結城浩です。いつもご愛読ありがとうございます。
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なお、書籍化第二弾は2013年12月刊行の予定です。
（第37回からの続き）
発見したこと
僕「いやいや、等差数列になるわけはないよ」
テトラ「村木先生からの《カード》がまちがっているわけじゃないですよね」
$$ \sqrt{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k} $$
僕「まちがいもなにも、村木先生の《研究課題》のカードに問題が書かれているわけじゃないからね」
テトラ「あ……」
僕「そうなんだよ。もう先生は関係ない。この問題は、先生がくれたカードから僕たちがいわば勝手に作った問題なんだから」
より正確には、僕が勝手に作った問題だ。 村木先生の式で、 $n$ を $1,2,3,\ldots$ と変化させるとできる数列はどんなものなのか。 そんな疑問を僕がふと抱いたからだ。
この数列は、どんな数列だろうか。
$$ \sqrt{1}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{10}, \ldots $$
テトラ「すみません、ごちゃごちゃしてきたので、整理させてください。こういうことですよね」
（１）村木先生のカードに書かれていた数式は、 $$ \sqrt{\displaystyle \sum_{k=1}^n k} $$ というものでした。
（２） $n$ を $1,2,3,\ldots$ のように変化させると、この数式から数列 $\langle a_n \rangle$ が作れます。つまり一般項は、 $$ a_n = \sqrt{\displaystyle \sum_{k=1}^n k} $$ です。
（３）数式の列として書くなら、 $$ \sqrt{\displaystyle \sum_{k=1}^{1}k}, \sqrt{\displaystyle \sum_{k=1}^{2}k}, \sqrt{\displaystyle \sum_{k=1}^{3}k}, \ldots $$ となります。
（４） $\sum$ を使わずに書くなら、 $$ \sqrt{1}, \sqrt{1+2}, \sqrt{1+2+3}, \sqrt{1+2+3+4}, \ldots $$ となります。
（５） $\sqrt{\cdots}$ の中を計算して書くなら、 $$ \sqrt{1}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{10}, \ldots $$ となります。
（６）さらに電卓で数値を計算すると、 $$ 1, 1.7320508\cdots, 2.4494897\cdots, 3.1622776\cdots, \ldots $$ となります。
（７）さらにグラフにするなら……
テトラ「さらにグラフにするなら……」
僕「うん、まちがいなく、こうなる」
テトラ「せ、先輩。これって、やはり直線上に並んでいますよね？」
僕「確かに、そう見えるけれど、そうじゃないよ。そうじゃないはずだよ。うん、調べてみればすぐにわかる」
テトラ「調べる？」
僕「うん。数列を調べる。もしもこの点が直線上に並んでいるとしたなら、ある項と次の項との差が一定になるはずだ」
テトラ「ははあ……それはそうですね。では引き算すれば……」
僕「うん、そうそう。それは数列 $\langle a_n \rangle$ の階差数列を作るということだ」
テトラ「あ、なるほどです」
僕「数列を調べるときのセオリー通りだ。階差数列を作る。 $a_{n+1} - a_n$ を計算すればいいよね、テトラちゃん」
テトラ「あ、あたし、計算しますっ！」
僕「うん。数列 $\langle a_n \rangle$ の数値はすでに表になってるから……」
テトラ「はい。たとえば、 $a_2 - a_1$ や $a_3 - a_2$ を計算するんですよね」
僕「そうそう。いっしょにやろうよ」
僕とテトラちゃんは電卓を叩いて計算をした。
テトラ「うわわ……」
僕「これは……」
テトラ「微妙ですね……ええと、 $0.7320508$ から始まって、 $0.71$ なんとか、少し進むと $0.709$ なんとか。だんだん小さくなっています」
僕「そうだね。 $0.708$ が続いて $0.707$ になってる」
テトラ「最後の方は《 $0.707$ なんとか》が続いてますね」
僕「やっぱり。これで確かめられたよ。 $a_n$ のグラフを見たら《右上がりの直線》に見えたけれど、 そうじゃない。 傾きは一定じゃない。もしも傾きが一定なら、 隣の項との差 $a_{n+1} - a_n$ は一定になるはずだから」
テトラ「あのう……先輩？」
僕「なに？」
テトラ「 $0.707\cdots$ ってなんだか正体不明の変な数ですね」
僕「正体不明じゃないよ。だって、たとえば $0.7073074\cdots$ だったら、 $\sqrt{231} - \sqrt{210}$ という具合に ちゃんと計算して出てきたわけだから」
テトラ「あ、それはそうなんですが……それぞれの計算で出てくるのが、《 $0.707$ なんとか》というふうに、みんな似てるけど、みんな違うので、 とらえどころがない感じがするんです。正体不明の《ナナ・ゼロ・ナナちゃん》です」
僕「それ、誰？」僕は笑いそうになる。
テトラ「正体不明です。でも、とりあえず名前をつけたらお友達になれるかなと……」
僕「……えっと、うん、そうだ、この階差数列には $\langle b_n \rangle$ という名前をつけることにして、階差数列のグラフを描いてみようよ」
テトラ「わかりました。ええと、 $b_n = a_{n+1} - a_{n}$ でいいんですよね？」
僕「そうだね」
$$ b_n = a_{n+1} - a_{n} \qquad \text{（ $n = 1,2,3,\ldots$ ）} $$
テトラ「先輩。だめです。最初はいいんですけど、数値が小さすぎてこのグラフでは一定かどうかはかえってわかりませんよ」
僕「そうだね。まあ、でも、数値を見れば $\langle a_n \rangle$ が等差数列ではないことはわかる。それが確かめられてほっとしたよ。 $\sqrt{1},\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{10},\ldots$ が等差数列になるとは思えなかったから」
テトラ「……」
僕「どうしたの、テトラちゃん」
テトラ「は、はい。あたし、まだ先輩からの《問いかけ》に答えられていない……ですよね？」
この数列は、どんな数列だろうか。
$$ \sqrt{1}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{10}, \ldots $$
僕「まあ、そういえばそうだね」
テトラ「『数列 $\langle a_n \rangle$ は見たところ等差数列だけど、そうではない数列である』という答えでは、ちょっとつまらないですよね」
僕「確かにね」
ミルカさん
ミルカ「今日はどんな問題？」
テトラ「あ、ミルカさん！」
ミルカさんは僕のクラスメート。長い黒髪の饒舌才媛である。 僕とテトラちゃんとミルカさんは放課後の図書室でいつも数学トークを楽しむ。
ミルカ「ふうん……」
テトラちゃんの説明を聞いて、ミルカさんはちょっと首を傾げる。
テトラ「な、何かおかしいでしょうか」
ミルカ「テトラはこの数列 $\langle a_n \rangle$ のグラフを見て、等差数列かもしれないと思った」
テトラ「は、はいそうです。数列の……数列のグラフがいかにも直線みたいでしたから。こんなふうに点が並んでいてですね」
ミルカさんは手を挙げて、テトラちゃんの説明を止める。
ミルカ「テトラがきちんと描いてくれたから、グラフはよくわかる。数列のグラフを見て等差数列かもしれないと思い、 階差数列の数値を見てそうではないと判断した」
テトラ「その通りです。計算してみると、たとえば $b_1 = \sqrt{2} - \sqrt{1}$ と $b_2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ は実際に計算できますが、でも、一定の値にはなりません。ええと、 $0.732$ いくつかと、 $0.71$ いくつかと、最後はナナ・ゼロ・ナナちゃんが」
ミルカさんは手を挙げて、再度テトラちゃんの説明を止める。
ミルカ「テトラがきちんと書いてくれたから、数値もよくわかる。それで？ いまは何をしている？」
僕「結局この数列 $\langle a_n \rangle$ のことはよくわからなかったねという話をしてたんだよ」
ミルカ「どうして途中でやめたのかな」
僕「途中……？」
ミルカ「グラフを描いた。数値を計算した。どうして君の得意な数式を使わない？」
僕「数式？」
ミルカ「数列 $\langle a_n \rangle$ の一般項はすでに与えられているんだろう？」
テトラ「は、はい。村木先生のカードで、 $a_n = \sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k}}$ と……」
僕「あ、そうか！ $1$ から $n$ までの整数の和だ！ 数式で計算できるじゃないか！」
和の計算
僕はあわてて $\sqrt{\cdots}$ の中の $\sum$ を計算する。
$$ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} k & = \frac12n(n+1) \end{align*} $$
テトラ「先輩？ さらっと計算しましたけど、これは何ですか？」
僕「《 $1$ から $n$ までの整数の和》の式は暗記してもいいくらいよく使うけど、すぐに導けるよ。《 $1$ から $n$ までの整数の和》だから、 《 $1$ から $n$ までの和》と逆順の《 $n$ から $1$ までの和》を足して $2$ で割るようすを思い浮かべればいいんだ。 こんなふうに考えて、縦に足すんだよ」
$$ \begin{array}{rcrrrrrrrrrr} \sum_{k=1}^nk &=& 1 + & 2 + & \cdots + & (n-1) + & n \quad \text{小さい順} \\ \sum_{k=1}^nk &=& n + & (n-1) + & \cdots + & 2 + & 1 \quad \text{大きい順} \\ \end{array} $$
テトラ「あ！」
僕「そうすると、 $n+1$ が $n$ 個できるよね。これは $\displaystyle\sum_{k=1}^nk$ の二つ分になるんだね」
$$ 2 \sum_{k=1}^nk = \underbrace{(n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1) + (n+1)}_{\text{ $n$ 個}} $$
テトラ「それで、 $\frac12n(n+1)$ が出てきたのですね」
$$ \begin{align*} \sum_{k=1}^nk &= \frac12\left(\underbrace{(n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1) + (n+1)}_{\text{ $n$ 個}} \right) \\ &= \frac12n(n+1) \\ \end{align*} $$
僕「だから、僕たちの数列 $\langle a_n \rangle$ の一般項は実は $\sum$ を使わないで書けたんだよ！」
$$ a_n = \sqrt{\sum_{k=1}^nk} = \sqrt{\frac12n(n+1)} $$
テトラ「はわわ。シグマらなくて良かったんですね！」
ミルカ「シグマらなくて？」
テトラ「あ、また……す、すみません。あたし、シグマさんとお友達になりたくて、シグマるって、つい」
ミルカ「シグマる……《シグマを使って和をとること》のつもり？」
テトラ「……はい」
ミルカ「それなら『シグマらなくて良かった』ではなく『シグマったら $\sqrt{\frac12n(n+1)}$ になった』がいい」
ミルカさんはそう言って、いたずらっぽく微笑んだ。
階差数列
ミルカ「しかし、君はさっさと $a_n$ の方に飛びついたけれど、本命はそっちじゃない」
僕「え？」
ミルカ「私は $a_n$ の方よりも、階差数列の一般項つまり $b_n$ の方に関心がある」
僕「ああ、そうかそうか！」
ミルカ「そうだろう？」
テトラ「せ、先輩方！ ちょっと待ってください。テトラを置いていかないでくださいっ！ 『そうかそうか』じゃなくて、『そうだろう』じゃなくて、 何をなさろうとしているか教えてから先に進んでくださいっ！」
ミルカ「彼が話す」
ミルカさんはそういって指揮者のように 僕を指さした。
僕「うん、基本的にはさっきテトラちゃんが状況整理してくれた流れの延長上にいるんだよ」
（１）僕たちは村木先生のカードから得た数列 $\langle a_n \rangle$ の数値を調べた。 そして、 $\langle a_n \rangle$ のグラフを描いて直線に近い点の並びになっていることに気づいた。
（２）でも、正確には直線じゃない。それは数列 $\langle a_n \rangle$ の階差数列 $\langle b_n \rangle$ の数値を調べればすぐにわかった。 $\langle b_n \rangle$ のグラフも描いたけれど、それはあまり役には立たなかった。
（３）ところで、 $a_n = \sqrt{\cdots}$ の中を計算すると、数列 $\langle a_n \rangle$ の一般項は数式でこう書ける。 $$ a_n = \sqrt{\frac12n(n+1)} $$
（４）そこで次は……
テトラ「はい、はい、確かにそうですが……えっと、それで、次は、何をすれば？」
ミルカ「テトラはわからない？」
僕「テトラちゃんはわかりたい？」
テトラ「はいっ！」
ミルカ「彼の状況整理は興味深い」
テトラ「……」
僕「僕たちの状況はこうなっているんだよ、テトラちゃん。こんなふうに《表にして考える》とわかるかも」
テトラ「ああっ！ 何てこと！ 一目瞭然ですね……未調査なのは、階差数列 $\langle b_n \rangle$ の数式だけですっ！」
僕「そうそう。一般項 $b_n$ を数式で表すんだ」
テトラ「頭の中にこんな表を浮かべたら、確かに『そうかそうか！』と言いたくなりますよね……あたしって、なんてトロいんでしょう！」
テトラちゃんがオーバーアクションで頭を抱える。
ミルカさんが急に僕を見る。彼女の強い視線。 その視線に押されるようにして僕は言葉を探す。
僕「いやいや、ぜんぜんトロくなんかないよ。テトラちゃん、大丈夫だよ。それより、数学に戻ろう」
テトラ「はい……」
僕「僕たちの次の問題はこうなったよ」
数列 $\langle a_n \rangle$ の一般項が $$ a_n = \sqrt{\frac12n(n+1)} $$ で表されている。 その階差数列 $\langle b_n \rangle$ の一般項 $b_n$ を数式で表せ。
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに11巻も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
