ldots $$ のとき。$\KAKUDO{90}$に対して$\KAKUDO{180}$の倍数を足していくから、整数$n$を使って、 $$ \KAKUDO{90} + \KAKUDO{180}\times n $$ のように表してもいい」

ユーリ「ふんふん」

「だから、関数$\tan$の定義域は、たとえばこんな風に書ける」

$$ \SET{\theta \in \REAL \SETM \theta \neq \KAKUDO{90} + \KAKUDO{180}\times n \text{($n$は整数)}} $$

ユーリ「りょーかい」

関数$\cos,\sin,\tan$のグラフ

「だから、関数$\cos$と関数$\sin$の定義域は同じだけど、関数$\tan$の定義域はずいぶん違う。 $\cos\theta = 0$のところは関数$\tan$の定義域にならない。 もしも数直線で関数$\tan$の定義域を表すとしたら、無数の穴ぼこがあるわけだ」

ユーリ「穴ぼこ?」

「$x = \cos\theta$のグラフを描いてみると、こうなるね」

$x = \cos\theta$のグラフ

ユーリ「ふんふん」

「だから、グラフと$\theta$軸の交点は関数$\tan$の定義域には入らない。そこが《穴ぼこ》」

$\tan\theta$の定義域

ユーリ「あー、にゃるほど。穴ぼこだ」

「この$x = \cos\theta$のグラフでは横軸が$\theta$になっていることに注意してね。単位円のグラフとは違うから」

ユーリ「わかるよん。$y = \sin\theta$のグラフも形は同じで横にズレるんでしょ?」

$y = \sin\theta$のグラフ

「そうだね。関数$\cos$のグラフと関数$\sin$のグラフは、横に$\KAKUDO{90}$だけずれるけど、形は同じ。では、次のクイズは……」

ユーリ「$\tan$のグラフだね!」

「そういうこと」

ユーリ「どんなグラフになる?」

関数$\tan\theta$のグラフ

「それが問題だよ。横軸を$\theta$として、縦軸を$y$としよう。$y = \tan\theta$のグラフは、どんな形になると思う?」

$y = \tan\theta$のグラフはどんな形?

ユーリ「えーと……そっか、具体的な値がわかってるのがある(第311回参照)。たとえば、$\tan\KAKUDO{0} = 0$だから、 $y = \tan\theta$のグラフは原点を通るよね」

「そうだね」

ユーリ「でも、これしかわかってない。どーすんの?」

$$ \begin{align*} \tan{\KAKUDO{0}} &= 0 \\ \tan{\KAKUDO{30}} &= \frac{1}{\sqrt3} = 0.577\cdots \\ \tan{\KAKUDO{45}} &= 1 \\ \tan{\KAKUDO{60}} &= 1.732\cdots \\ \end{align*} $$

「そこまでだと、こんなふうに点をプロットできる」

ユーリ「プロット?」

「グラフ用紙に点を描くことをプロットっていうんだ」

ユーリ「ふーん」

「$\KAKUDO{0}, \KAKUDO{30}, \KAKUDO{45}, \KAKUDO{60}$だけじゃなくて、もっと細かくプロットしたくなるなあ」

ユーリ「$\KAKUDO{90}$に近づくと、ぎゅーんって大きくなるはずだよね」

「そうだね。$\theta = \KAKUDO{0}$から$\theta$を大きくしていって、$\KAKUDO{90}$に近づくと、急激に$\tan\theta$の値は大きくなりそうだ。原点に立って、仰角をだんだん大きくしていくときの視線の先だから」

ユーリ「こんな感じになるの?」

$y = \tan\theta$はこんな感じ?

「どうかなあ……」

ユーリ「もーちょっと、ちゃんとしたグラフ描きたいにゃあ……って、わかった、ググれば$\tan$のグラフ見つかるんじゃね?」

「検索するのもいいけど、どこかの誰かが作ったグラフを見ちゃうのはちょっとつまらないよね」

ユーリ「だったら……電卓使う? ……それもめんどくさー」

「めんどくさがりだなあ。電卓じゃなくて、分度器を使って描いてみようか」

ユーリ「分度器」

「横軸は$x$で縦軸は$y$にした座標平面を左側に置く。そっちには単位円を描く」

ユーリ「はあ」

「その右側に、横軸は$\theta$で縦軸は$y$にした座標平面を置く。そうすると、たとえば$\tan\KAKUDO{30}$は、こんなふうにプロットできるよね」

ユーリ「あー……にゃるほどー! お兄ちゃん、あったまいーね!」

「『ほめらりるのはうれしいにゃあ』」

ユーリ「ユーリの真似すんなー」

「これなら、分度器と定規を使って、好きな角度で$y = \tan\theta$のグラフを描くことができるはず」

ユーリは、わいわい言いながら、まずはこんなグラフを描いた。

なかなか楽しいぞ。

三角関数を基本から学んでいこう!

ケイクス

この連載について

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

asangi_a4ac tanの定義域は実数全体で値域はR∪{∞}にした方がいいと思う そうしないとcot90°=0の説明が苦しい https://t.co/Vf5vUv3PnN 3日前 replyretweetfavorite

NeueMusikMiLUCA 金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。最新回は一週間無料で読めます。スキもよろしくです。 https://t.co/ptKTAoMB6J #cak @hyuki #note https://t.co/cAGzeCNRWj 3日前 replyretweetfavorite

Lsdu2DalePerry 「ねえ・・・お兄ちゃん。それって簡単な話をややこしく言ってる?」 「そうじゃないよ。簡単な話を正確に言ってるんだ」 「はいはい」 3日前 replyretweetfavorite

taichikuri 今週の話はなんか好き。理由は何だろう? 4日前 replyretweetfavorite