第268回 分数を極める:表現と意味(後編)

「でも、わざわざそういう書き方をするのには、何か理由があるんでしょうか……」数学の世界の探索を続けるテトラちゃん。あなたなら、何と答える?

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

ミルカさん:数学が好きな高校生。 のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。

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図書室にて

ここは図書室。

ミルカさんテトラちゃん。三人で連分数について数学トークを続けている。

僕たちは、さまざまな話題がつながっていくのを楽しんできた(第267回参照)。

でもミルカさんはさらに進もうとしている。

ミルカ「では、先に進もう。いまは$f$と$g$という二つの関数を合成することで、私の《カード》を表すことを試みた。 連分数を関数の目で見たといえる」

ミルカさんの《カード》

「そうだね。僕たちが用意したのは二つの関数$f$と$g$で、それを組み合わせて、ミルカさんの《カード》の連分数を構成できた」

二つの関数$f$と$g$

$$ \begin{align*} f(x) &= 1 + x \\ g(x) &= \frac1x \end{align*} $$

ミルカさんの《カード》を構成する $$ \begin{align*} \phi_2(\FBOX{1}) &= \FUN f{\FUN g{\FUN f{\FUN g{\FUN f{\FBOX{1}}}}}} \\ &= 1 + {\dfrac{1}{1 + {\dfrac{1}{1+\FBOX{1}}}}} \\ \end{align*} $$

テトラ「ここから先のお話が、まだあるんでしょうか」

ミルカ「いくらでも先がある。たとえば、$f$と$g$というのは別の関数として扱ってきたが、これをより一般化した枠組みに入れ込んでみることにしよう」

テトラ「一般化した枠組み……?」

「いやいや、$f(x) = x + 1$と$g(x) = 1/x$とはまったく別の関数だよね」

テトラ「一般化……ということは、何か文字を導入するということですか。《文字の導入による一般化》という方法を使って」

「うーん、でもそれは、たとえば$x + 1$を$ax + b$と見なすようなときには使えるけど、和と逆数は式の形からまったく違うのに……表記がまったく違うのに、どうするんだろう」

ミルカさんは、テトラちゃんを交互に見てから、唇に人差し指を当てる。

ミルカ「私たちは表記と値について考えてきた。表記を一般化することによって、新しい視座が得られないかどうか見てみよう」

テトラ「表記を一般化……」

ミルカ「$x + 1$と、$1/x$とはまったく違うようだけれど、分数という表記を使えば、両者はそっくりに見える」

$$ \frac{x + 1}{1}\qquad\text{と}\qquad \frac{1}{x} $$

テトラ「なるほど……?」

「両方とも分数という意味では似てるけど、そっくり……?」

ミルカ「こう表記すればどうか」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに11巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

chibio6 結果だけ見るとなんだか不思議な感じがするけれど、連分数を分数関数の合成で表せたら、行列で… https://t.co/WwrjThcqoe 3ヶ月前 replyretweetfavorite

euler_KHUx 連分数から行列につながるとは。。。続きが気になる! 3ヶ月前 replyretweetfavorite

Monallowtail (ツイートし忘れてた)あああーーーそうか面白い視点だ……これは思いつくべきだったな 自分… https://t.co/SsKY0aaS8j 3ヶ月前 replyretweetfavorite

inaba_darkfox 一次分数変換と行列の対応、いつ見ても不思議。 3ヶ月前 replyretweetfavorite