書籍紹介
二進法、ビット演算、コンピュータグラフィックス、二の補数表現、パターンの発見、順序構造とブール代数……コンピュータを支える数学の基礎を学ぼう！
登場人物紹介
僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
《音は波》
僕はユーリといっしょに《音楽と数学》というイベントに来ている。
いまは《音は波》というコーナーを回っているところ（第281回参照）。
ユーリ「お兄ちゃん、次のパネルに行こうよ」
僕「さっきから会場を走り回ってるから、《次》がどこかはもうわからないよ」
ユーリ「いーの、いーの。新しいパネルに行けばそれが《次》だもん」
僕「はいはい」
クイズ（音の大きさ）
（Ｘ）（Ｙ）（Ｚ）は、音をグラフとして表したものです。
最も大きい音はどれでしょうか。また最も小さい音はどれでしょうか。
（Ｘ）
（Ｙ）
（Ｚ）
※横軸は時刻を表し、縦軸は音圧を表しています。またグラフはどれも同じスケールとします。
ユーリ「あ、これはさっき見たクイズパネルだっけ？」
僕「見てないね。さっき見たのは《音の高さ》のクイズパネルだけど、このクイズパネルは《音の大きさ》だから（第281回参照）」
ユーリ「そっか。音がいちばん大きいのは（Ｙ）だよね。それからいちばん小さいのは（Ｚ）」
僕「そうだね。正解」
クイズの答え（音の大きさ）
（Ｘ）（Ｙ）（Ｚ）は、音をグラフとして表したものです。
最も大きい音は（Ｙ）で、最も小さい音は（Ｚ）です。
（Ｘ）
（Ｙ）
（Ｚ）
※横軸は時刻を表し、縦軸は音圧を表しています。またグラフはどれも同じスケールとします。
ユーリ「カンタン！」
僕「このグラフでは、音の大きさは《波の振幅》の大きさとして表されていることになるね。ここの部分」
波の振幅
ユーリ「カンタンなクイズばっかりだね」
僕「《音は波》のコーナーは、音が波であることや、波の要素について親しんでもらおうというコーナーだからじゃないかな。親しんでもらうのに、超難問でいきなり挑戦してもしょうがないよね」
ユーリ「その方が楽しそう！ 超難問大好きだぜ！」
僕「いやいや」
ユーリ「……波の要素って何？」
僕「波を特徴付けているものは何かということだよ」
ユーリ「また、難しい話を始めたね？」
僕「超難問、好きなんだろ？」
ユーリ「またそーゆーこと言う」
僕「波を特徴付けているものっていうのは、波の周波数や、波の波長や、波の振幅などだよ。そのほかには……」
ユーリ「波を特徴付けているものって大事なの？」
僕「そりゃ大事だね。《音は波》だから、《波を研究する》のは《音を研究する》ことに関係してくる。 じゃ、《波を研究する》っていうのは、いったい何をすることなんだろうか」
ユーリ「ほほー？」
僕「たとえば『ああ……音が鳴ってるなあ……ああ……音が聞こえるなあ……』と何となくぼんやり考えるだけだと話は進まないし、きちんと考えられない」
ユーリ「ちょっとぼんやりし過ぎじゃね？」
僕「『この音は高いけれど、あの音は低い』や『さっきの音は小さいけれど、いまの音は大きい』みたいに、音が持っている特徴を注意深く見分ける必要がある」
ユーリ「聞き分ける」
僕「……音が持っている特徴を聞き分けて、音を見分けて、どんな音なのかを表現したくなる。そしてそのために言葉が必要になる。音の高さを波の周波数として表したり、音の大きさを波の振幅として表したりして」
ユーリ「あっ！」
僕「わっ！ ……急に大声出すなよ」
ユーリ「その話ってさー、お兄ちゃんがよく言う《二つの世界》の話だよね」
僕「そうかな？」
ユーリ「《音の世界》と《波の世界》の関係の話でしょ？」
僕「おお、確かに！ ユーリ、賢いなあ！」
ユーリ「へへへ」
僕「いま言いたかったのは確かにそれだよ。《音の世界》には、高い音や低い音、大きい音や小さい音がある。 それらの概念を《波の世界》に持っていくと、周波数が高い波や低い波、振幅が大きい波や小さい波に対応して……」
ユーリ「《がいねん》って何？」
僕「概念とは何か？ また難しい質問してきたな。ええと、概念とは、具体的な個々の対象を抽象化してまとめてとらえた……そういう概念。 いや、概念を定義するのに概念を使っちゃだめだな。ええと……」
ユーリ「無理しなくていーよ。さっきの話を続けたまえ」
僕「それで……《音の世界》には《高い音や低い音》《大きい音や小さい音》がある。それらの概念を《波の世界》に持っていくと《周波数が高い波や低い波》《振幅が大きい波や小さい波》に対応する。 そうすると、別の観点から研究できることになる」
ユーリ「別の観点？」
僕「音が高い低いという《定性的》な話だけじゃなくて、周波数を使って《定量的》な話ができるということ。あ、定性的っていうのは」
ユーリ「てーせーてき、てーりょーてきは知ってる。お兄ちゃん教えてくれたじゃん」
僕「そうだっけ」
ユーリ「《どんな性質を持ってるか》ってゆーのが定性的で、《どのくらいの量か》ってゆーのが定量的でしょ。性質と量」
僕「そうそう！ 《波の世界》の言葉を使って定量的に音の概念を表現すると、音が高い低いだけじゃなくて、どのくらい音が高いかを表現できることになる。周波数を使えばいいからね。 人間の可聴域が約$20$Hz〜約$20000$Hzだという話があったけど、 それはまさに《音の世界》の概念を《波の世界》の言葉を使って表現した例になっている（第281回参照）。 人間の耳で聞こえる範囲という《音の世界》の概念を《波の世界》の言葉を使って定量的に表現していることになるわけだ」
ユーリ「うっわー……その話、理屈っぽいけど、おもしろーい！」
僕「そろそろ次のクイズパネルに行こうか」
ユーリ「うんっ！」
音の変換
僕「これもクイズパネルかな」
ユーリ「どらどら」
クイズ（音の変換）
次の図は、 コンピュータのあるプログラムが音を変換しているところを表しています。
どのような変換であるかは、入力と出力の波で示されています。
入力した音に比べて、出力した音はどのように聞こえるでしょうか。
※横軸は時刻を表し、縦軸は音圧を表しています。またグラフはどれも同じスケールとします。
僕「なるほどね。音は波だから、その波の形をコンピュータで変換したら音はどうなるかという問題なんだね。入力した音の波と、出力した音の波があるから、それを見比べて音がどう変わったかを答えるクイズ」
ユーリ「あー、これもカンタンカンタン。だってほら、さっきやったばっかじゃん。入力に比べて出力は振幅が小さくなってる。だから、これ、音が小さくなる！」
僕「そうかな？」
ユーリ「え？ ……あー、いまのなし！ 音が小さくなるだけじゃないね……音が高くなってる？」
僕「そうだね。振幅を見て音の大きさを調べ、周波数を見て音の高さを見ることになる。周波数は単位時間の波の個数で、出力の波の個数が多いから、音は高くなってる」
- 入力の波に比べて、出力の波は振幅が小さい。だから、音は小さくなる。
- 入力の波に比べて、出力の波は周波数が高い。たから、音は高くなる。
クイズ（音の変換）
入力した音に比べると、出力した音の大きさは小さく、音の高さは高くなります。
※横軸は時刻を表し、縦軸は音圧を表しています。またグラフはどれも同じスケールとします。
ユーリ「ははーん、これ、逆だね！」
僕「逆とは」
ユーリ「さっきと逆じゃん？ さっきは《音の世界》を《波の世界》に移して定量的に考えるって話だったけど、この音の変換は逆。《波の世界》の振幅や周波数を調べて、それで《音の世界》のことを考えてる」
僕「うーん、なるほど。ユーリ、今日は冴えてるなあ！」
ユーリ「今日も」
僕「ユーリ、今日も冴えてるなあ」
ユーリ「そんじゃ、次のパネルに行こー！」
僕「ちょっと待って」
ユーリ「え？ まだ何か考える必要あるの？」
僕「うん。このクイズに出てきた入力と出力で気になることがある。もしも、このコンピュータに向かって『人間が歌ったらどうなるか』って考えていたんだよ」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
