第285回　音楽と数学：自由な平均律（前編）

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双倉図書館にて

ユーリ「……なーるほど。ユーリが見つけたパターンだとこーなるね！」

僕「そうなる。そして問題は左下と右下の音$C$だよ。左下の赤い丸で囲んだのが最初の音$C$で、右下の青い星で囲んだのが十三音目の音$C$だ」

テトラ「その二つの音の周波数が等しくないということなんですね……」

ユーリ「うわー……」

テトラ「こちらにピタゴラスコンマの解説パネルがあります」

ユーリ「ぴたごらすこんま！　名前があるんだ！」

僕「そうか、ここでいう《違い》は周波数の比になるわけか」

ユーリ「え？」

僕「日本語で《違い》というと、差を意味することもある。でもここでは比の意味」

ユーリ「よくわかんない」

僕「難しい話を言ってるわけじゃないよ。《最初の音の周波数》を$C_1$で表して、《十三音目の周波数》をたとえば$C_{13}$で表したとする。 ピタゴラスコンマは$3^{12}/2^{19}$だから、 $$ C_1 \times \underbrace{\dfrac{3^{12}}{2^{19}}}_{\text{ピタゴラスコンマ}} = C_{13} $$ になるって言っただけ。もしもピタゴラスコンマが$1$だったら《違い》はまったくなかったんだけどね。 $C_1 \times 1 = C_{13}$になってたわけだから。 でも、実際はピタゴラスコンマは、 $$ 1.013643{}26477{}05078125 $$ という値。$1$よりもちょっぴり大きい」

ユーリ「比の意味、わかった。いままでずっと周波数を$3$倍したり$1/2$にしてきたんだから、ぜーんぶ掛け算の話だもん。 それにしても、この《小さい違い》はどーすんの？」

テトラ「……それでいいんでしょうか」

ユーリ「テトラさん、それって？」

テトラ「あたしたちは計算の方法を知りましたよね」

ユーリ「？」

テトラ「計算の方法を知ったということは《小さい》ではなくて《どのくらい小さい》と言えるようになったはずだと思うんです。なので、ピタゴラスコンマはどのくらい小さいのかな……と」

ユーリ「あっ！　定量的な議論ってやつ？！　（第282回参照）」

僕「なるほど……」

ユーリ「でも待ってよ、テトラさん。だって、もー、計算は終わってるじゃん？ピタゴラスコンマは、 $$ 3^{12}/2^{19} = 531441 / 524288 = 1.013643{}264770{}5078125 $$ だってわかっている。これって《てーりょーてき》じゃないの？　数が出てるもん」

テトラ「ええ、そうなんですけど、ではその$1.013643{}264770{}5078125$はどのくらいの小ささなのか……と思ったんです」

ユーリ「ほんとーは$1$になってほしーけど、$1.013643{}264770{}5078125$ になった。 てことは、 $$ 1.013643{}264770{}5078125 - 1 = 0.013643{}264770{}5078125 $$ がズレなんじゃないの？」

テトラ「それは引き算でいいんでしょうか？　もともとピタゴラスコンマ自体がズレを表しているんですよね」

ユーリ「えーと……そっか、$1$を$1.013643{}264770{}5078125$から引き算するのは変？」

僕「うーん……引き算することは変じゃないよ。たとえば実数$x$を$a$倍することと、$b$倍することを比較したいとき、$b - a$に意味はあるかという話だよね。 $x$を$b - a$倍した値$(b - a)x$は、《$ax$に何を加えれば$bx$が得られるか》に答える量になる」

ユーリ「なんですと？」

僕「簡単な話だよ。$$ ax + (b - a)x = bx $$ だから、$ax$に$(b - a)x$を加えれば$bx$が得られる」

ユーリ「そゆことか」

僕「たとえば、$a = 1, b = 1.013643{}264770{}5078125$で、$x$は最初の音の周波数と考えれば、ユーリの引き算は$b - a$に相当するといえる」

テトラ「あ、あたしも混乱してきました。ピタゴラスコンマ自体がズレを表していますよね？」

僕「ズレを表すというと混乱するかもね。ピタゴラスコンマは《最初の音の周波数$x$に何を掛ければ十三音目の周波数が得られるか》に答える量といえる。 数や量を得たときには、それが何なのかをよく理解しているのが大事だと思うよ」

テトラ「ああ……そうですね」

僕「特に《加える》のか《掛ける》のかの違いは大きい……そうか。これは対数が出てくる場面だなあ」

ユーリ「たいすう？」

僕「そうだよ。積がたくさん登場したり、比を考えたりする場面では対数が顔を出すことが多い」

ユーリ「なんで？　てか、対数って何だっけ」

対数の基本

僕「たとえば$10^3 = 1000$という式が成り立つ。《$10$の$3$乗は$1000$に等しい》という」

$$ 10^3 = 1000 $$

ユーリ「うん」

僕「これと同じことを対数を使って《$10$を底（てい）とする$1000$の対数は$3$に等しい》という。そして$\log$（ログ）という記号を使ってこう書く」

$$ \log_{10} 1000 = 3 $$

ユーリ「ろぐ」

僕「$1000$から$3$を得る計算を《$10$を底として$1000$の対数を取る》ということもある」

ユーリ「ゼロの数だ」

僕「そうだね。$10$を底にした場合には、$10^n$の$n$はゼロの個数になるからね。底は$10$とは限らないし、$10$の冪乗以外の対数も取るからいつもゼロの個数とはいえないけど。 一般には、対数はこんなふうにいう」

ユーリ「そんで、音階でなぜに対数の話になったの？」

僕「対数は、積を和に変換するから」

ユーリ「ワニ変換！？」

僕「そんなに驚かなくてもいいよ。《対数は、積を和に変換する》性質がある。簡単な例だと、 $$ 100 \times 1000 = 100000 $$ になるけど、これは、 $$ 10^2 \times 10^3 = 10^{2 + 3} $$ ということだね。掛け算をするんだけど、指数に注目すると足し算になってる」

ユーリ「掛け算すると、ゼロの個数は足し算になってる」

僕「そういうこと。いまはわかりやすいように$10$の冪乗を出したけど、一般に、$$ 10^{a} \times 10^{b} = 10^{a + b} $$ ということ。これは指数法則と呼ばれるものの一つ」

ユーリ「しすーほーそく」

僕「この式の意味は《$10^{a} \times 10^{b}$は、$10$の$a + b$乗に等しい》ということ」

ユーリ「$10^{a} \times 10^{b} = 10^{a + b}$だから」

僕「同じことだけど《$10$を$a + b$乗したら、$10^{a} \times 10^{b}$に等しい》ともいえる」

ユーリ「そりゃそーだ」

僕「いまいったことを対数で書けば、$$ \log_{10}{10^{a} \times 10^{b}} = a + b $$ となる」

ユーリ「えーと？　$10$を、$a + b$乗したら、$10^{a} \times 10^{b}$に等しい……ほんとだ」

僕「だから、積を和に変換したいときには対数がよく出てくる。指数の部分をメインで扱いたいときにも対数を使う。 僕は《上に乗っている指数を下に落とす》みたいな感覚で式変形しているなあ」

$$ \log_{B} a^b = b \log_{B} a $$

テトラ「あああああっ！　そういうことなんですねっ！」

僕「どうしたの、テトラちゃん急に」

テトラ「さっきあっちで見たパネルの意味がわかったからですっ！　セントという単位が出てきます」

セント

僕「なるほどね。《音は波》で、音の高さの違いは周波数の違い。音の高さの違いを調べるときには、$2$倍とか$3$倍とか$1/2$倍といった積に注目する。 だから、周波数$x$Hzと$y$Hzの違いとして$y/x$を調べたくなるのはわかる」

ユーリ「それじゃだめなの？割り算すればいいんでしょ？」