ピタゴラスは「ある数字」のために人を殺した？！

分数と小数は親戚同士で、同じ数を別々の方法で表すことができます。例えば、0.5は1/2 とも書けるし、 0.3333……は、1/3 とも書けるという具合です。でも、いつだってそうだとは限りません。実は、分数では表せない数もあるってご存知でしたか？

0.17839271のように、小数点以下が途中で終わっている場合は、17839271/100000000といった具合に、必ず分数に書き換えることができます。けれども、小数点以下が無限に続く場合は、分数で表せないものが出てきます。もっと具体的に言うと、分数で表せるかどうかは、小数点以下に繰り返しパターンが出てくるかどうかで分かります。分数で表せる数は、小数点以下に繰り返しパターンが登場するのです。例えば、

1/7＝0.142857142857142857……

といった感じです。この場合、「142857」が繰り返されています。

このように、分数で表すことができる数のことを「有理数（ゆうりすう）」と呼びます。けれども、繰り返しパターンが出てこない数もあります。 よく知られているのが、円の直径と円周の比である「円周率 π」です。みなさんは、円周率を何桁まで言えますか？ちなみに著者は、語呂合わせで40桁まで覚えています（役に立ったことはありませんが）。40桁までπを書いてみると、

π=3.1415926535897932384626433832795028841971……

となります。

繰り返しパターンは見えませんね。実際、コンピューターで何億桁、何十億桁と計算しても、繰り返しは出てきません。同じようなことが、√ 2（２回掛けると２になる数）にも言えます。ちなみに、最初の数桁は√2＝1.41421356 ……となりますが、どこまで行っても繰り返しは出てきません。このような、小数点以下が無限に続き、かつ繰り返しパターンが出てこない数字は分数で表せないことが分かっていて、「無理数」と名付けられています。「分数で表すことが無理な数だから無理数」と考えると覚えやすいかもしれません。

分数で表せないことを証明する

しかし、分数で表せないと言われても、なかなかピンとは来ないものです。例えば、

14/10（＝1.4）,

141/100（＝1.41）,

1414/1000（＝1.414）,

14142/10000（＝1.4142）, ……

のように、分数を√2に頑張って近付けていくと、いつか √2にたどり着きそうな気もします。それなのに、決して分数では表せないと、なぜ言えるのでしょうか？ 実は、√2が分数で表せると仮定して計算をすると、ヘンテコな結果になってしまうのです。今から、それを証明しましょう。仮に、√2が分数で、