第264回　分数を極める：逆数の和（後編）

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図書室にて

ミルカ「テトラの《カード》は？」

テトラ「あっ、はい。これです」

テトラ「調和数の収束について考えていたんです。この《カード》から出発して（第261回参照）」

僕「そうだね。逆数和とオレームの証明について、数列の収束を考えていたんだよ。テトラちゃんの《カード》から、 $$ H_n = \frac11 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n $$ と話を展開したんだ」

ミルカ「ふうん……では、私がもらってきた《カード》からは、何を展開する？」

テトラ「$1+1$がいっぱいですっ！　これは、あたしの《カード》と同じ……じゃないですね。形は似ていますけど」

僕「なるほど！　連分数（れんぶんすう）の方向に進むのもおもしろいね！」

ミルカ「そう、連分数だ。この先を作りたくなる形をしている」

テトラ「連分数……分母に分数が入っていますね」

ミルカ「ふむ。私たちを深みに誘う形だ。こんな極限を考えたくなる」

テトラ「あっ！　そういうふうに繰り返すんですかっ！　あたしは分母の方に調和級数が入るのかと思いました」

僕「調和数$H_n$は$n \to \infty$で正の無限大に発散するから、それを分母に入れた$1/H_n$の極限は$0$になっちゃうね」

ミルカ「連分数は楽しい。極限のために評価について考えたくなる」

僕「評価？」

ミルカ「そうだ。テトラの《カード》と私の《カード》を並べてみると、おもしろいことに気付く」

テトラ「おもしろいことというのは……？」

エィエィ「発見したで！　今日は連弾するんやろ？」

ミルカ「そうだった」

僕「……」

テトラ「……ミルカさん、行っちゃいました」

僕「エィエィとの約束があったのか」

テトラ「……あたし、連分数って初めて見ました。こんな式を書いてもいいんですね。 分数の分母に分数の分母に分数の分母に分数の分母に分数の分母に分数……が入っているような式」

僕「そうだね」

テトラ「出てくるのは$1$と$+$と分数だけなのに、式の書き方でずいぶん印象が違います。 でも、連分数っておもしろいんでしょうか」

僕「とは？」

テトラ「あ、いや、大げさといいますか……簡単なことを難しそうに見せる式、みたいな印象がちょっと……」

僕「ああ、そういう式はあるよね。テレビのクイズ番組で$\sin$や$\log$や積分をこれ見よがしに出す式を見たことがある。 難しさを印象付けるために使う数式はちょっとねえ……でも、連分数はそれとは違う。ちゃんとおもしろさがあるんだ」

テトラ「この極限は、どんなふうに何を考えればいいんでしょう。分数の分母に分数の分母に分数の分母に……」

僕「うん。じゃあ、いっしょに考えてみようよ」

テトラ「はいっ！」

極限を考えるとき

僕「極限を考えるときは、いきなり無限を考えちゃだめなんだ」

テトラ「ええっ？」

僕「無限を扱うのは難しいし、誤解を招くことが多い。いっぺんに考えようとするとまちがってしまう。無限をいっぺんに扱えないからこそ、僕たちは極限という考え方を使うわけだし。 無限のことを考える前に、有限のことを考えるんだよ」

テトラ「有限のこと……？」

僕「調和級数のときもそうだったよね。$H_{\infty}$を考える前に$H_n$のことを考えた。$n$という値に対して$H_n$がどういう値なのかを考えることが大事だった」

テトラ「ああ……確かにそうですね。では、この連分数の場合は？」

僕「うん。こんなふうに$a_1,a_2,a_3$という名前をつけてみよう」

$$ \begin{align*} a_1 &= 1+1 \\ a_2 &= 1+\frac{1}{1+1} \\ a_3 &= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1}} \\ \end{align*} $$

テトラ「なるほどです。あたしの《カード》にあった式を$a_1$と$a_2$にして、ミルカさんの《カード》の式を$a_3$にしたのですね」

僕「そしてこれは……」

テトラ「もちろん、計算できますっ！　無限や極限とはまったく関係ない、ただの分数計算ですから」

$$ \begin{align*} a_1 &= 1+1 \\ &= 2 \\ a_2 &= 1+\frac{1}{1+1} \\ &= 1+\frac{1}{2} \\ &= \frac{2+1}{2} \\ &= \frac{3}{2} \\ a_3 &= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1}} \\ &= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}} \\ &= 1+\frac{1}{\frac{2+1}{2}} \\ &= 1+\frac{1}{\frac{3}{2}} \\ &= 1+\frac{2}{3} \\ &= \frac{3+2}{3} \\ &= \frac{5}{3} \\ \end{align*} $$

僕「うん、具体的な計算は大事だよ……」

テトラ「まとめると、こうなります」

$$ \begin{align*} a_1 &= 2 \\ a_2 &= \frac{3}{2} \\ a_3 &= \frac{5}{3} \\ \end{align*} $$

僕「……」

テトラ「同じように$a_4,a_5,a_6,\ldots$を作ってみて、その具体的な数を見て、第$n$項となる$a_n$を考える……ということですよね？」

僕「その通り。やっぱり$H_n$を考えたときと同じだよね」

テトラ「確かにそうですね。一度に$H_{\infty}$を考えるのではなく、まず部分和として$H_n$を考えて、その上で、$n \to \infty$の極限を考える……」

僕「そうなんだよ。そして、$n \to \infty$のとき、僕たちの数列$a_n$は……」

テトラ「待って！　教えないでください！」

僕「わかった。何も言わないよ」

テトラ「$a_4$はこうです……$$ \begin{align*} a_4 &= 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + 1 }}} \\ \end{align*} $$ ……ですから、計算はすぐにできます。 $$ \begin{align*} a_4 &= 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + 1 }}} \\ &= 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 2 }}} \\ &= 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ \frac{3}{2} }} \\ &= 1 + \frac{1}{ \frac{5}{3} } \\ &= \frac{8}{5} \\ \end{align*} $$ ……あらら？」

僕「気付いた？」