第288回 音楽と数学:純正律の輝き(後編)

純正律に使われている整数比を探っている三人。気になることをどんどん探っていくうちに……あなたもいっしょに音階の秘密にチャレンジ!

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登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好きな高校生。

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双倉図書館にて

ユーリテトラちゃんといっしょに、双倉図書館で開催されている《音楽と数学》というイベントに来ている。

いまは《純正律の輝き》コーナーで、純正律に出てくる音程について調べている。

パネルの指示に従って、$6$音まで計算したところ(第287回参照)。

ユーリ「んんー、そろそろ純正律の音階、残りの$2$音を作ろーよ!」

「そうだね。ここまで作った、$$ 1, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 2 $$ という値は、$C$の音の高さを$1$としたときの$6$音の比になるわけだよね。 楽譜に書くとどうなるんだろう」

テトラ「ハ長調($C$ major)の音階のうち$6$音を書いてみました」

純正律によるハ長調($C$ major)の音階($C$を$1$としたときの周波数比、作業途中)

ユーリ「あいだが抜けてる」

テトラ「ユーリちゃんが言ってた『残りの$2$音』のところですね」

「他は$G$音を基準にして作ると書いてあったよ。このパネルによると」

純正律による音階

この表の音程(純正音程)を使って規定された音階を純正律による音階と呼びます。

  • $C$に対して、完全$1$度、完全$8$度、完全$5$度、完全$4$度、長$3$度、長$6$度上の音となる$6$音をそれぞれ作ります。
  • $C$に対して完全$5$度上の$G$に対して、完全$4$度下の音、長$3$度上の音を用いて$2$音を作ります。
  • この$6+2=8$音で《純正律によるハ長調($C$ major)の音階》が作られます。

ユーリ「えーと、$C$Hzに対して、$G$Hzは、$3C/2$Hzだから……さらにその完全$4$度下は、どーなる?」

「$G = 3C/2$Hzに対して、完全$4$度下の音の周波数を$x$Hzとすると$x:G = 3:4$ということ。つまり、$$ x:G = x:\tfrac32C = 2x:3C = 3:4 $$ が成り立つわけだから、 $$ \dfrac{2x}{3C} = \dfrac34 $$ より、 $$ x = \dfrac{9}{8}C $$ になる。だから$C$を$1$とすれば、残りの$2$音のうち片方は$9/8$だね」

  • $G = 3C/2$Hzに対して、完全$4$度下の音の周波数は$9C/8$Hz

ユーリ「残りは一つ! $G$Hzの長$3$度上の周波数を$y$Hzとすればいーんだよね。$4:5$だから、$$ G:y = \tfrac32C:y = 4:5 $$ ということで、えっと、 $$ y = \frac{15}{8}C $$ になって、$15/8$だ!」

  • $G = 3C/2$Hzに対して、長$3$度上の音の周波数は$15C/8$Hz

テトラ「埋めてみました!」

純正律によるハ長調($C$ major)の音階($C$を$1$としたときの周波数比)

ユーリ「できたできた!」

僕たちは、パネルの指示に従って計算したこの楽譜をしばらく見つめる。

「……」

テトラ「……」

ユーリ「……ねえ、お兄ちゃん。気になることあんだけど、$9/8$とか$15/8$って、それほど小さくなくね?」

「ユーリがいうのは、$D$の$9/8$や、$B$の$15/8$は、$G$の$3/2$などに比べて《小さい整数の比》になっていないという意味だよね」

ユーリ「そーそー。小さい整数の比の方が澄んだ響きになるんじゃなかったっけ?」

「そうなんだけど、そこでいう《響き》は二つの音の関係だよね。$D$の$9/8$というのはあくまで$C$を$1$としたときの周波数比。 そして$C$と$D$はもともと協和しない」

ユーリ「んー、そっか。$D$と$B$は$G$を基準にしたんだもんね。あっ、だったら、$G$を$1$に置き換えたら、この数字はぜんぶ変わる?」

テトラ「やってみましょう! 現在$3/2$になっている$G$が$1$になるようにするんですから、数値をぜんぶ$2/3$倍すればいいですね」

純正律によるハ長調($C$ major)の音階($G$を$1$としたときの周波数比)

ユーリ「$G$を$1$にすると、$D$は$3/4$で$B$は$5/4$になるのは、そーやって作ったからわかる。それから、もともと$G$は$C$の完全$5$度上で作ったからそこも$2/3$になる……」

「そうだね。そして$G$を$1$とすれば、上の$C$は$4/3$になる」

ユーリ「数は並べてみるとおもしろいんだね。ここでも$G$の一つ上の$A$は$10/9$になって分子は二桁になっちゃう。でもそれ以外の分数は分子も文母も一桁……んー」

「ユーリは何を考えているんだろう」

ユーリ「あのね、ピタゴラス音律だと$2$と$3$しか使わなかったじゃん。純正律だと$2$と$3$と$5$を使う。それを比べたらどーなるのかなって」

「なるほどね! ピタゴラス音律と純正律を比較するということか」

テトラ「だったら、実際にやってみましょうよ。純正律とピタゴラス音律の両方について、$C$を$1$とした場合の周波数比を表にしてみましょう!」

純正律とピタゴラス音律によるハ長調($C$ major)の音階比較($C$を$1$としたときの周波数比)

「確かに、具体的に書いてみるとよくわかるなあ。$C$を$1$としたとき、ユーリは純正律の$B$が$15/8$になるのを気にしていたけど、 ピタゴラス音律だと、$243/128$だった!(第284回参照)」

テトラ「《例示は理解の試金石》ですから、どんなときでも具体例で考えるのはいいですよね」

ユーリ「あれ……テトラさん。これ合ってる? $F$って$4/3$じゃなくて、もっとすごかったよーな気がする」

テトラ「そうです、そうです! こちらに書いたピタゴラス音律の$F$は、下の$C$から$3$倍を繰り返して作ったものではなく、 上の$C$から$1/3$倍で作ったものなんです。下から積み上げていくと、確か……(ノートを見返す) はい、$F$は$177{}147/131{}074$になります(第284回参照)」

ユーリ「んんん……?」

テトラ「下の$C$を$1$音目としてから始めて《$3$倍を繰り返してオクターブを越えたら$2$で割る》のを繰り返すと、上の$C$にたどりつけませんよね」

ユーリ「ピタゴラスコンマずれるから?」

テトラ「そうですね。そして《$3$倍を繰り返してオクターブを越えたら$2$で割る》のを繰り返すと、$F$にたどり着くのは$12$音目になります。ようやく、です」

「そうか、$F$は最後に作られる音なんだ」

テトラ「なので、ピタゴラス音律で音階を作るときは通常、$F$を上の$C$を$1/3$倍して、オクターブ内に収まるように$2$倍を繰り返します。それで、$4/3$倍になるんです。というのはパネルからの受け売りですけれど」

さらに深く考えよう

ユーリ「楽譜だと、高い低いがわかりやすいけど、これって半音と全音が混ざっているじゃん? だから、よく考えないとどこが半音でどこが全音かわからなくなるね」

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結城浩

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コメント

chibio6 最初に見たときは特に法則があるように見えなかった純正率だったのに、オイラー格子をみると座標平面が見えてきて、感動している。 2ヶ月前 replyretweetfavorite

asangi_a4ac color notation https://t.co/aRIWmkjx1q 2ヶ月前 replyretweetfavorite

euler_KHUx 音楽と数学って深いつながりあるんだなーって改めて知ったφ(..)メモメモ 2ヶ月前 replyretweetfavorite

roidy_tm チェロの弦のチューニングが下からC→G→D→Aなので横の並びが「5度」ってのはすぐわかったw。 (メーターを使わない場合、隣接弦を同時に鳴らして5度で協和してるかチェックする) https://t.co/KZRPuBGyWC 2ヶ月前 replyretweetfavorite