第287回 音楽と数学:純正律の輝き(前編)

《音楽と数学》イベントで、ピタゴラス音律と平均律のコーナーを回った三人。コーナーを飛ばしていたことに気付いて……あなたもいっしょに音階の秘密にチャレンジ!

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登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好きな高校生。

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双倉図書館にて

ユーリテトラちゃんといっしょに、双倉図書館で開催されている《音楽と数学》というイベントに来ている。

《音は波》コーナー(第281回参照)、《ピタゴラスの響き》コーナー(第283回参照)、《自由な平均律》コーナー(第285回参照)をひと回りしたところ。

ユーリ「あーおもしろかった。対数、完全に理解したっ!」

「また大きく出たなあ。そういうのやめい!」

ユーリ「へへ」

テトラ「それにしても、音について考えるときに、数学で学ぶ対数が出てくるのはおもしろいですね(第285回参照)。 音楽と数学って、ちょっと考えると全然ちがうものに思えるのに、音楽を支えている根底のところに数学があるなんて」

「確かにそうだね」

ユーリ「あれー、でもテトラさん? 世の中のものを細かくしていったら原子や素粒子になるんでしょ。この世のものを支えている根底のところに物理学もあるよー。思いがけないところに、ららら物理学ー」

テトラ「ほんとですね! ユーリちゃんすごいです!」

「ユーリが言ってることは正しいけど、何かずれてるような気もするなあ」

ユーリ「おっおっ、ユーリさまの理論に文句あるんかい」

「すごむなよ。確かに物体を細かくしていったら原子や素粒子になるかもしれないけど、ふだん生活しているときには原子を意識してるわけじゃないよね」

ユーリ「だからー、細かくしたら、って言ってんじゃん」

「うん、だからね。その条件はとても重要なんだよ、きっと。考えているレベルが違う。風を感じるときに、空気分子一つ一つを感じてるわけじゃなくて、 ものすごい数の空気分子の集まりの動きを感じている。 分子一つ一つがどうでもいいというわけじゃなくて、 その……集まりとしての振る舞いに目を向けているんだ」

テトラ「"a macroscopic viewpoint"」

「それそれ!」

ユーリ「え、なんて? ポイント?」

「マクロスコーピック・ビューポイント。巨視的視点。細かく分けて見るんじゃなくて、大きな目、視野を広くして見ること」

ユーリ「まくろすこーぴっく……」

「そう考えてみると《音は波》というのはまったく正しいんだけど、僕たちが音楽をとらえているときの感覚と、ある一瞬の波の動きをとらえる感覚とのあいだには、 ずいぶん差がありそうだなあ」

ユーリ「反対は何て言うの? まくろすこーぴっくの反対」

テトラ「対義語は"a microscopic viewpoint"でしょうか」

「マイクロスコーピック・ビューポイント。微視的視点」

ユーリ「まいくろすこーぴっく……マインクラフトみたいな名前」

「そうそう、マインクラフトスコーピック・ビューポイント……って違うだろ!」

ユーリ「ノリツッコミ寒いよ。そんなことより、次はどのコーナーに行く? えーっと、《音は波》と、《ピタゴラスの響き》と、《自由な平均律》は見たから、次はどーしよ。 《リズムは歌う》にする? 《音色と倍音》にする? それとも《音符の箱詰め》にする?」

ユーリは、パンフレットとスタンプカードを見比べながら、次に進むコーナーを物色している。

テトラ「そういえば《ピタゴラスの響き》からすぐに《自由な平均律》に来ちゃいましたよね」

ユーリ「?」

テトラ「あっちにある《純正律の輝き》コーナーに行きましょう」

「ああ、飛ばしたコーナーがあるんだ」

僕たち三人は《純正律の輝き》のコーナーへ移動した。

今回は、何だかテトラちゃんが僕たちを導いていくみたいだな。

《純正律の輝き》

ユーリ「《じゅんせーりつ》って、超かっこいい名前!」

テトラ「"just intonation"ですね」

ユーリ「じゃすと・いんとねーしょん」

クイズパネルがいきなりあるよ」

クイズ(純正律における音程と周波数比の対応)

純正律における音程と周波数比には次のような対応があります。

この中には、ピタゴラス音律を作る方法では作れない音程が含まれています。どれでしょうか。

ユーリ「めんどくさそーなクイズ……」

「いやいや、純正律という音律と、ピタゴラス音律の違いを見つけるためのクイズなんだよ、きっと」

テトラ「あ、あたしは……答えをもう見ちゃってるので(お口にチャック)」

ユーリ「完全$1$度って同じ音のことだよね、ピタゴラス音律のところでも出てきた」

「そうだね。二つの音が同じ高さになっている音程のことだ」

ユーリ「なんでいま微妙に言い換えたの? 同じ音のことでしょ?」

「《同じ音》というのは大ざっぱな表現だからだよ。《音は波》だから、音には高さや大きさやそれからもっと複雑な形についての情報がある。 いまユーリが言った《同じ音》は、高さが同じという意味だろ?」

ユーリ「そだよん」

「それから、完全$1$度や完全$8$度というのは、音程についての名前なんだから。二つの音が必ず出てくる。 音程というのは二つの音の高さの違いだから」

ユーリ「はいはい。完全$1$度は、二つの音が同じ高さになっている音程ですよっと。でも、これってどーして《完全$0$度》っていわないんだろ」

「どうしてだろうね……ところで、このクイズに戻ろう。ここに書かれた$8$個の音程のうち、ピタゴラス音律を作る方法では作れない音程がある、と」

純正律における音程

ユーリ「ピタゴラス音律を作る方法って、$3$倍にしたり$1/2$にしたり」

「そうだね。まずオクターブは自由に作れる。周波数を$2$倍にすれば$1$オクターブ上がるし、周波数を$1/2$倍にすれば$1$オクターブ下がる。 そして、それとは別に周波数を$3$倍にしたり、$1/3$倍にする。 そうするとオクターブ以外の音の刻み方ができる」

ユーリ「あー、だったら完全$5$度はできるね。$2:3$だもん」

「いやいや、そうなんだけど、順番に考えようよ」

テトラ「……」

完全$1$度

「まず、完全$1$度は作れる」

ユーリ「同じ音だから……二つの音が同じ高さの音程にすればいいから」

「そうだね。最初の音の周波数を$C$Hzとして、同じ周波数$C$Hzの音を用意すると、$$ C:C = 1:1 $$ になる。$C$と$C$は完全$1$度の音程」

完全$8$度

ユーリ完全$8$度も作れるよ。これは$1$オクターブ上でしょ。周波数を$2$倍にすればいいから、これも作れる」

「うん。最初の音の周波数を$C$Hzとして、その周波数を$2$倍にした周波数を$C'$Hzとすると、$C' = 2C$ということ。だから、$$ C:C' = C:2C = 1:2 $$ になる。これはピタゴラス音律の方法で作れる」

テトラ「あっ……こういうのって大事ですね」

「こういうの?」

テトラ「$1:2$という周波数比が出てきたときに、当たり前のように見えても、$C:C' = C:2C = 1:2$のように書いてみることです。あたしは、いつも$1:2$と$2:1$でどっちがどっちって思っちゃいます。$2$倍にするか$1/2$倍にするか……」

「ああ、そうだね。相対的なものだから、入れ換えてもほとんどの議論は同じように進んじゃうからね。 でも、当たり前のことをちゃんと書いてみるのは大事だと思うよ。 ときどき意外な発見もあるしね」

テトラ「はい、根気よく計算するのは大好きですっ!」

完全$5$度

ユーリ「早く次やろーよ。完全$5$度は作れるっしょ? $2:3$だもん」

「作れるね。これはピタゴラス音律で大事な音だった。オクターブ以外で初めて出た音だから。$C$に対して、$G$を作ったときだね。 $C$Hzの周波数を$3$倍するんだけど、そうするとオクターブよりも上になるから、$2$で割る。 その周波数を$G$Hzとすると、$G$は$C$の$3/2$倍になる。だから……」

ユーリ「$C:G = C:\tfrac32C = 1:\tfrac32 = 2:3$でしょ? $1$と$3/2$の両方を$2$倍する」

「そうだね。それで完全$5$度はできる」

完全$4$度

ユーリ「次の完全$4$度もできる。えーと、下がればいい?」

「下がるというか、いま作った$G$と、高い方の$C'$の音程だよね。だって、$G = \tfrac32C$で、$C' = 2C$だから、 $$ G:C' = \tfrac32C:2C = 3C:4C = 3:4 $$ になって、完全$4$度ができてる」

ユーリ「あー、それでいーんだ。ユーリは$C$から周波数を$1/3$倍した低い音を作るんだと思った」

「それでもいいよ。それは、$F$の$1$オクターブ下の音になる」

純正律における音程

長$3$度

テトラ「次はいよいよ、あっ、いよいよじゃなくてっ、次は純正律の長$3$度ですね」

ユーリ「周波数比は$4:5$で……これはピタゴラス音律だと作れないんじゃね? うん、作れない!」

「それはなぜか」

ユーリ「$5$があるから! $4:5$のうち、$4$は作れるよ。でも$5$は作れない!」

「それは、なぜか」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

itis_no_matter かわいいなあ https://t.co/Yl6LT2peJl 6ヶ月前 replyretweetfavorite

chibio6 平均律でもう完璧だと思っていたら純生率がでてきた。C major という言葉に聞き覚えが… https://t.co/CX1ysYLG3N 6ヶ月前 replyretweetfavorite

JJLuckySky このシリーズ読まねばーーー! 6ヶ月前 replyretweetfavorite

888onoD 音楽関係者の皆さん、読んでますか?前編は明後日まで無料、後編は金曜日に更新です! 6ヶ月前 replyretweetfavorite