登場人物紹介
僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
ノナ：ユーリの同級生。 ベレー帽をかぶってて、丸い眼鏡を掛けていて、ひとふさだけの銀髪メッシュ。 数学は苦手だけど、興味を持ってる中学生。
$ \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} \newcommand{\SQRT}[1]{\sqrt{\mathstrut #1}} \newcommand{\TRUE}{\textbf{true}} \newcommand{\FALSE}{\textbf{false}} \newcommand{\FOCUS}[1]{\fbox{$#1$}} \newcommand{\GEQ}{\geqq} \newcommand{\LEQ}{\leqq} \newcommand{\NEQ}{\neq} \newcommand{\REMTEXT}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\SET}[1]{\{\,#1\,\}} \newcommand{\EMPTYSET}{\{\,\}} \newcommand{\NONAMACROBASE}[2]{\texttt{..}{\scriptstyle #1}#2} \newcommand{\NONAMACROBASEREV}[2]{#1{\scriptstyle #2}\texttt{..}} \newcommand{\NONAMACRO}[1]{\NONAMACROBASE{#1}{#1}} \newcommand{\NONAMACROREV}[1]{\NONAMACROBASEREV{#1}{#1}} \newcommand{\NONA}{\NONAMACROBASE{\textrm o}{\textrm O}} \newcommand{\NONAX}{\NONAMACROBASE{\textrm x}{\textrm X}} \newcommand{\NONAQ}{\NONAMACRO{?}} \newcommand{\NONAQREV}{\NONAMACROREV{?}} \newcommand{\NONAEX}{\NONAMACRO{!}} \newcommand{\NONAHEART}{\NONAMACRO{\heartsuit}} $
僕「三角形の合同条件は三つあるんだよ。二つの三角形があったとして……」
- 三組の辺の長さがそれぞれ等しい。この条件は三辺相等（さんぺんそうとう）と呼ぶことがある。
- 二組の辺の長さがそれぞれ等しくて、その辺ではさまれている一つの角の大きさも等しい。この条件は二辺夾角（にへんきょうかく）と呼ぶことがある。
- 一組の辺の長さが等しくて、その辺の両端にある二組の角の大きさがそれぞれ等しい。この条件は二角夾辺（にかくきょうへん）と呼ぶことがある。
僕「……この三つだね。たった三つだから覚えるのはそれほど難しくない。でも、三つの合同条件が何を意味するか、よく理解しないと使えない。だから、まず三辺相等から詳しく話すよ」
ユーリ「ストップ！ストップ！お兄ちゃん！お兄ちゃん！早すぎ！早すぎ！」
僕「あっと！……ごめんごめん、また早すぎちゃったよね、ノナちゃん？」
ノナは、緊張した顔でこくん、とうなずいた。
ノナ「ゆっくり……ゆっくりお願いします$\NONA$」
今日は土曜日。ここは僕の家のリビング。
僕と、いとこのユーリと、そしてノナがいっしょにテーブルで勉強をしている。
勉強というかなんというか……ノナが数学を学ぶのを手伝っているところ。
ユーリもノナも中学生だから、そんなに難しい数学じゃない。いちおう僕は高校生だしね。
ユーリ「まったく！ お兄ちゃん、ホントに何回言っても早口になるよね。これでもう、ワンアウトだよ」
僕「スリーアウトになると何が起きるんだろう」
ユーリ「チェンジじゃん」
いとこのユーリはいつもおしゃべりしている仲良し。 だから、間合いもよくわかっている。 ユーリがどんなことに興味を持ち、 どんなふうに考えそうかはだいたいわかる。
でも、ノナは違う。
ノナ「$\NONA$」
ノナはユーリの同級生。
ひょんなことから僕は彼女に数学を教えることになった。
これまで僕たちは何回か数学トークを重ねてきたけれど、 それでもいまだにわからない。ノナがどんなふうに何を考えているのか、僕には、よくわからないのだ。
それに、僕の側の問題もある。自分が知っている話だと、早口になってしまうこと。 これは以前から言われてきたのに、いまだに直らない。努力はしているんだけどな。
僕「うん、じゃあ、ゆっくり行くよ。今日は三角形の合同条件の話」
僕はそう言って、ひと呼吸置く。そして、ノナの反応を待つ。
ノナ「はい$\NONA$」
ノナはユーリと同い年だけど、ずいぶん小柄な体格だ。
丸い眼鏡を掛けていて、やや垂れ目。かわいらしいけれど、ふわふわした話し方とあいまって、だいぶ幼い印象がある。
ノナは、いつもベレー帽をかぶっている。 それは彼女のトレードマークのようだ。 トレードマークというか、アイデンティティなのかな。 そして……ちょっぴりのぞいた前髪の一部が銀色になっている。 《ひとふさだけの銀髪メッシュ》なのだ。
僕「……どうかな？ 話を先に進めても大丈夫？」
ユーリ「だいじょぶだよ。三角形の合同条件っしょ？」
ノナ「さんかっけいの……ごうどうじょうけん$\NONAQ$」
僕「そうだね。三角形の合同条件の話をしようとしている。三角形はわかるよね？」
ノナ「知ってる……知ってます$\NONA$」
ノナは人差し指でテーブルの上に三角形をゆっくり描く。
僕「そうそう。それが三角形。三つのまっすぐな辺で囲まれた図形だね。三つの角があるから三角形」
ノナ「合同条件はわからない……わかりません$\NONA$」
僕「うん、これから話をするから、いまはわからなくても大丈夫。合同条件というのは、二つの三角形はどういうときに合同といえるのか……それを表す条件のことだよ。 ノナちゃんは三角形の合同はわかる？」
ユーリ「ごうどう」
ノナ「ごうどうは、知ってる……知ってます$\NONA$」
僕「じゃあね、『二つの三角形が合同である』ということを説明してみて」
ノナ「わからない……わかりません$\NONA$」
ノナはそういって、銀髪を指でひっぱる。
ユーリ「ノナ、こないだわかってたじゃん！」
ノナ「わかんなくなったんだもん$\NONA$」
僕「うん、大丈夫だよ。ノナちゃんは、うまく説明できないと思ってるんじゃない？ 完全に正しい答えを言えなくてもいいんだよ。まちがってもいいし、何となくでもいいよ。『二つの三角形が合同である』とはどういうことだと思う？ 教えてほしいな、ノナちゃん」
ノナ「おんなじ……三角形が同じ$\NONAQ$」
僕「うん、そうだね。合同というのは、ある意味では、二つの三角形が同じということ。でも、三角形が同じというだけじゃ不正確。 ノナちゃんは、だいたいのことはわかっているみたいだから、少しずつ正確にしていこう。 具体例があった方が話しやすいかな」
具体例（１）
僕は、グラフ用紙に三角形を描く。
僕「たとえば、ノナちゃんは、この二つの三角形を合同だと思う？」
ノナ「ちがう……ちがいます$\NONA$」
僕「そうだね。ノナちゃんのいう通りだよ。この二つの三角形は合同じゃない」
ノナは、数回うんうんうん、とうなずいた。
僕「この二つの三角形は合同じゃない、でも面積は等しいんだ。この三角形二つは、面積が等しいという意味では《おんなじ》だけど、でも、合同とはいえない」
この二つの三角形は、合同じゃない。
- でも、この二つの三角形の面積は等しい。
具体例（２）
僕「じゃあ、ノナちゃんは、この二つの三角形は合同だと思う？」
ノナ「ちがう……ちがいます$\NONA$」
僕「ノナちゃんの言う通り。この三角形は合同じゃない。合同じゃないけど、二つの三角形の三組の角の大きさは、それぞれ等しい」
ユーリ「左の三角形をぐーっと大きくすると右のになるみたい」
僕「そうだね」
ユーリの言葉に反応して僕は『二つの三角形があって、三組の角の大きさがそれぞれ等しいとき、その二つの三角形は相似（そうじ）になってる』 と言いたくなったけれど、ぐっとこらえる。いまは合同の方に集中しよう。
僕「……三組の角の大きさがそれぞれ等しいという意味では、この二つの三角形は《おんなじ》だけど、合同じゃない」
ノナはもう一度こくん、とうなずく。
この二つの三角形は、合同じゃない。
- でも、三組の角の大きさはそれぞれ等しい。
合同の定義
僕「具体例（１）や（２）でわかるように、二つの三角形が《おんなじ》というだけだと、意味がはっきりしない。面積のことを言ってるのか、三つの角の大きさのことを言ってるのか、それとも別のことを言ってるのかわからないから。そうだよね？」
ノナ「『同じ』だと、合同じゃないかも……合同にならないかも$\NONAQ$」
僕「うん、そうだね。単に《おんなじ》というだけだと、合同を意味したことになるかもしれないし、ならないかもしれない。 それだとちゃんと話を進めることは難しい」
ノナはもう一度こくん、とうなずく。その拍子に丸眼鏡が少しずれ、彼女は両手で位置を直す。
僕「でもノナちゃんは、具体例（１）や、具体例（２）で、二つの三角形が合同じゃないとわかった。ということは、ノナちゃんは『二つの三角形が合同である』というのが、 どういうことなのか、きっと知っているんだよね、うまく説明はできなくても」
ノナ「習った……習いました$\NONA$」
僕「なるほど。三角形の合同は学校で習ったんだ」
ノナ「ぴったり重なるの……重なります$\NONA$」
ノナは、両手の人差し指を重ね、重ねたまま指を動かしてテーブルに三角形を一つ描く。
彼女の中では二つの三角形が重なっているのだろう。
僕「そうだね！ そんなふうに、二つの三角形をぴったりと重ねることができるとき、その『二つの三角形は合同である』と呼ぶことにするんだ」
ユーリ「えー、でもお兄ちゃん。《ぴったりと重ねることができる》って、それって数学になんの？ もっと、こー、厳密な話じゃないの？」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに13巻以上も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
