書籍紹介
「学ぶ人」と「教える人」の両方にお勧めの一冊!
書籍『数学ガールの秘密ノート/学ぶための対話』
第1章がまるごと読める「Web立ち読み」はこちら!
登場人物紹介
僕:数学が好きな高校生。
ユーリ:僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
テトラちゃん:僕の後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好きな高校生。
双倉図書館にて
僕はユーリといっしょに、双倉図書館で開催されている《音楽と数学》というイベントに来ている。
《音は波》コーナー(第281回参照)から《ピタゴラスの響き》コーナーへ移って音を作ってきた(第283回参照)。
完全$5$度と完全$4$度を繰り返して音を作ってきたけれど、十三音目がちょうどオクターブにならないことに気付いたところ(第284回参照)。
そこにテトラちゃんも加わって……
ユーリ「……なーるほど。ユーリが見つけたパターンだとこーなるね!」
赤い実線矢印は完全$5$度を作り、青の点線矢印は完全$4$度を作る
僕「そうなる。そして問題は左下と右下の音$C$だよ。左下の赤い丸で囲んだのが最初の音$C$で、右下の青い星で囲んだのが十三音目の音$C$だ」
テトラ「その二つの音の周波数が等しくないということなんですね……」
ユーリ「うわー……」
テトラ「こちらにピタゴラスコンマの解説パネルがあります」
ピタゴラスコンマ
一音目の周波数と、十三音目の周波数の違いをピタゴラスコンマといいます。 周波数の比として表したピタゴラスコンマは、 $$ 3^{12}/2^{19} = 531441 / 524288 = 1.013643{}264770{}5078125 $$ という値になります。
ユーリ「ぴたごらすこんま! 名前があるんだ!」
僕「そうか、ここでいう《違い》は周波数の比になるわけか」
ユーリ「え?」
僕「日本語で《違い》というと、差を意味することもある。でもここでは比の意味」
ユーリ「よくわかんない」
僕「難しい話を言ってるわけじゃないよ。《最初の音の周波数》を$C_1$で表して、《十三音目の周波数》をたとえば$C_{13}$で表したとする。 ピタゴラスコンマは$3^{12}/2^{19}$だから、 $$ C_1 \times \underbrace{\dfrac{3^{12}}{2^{19}}}_{\text{ピタゴラスコンマ}} = C_{13} $$ になるって言っただけ。もしもピタゴラスコンマが$1$だったら《違い》はまったくなかったんだけどね。 $C_1 \times 1 = C_{13}$になってたわけだから。 でも、実際はピタゴラスコンマは、 $$ 1.013643{}26477{}05078125 $$ という値。$1$よりもちょっぴり大きい」
ユーリ「比の意味、わかった。いままでずっと周波数を$3$倍したり$1/2$にしてきたんだから、ぜーんぶ掛け算の話だもん。 それにしても、この《小さい違い》はどーすんの?」
テトラ「……それでいいんでしょうか」
ユーリ「テトラさん、それって?」
テトラ「あたしたちは計算の方法を知りましたよね」
ユーリ「?」
テトラ「計算の方法を知ったということは《小さい》ではなくて《どのくらい小さい》と言えるようになったはずだと思うんです。なので、ピタゴラスコンマはどのくらい小さいのかな……と」
ユーリ「あっ! 定量的な議論ってやつ?! (第282回参照)」
僕「なるほど……」
最初の音と、十三個目に作った音との《小さい違い》を定量的に考える……テトラちゃんが話しているのはそういうことなんだろう。
ユーリ「でも待ってよ、テトラさん。だって、もー、計算は終わってるじゃん?ピタゴラスコンマは、 $$ 3^{12}/2^{19} = 531441 / 524288 = 1.013643{}264770{}5078125 $$ だってわかっている。これって《てーりょーてき》じゃないの? 数が出てるもん」
テトラ「ええ、そうなんですけど、ではその$1.013643{}264770{}5078125$はどのくらいの小ささなのか……と思ったんです」
ユーリ「ほんとーは$1$になってほしーけど、$1.013643{}264770{}5078125$ になった。 てことは、 $$ 1.013643{}264770{}5078125 - 1 = 0.013643{}264770{}5078125 $$ がズレなんじゃないの?」
テトラ「それは引き算でいいんでしょうか? もともとピタゴラスコンマ自体がズレを表しているんですよね」
ユーリ「えーと……そっか、$1$を$1.013643{}264770{}5078125$から引き算するのは変?」
僕「うーん……引き算することは変じゃないよ。たとえば実数$x$を$a$倍することと、$b$倍することを比較したいとき、$b - a$に意味はあるかという話だよね。 $x$を$b - a$倍した値$(b - a)x$は、《$ax$に何を加えれば$bx$が得られるか》に答える量になる」
ユーリ「なんですと?」
僕「簡単な話だよ。$$ ax + (b - a)x = bx $$ だから、$ax$に$(b - a)x$を加えれば$bx$が得られる」
ユーリ「そゆことか」
僕「たとえば、$a = 1, b = 1.013643{}264770{}5078125$で、$x$は最初の音の周波数と考えれば、ユーリの引き算は$b - a$に相当するといえる」
テトラ「あ、あたしも混乱してきました。ピタゴラスコンマ自体がズレを表していますよね?」
僕「ズレを表すというと混乱するかもね。ピタゴラスコンマは《最初の音の周波数$x$に何を掛ければ十三音目の周波数が得られるか》に答える量といえる。 数や量を得たときには、それが何なのかをよく理解しているのが大事だと思うよ」
テトラ「ああ……そうですね」
僕「特に《加える》のか《掛ける》のかの違いは大きい……そうか。これは対数が出てくる場面だなあ」
ユーリ「たいすう?」
僕「そうだよ。積がたくさん登場したり、比を考えたりする場面では対数が顔を出すことが多い」
ユーリ「なんで? てか、対数って何だっけ」
対数の基本
僕「たとえば$10^3 = 1000$という式が成り立つ。《$10$の$3$乗は$1000$に等しい》という」
$$ 10^3 = 1000 $$ユーリ「うん」
僕「これと同じことを対数を使って《$10$を底(てい)とする$1000$の対数は$3$に等しい》という。そして$\log$(ログ)という記号を使ってこう書く」
$$ \log_{10} 1000 = 3 $$ユーリ「ろぐ」
僕「$1000$から$3$を得る計算を《$10$を底として$1000$の対数を取る》ということもある」
ユーリ「ゼロの数だ」
僕「そうだね。$10$を底にした場合には、$10^n$の$n$はゼロの個数になるからね。底は$10$とは限らないし、$10$の冪乗以外の対数も取るからいつもゼロの個数とはいえないけど。 一般には、対数はこんなふうにいう」
対数の定義
$A$と$B$を正の実数とし、$B$は$1$ではないとする($A > 0, B > 0, B \NEQ 1$)。
$L$を実数とする。
いま《$B$を$L$乗すると$A$に等しい》とする。すなわち、 $$ B^L = A $$ が成り立つとする。
このときの$L$を《$B$を底とする$A$の対数》と呼び、 $$ \log_{B} A $$ と表す。
$$ B^L = A \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{B} A = L $$
ユーリ「そんで、音階でなぜに対数の話になったの?」
僕「対数は、積を和に変換するから」
ユーリ「ワニ変換!?」
僕「そんなに驚かなくてもいいよ。《対数は、積を和に変換する》性質がある。簡単な例だと、 $$ 100 \times 1000 = 100000 $$ になるけど、これは、 $$ 10^2 \times 10^3 = 10^{2 + 3} $$ ということだね。掛け算をするんだけど、指数に注目すると足し算になってる」
ユーリ「掛け算すると、ゼロの個数は足し算になってる」
僕「そういうこと。いまはわかりやすいように$10$の冪乗を出したけど、一般に、$$ 10^{a} \times 10^{b} = 10^{a + b} $$ ということ。これは指数法則と呼ばれるものの一つ」
ユーリ「しすーほーそく」
僕「この式の意味は《$10^{a} \times 10^{b}$は、$10$の$a + b$乗に等しい》ということ」
ユーリ「$10^{a} \times 10^{b} = 10^{a + b}$だから」
僕「同じことだけど《$10$を$a + b$乗したら、$10^{a} \times 10^{b}$に等しい》ともいえる」
ユーリ「そりゃそーだ」
僕「いまいったことを対数で書けば、$$ \log_{10}{10^{a} \times 10^{b}} = a + b $$ となる」
ユーリ「えーと? $10$を、$a + b$乗したら、$10^{a} \times 10^{b}$に等しい……ほんとだ」
僕「だから、積を和に変換したいときには対数がよく出てくる。指数の部分をメインで扱いたいときにも対数を使う。 僕は《上に乗っている指数を下に落とす》みたいな感覚で式変形しているなあ」
$$ \log_{B} a^b = b \log_{B} a $$テトラ「あああああっ! そういうことなんですねっ!」
僕「どうしたの、テトラちゃん急に」
テトラ「さっきあっちで見たパネルの意味がわかったからですっ! セントという単位が出てきます」
セント
セント
セントは周波数の違いを表す単位です。
周波数$x$Hzと$y$Hzの違いを$n$セントとすると、$n$は、 $$ n = 1200 \times \log_2\left(y/x\right) $$ で得られます。
僕「なるほどね。《音は波》で、音の高さの違いは周波数の違い。音の高さの違いを調べるときには、$2$倍とか$3$倍とか$1/2$倍といった積に注目する。 だから、周波数$x$Hzと$y$Hzの違いとして$y/x$を調べたくなるのはわかる」
ユーリ「それじゃだめなの?割り算すればいいんでしょ?」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)