第272回 放物線をつかまえて:ボールを投げる(後編)

ボールを投げると、どうして放物線を描くのか……中学生のユーリが発する質問に、あなたなら何と答えますか?

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

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僕の部屋

ユーリは、 『ボールを投げると放物線を描いて飛ぶのはなぜか』という疑問について議論を続けている(第271回参照)。

「ボールを質点と見なして、高いところから水平方向に投げる。質点は放物線を描いて落ちていく。質点が動くとき、時刻$t$を決めれば……

・どれだけ横方向に進んだかという$x$の値が一つ決まる。それを$x(t)$で表す。
・どれだけ下方向に落ちたかという$y$の値も一つ決まる。それを$y(t)$で表す。

だから、時刻$t$の値が$t = 0, 1, 2, 3, \ldots$のときに注目すると……

・$x(t)$の値は$x(0), x(1), x(2), x(3), \ldots$と変化するし、
・$y(t)$の値は$y(0), y(1), y(2), y(3), \ldots$と変化する。

……ここまではわかった?」

ユーリ「うん、わかった」

「$x(t)$のようにカッコをつけて書いたのは、$x$という座標の値が時刻$t$の関数だ……とはっきりいうためだよ。だから、ボールを投げたときの放物線の式を$y = ax^2$と書いたけど、 この式は、二つの関数$x(t)$と$y(t)$がどういう関係にあるかを表しているといえる」

ユーリ「どういう関係にあるか……」

「そうだよ。$y = ax^2$という等式は、《$y$の値が$a$と$x^2$の積に等しい》ということを表しているよね。特に、ボールを投げているようすと合わせて考えるなら、どんな時刻においても《$y$の値が$a$と$x^2$の積に等しい》といってるわけだ」

ユーリ「ほほー」

「そこで、時刻のことも考えて、式の中に時刻$t$をはっきり書くとしたら、$$ y(t) = ax(t)^2 $$ と表してもいいよ。どんな時刻$t$に対しても、$y(t)$の値は$a$と$x(t)$の二乗の積に等しいということだね」

ユーリ「うんうん、そこまではわかった。でもね、さっきから引っかかってるんだけど」

「何に?」

ユーリ「何だか……話がひっくり返っているみたいなの!」

「えっ?」

ユーリ「ひっくり返っているってゆーか、逆ってゆーか……」

「どういうことだろう。ユーリは、ボールを投げたときに放物線になる理由を知りたいと思ったんだよね」

ユーリ「んー……うん、そーだよ」

「言葉だけで話を進めるのは難しいから、いまは《放物線》のことを《$y = ax^2$で表せる曲線》とした」

ユーリ「それもいーんだけど」

「それで、$y = ax^2$で表せる曲線がどんなものかを確かめている」

ユーリ「……」

「ボールを投げたときにどんな曲線になるかは、本来なら実験で確かめるものだけど、 およそ、このグラフのような動きになるということがわかってる。それで、この曲線は……」

ユーリ「そこ! そこがひっくり返ってる!」

「へえ……どういうことだろう」

ユーリ「だってね、お兄ちゃんがやろうとしているのは、$y = ax^2$で表されている曲線の性質を調べることじゃん? でも、 ユーリが知りたいのは違うんだよー」

「うん?」

ユーリ「あのね、《放物線がどんな性質を持っているか》じゃなくて《どうして放物線になるか》という理由を知りたいんだよー。わかっておくれよー」

「……なるほど、なるほど」

ユーリ「理由の方を教えてよ」

「うん、ユーリが引っかかっていたところはわかったよ。ユーリはきっと、もっと物理学的なことを知りたいんだね」

ユーリ「ぶつりがくてき……なこと?」

「うん。物理学的なこと。もう少し絞るなら物理学の中でも特に力学の話」

ユーリ「ふむふむ……よろしい、話を続けたまえ」

「偉そうだな。まあ、もともと、放物線の性質を話してから、力学の話をしようと思っていたんだけどね。ともかく、僕たちがいま考えようとしているのは、力学の中でも特に《質点の運動》と呼ばれるものだね」

ユーリ「しつてんのうんどう」

質点の運動

「そう。質点の運動。質点というのは、質量はあるけれど、大きさを持たない点のこと。 ボールを投げるときには、本来ならば、 ボールの回転やボールが受ける空気抵抗などを考えなくちゃいけないけど、 それだと話が複雑になるから、大きさがない質点として考えてみようということ。 話を簡単にするためにね。 質量については、またあとで話すよ」

ユーリ「ふんふん」

「僕たちは、質点の運動を考えようとしている。ここでいう運動というのは、 時刻ごとに位置がどうなるかのことだね」

ユーリ「動きってことでしょ? ヒューッと落ちていくみたいな」

「そうだね。僕たちはボールを投げたときに、ボールが時間を掛けて落ちていくようすを見ることができる。 ストロボ撮影をすれば、時刻ごとにボールがどの位置にあるかを記録することができる」

ユーリ「……それが放物線になる」

「そう。ボールを質点だと思ってグラフに描くと曲線になる。そしてそれは放物線になる。 座標軸をうまくとれば$y = ax^2$という式で表せる曲線になるということ。 実際の実験では誤差が出るけれど、 おおよそ$y = ax^2$という式で表せるのは確かめられる」

ユーリ「だーかーらー! ユーリが知りたいのはその理由なんだって!」

「あわてないでほしいな。ここからその理由の話に入るんだから」

ユーリ「むー」

「ここまでの話は、僕たちでも実験して確かめられる。ボールと時計と場所を用意する。そうだ、スマートフォンで動画撮影してもいいよね。 そうすれば、時刻$t$ごとにボールがある位置$(x,y)$を求められる。 どれだけ正確な実験になるかはわからないけど、ともかくできる」

ユーリ「ふんふん?」

「でも、その次の一歩はものすごく難しい。とても大きな一歩になる」

ユーリ「次の一歩って?」

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結城浩

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Iutach 微積分はニュートンがまさしく運動方程式を立てるために発明したのに、高校物理では… https://t.co/0NyDLuuUJV 約1ヶ月前 replyretweetfavorite

chibio6 物理の話だけれど、微分がわかっているので頭に入りやすい。 約1ヶ月前 replyretweetfavorite

kusyunn じゅんばん が わからなくなってくる けど、 ちから の ていぎ お しつりょ… https://t.co/7PVFL2bz4l 約1ヶ月前 replyretweetfavorite

skimabook 質点の定義や投げた瞬間の力は考慮しないなど、自分が高校力学で誤解や混乱してた箇所を的確に突いて解説してくれてる。 約1ヶ月前 replyretweetfavorite