第246回 暗記と理解(後編)

テトラちゃんが、数学苦手な新キャラ「ノナちゃん」の謎を探っていくうちに……《数学トーク》の新たな展開!

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

テトラちゃんの後輩の高校生。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

$ \newcommand{\REMTEXT}[1]{\textbf{#1}} $

図書室にて

テトラちゃんは、数学が苦手な中学生ノナについて話していた。

でもそのうちに、テトラちゃんが《大事なこと》を思い出したという(第245回参照)。

テトラ「……あたしたちは《例示は理解の試金石》というスローガンを大事にしています。よね?」

「そうだね、僕たちは《例示は理解の試金石》を大事にしている」

  • 理解したかどうか確かめたかったら、例を作ろう。
  • 例を作ることができたら、理解している。
  • 例を作ることができなかったら、理解していない。

テトラ「あたしはそのスローガンを聞いたときに、すっと納得できました。あたしは、根気よく書き上げることや、例をたくさん作ることが好きです。 だから、自分のやっていることはまちがっていなかった……そんなふうにうれしくなりました」

「なるほど。そうだね、テトラちゃんは根気よくて粘り強い。例を作って理解することはとても大事だよね」

テトラ「でも、最近、例をたくさん積み上げるだけでは、乗り越えられない壁があるように感じるんです」

「えっ? どういうこと?」

テトラ「数学ではいろんな定義が出てきます。これが多項式ですよ。これが関数ですよ、これが微分ですよ……という具合に」

「もちろん、そうだね。数学で定義はとても大事」

テトラ「そしてその定義を理解するために、例を作ることになりますよね。具体的な多項式、具体的な関数、具体的な微分……いろんな例を作ります」

「うん、うん、それで? それはちっとも悪いことじゃない」

テトラ「そんなふうに例を作ると、自分が定義を理解しているかどうかを試せます。《例示は理解の試金石》です」

「その通りだと思うよ」

テトラ「でも、それだけでは乗り越えられない壁、理解のギャップがあることをよく感じます」

「へえ……《例示は理解の試金石》の弱点ということかな?」

テトラ「弱点というわけではないんですが、あたしが感じる、その乗り越えられない壁っていうのはSo what?という疑問です」

「So what?(だから、何?)」

テトラ「はい。そう思いませんか。数学を勉強して、新しいことを学びます。具体例を作ることができて、 確かに自分は理解したと感じることがあります。 練習問題も解けるし、テストで点が取れます。 でも《だから、何?》と感じることはよくあります」

「なるほど……」

テトラ「あっと、もちろん、それは『数学が何の役に立つのか』という意味の疑問ではないです」

「うん、テトラちゃんの言いたいことはわかってるよ」

テトラ「問題は解けるから、確かに理解はしていると思うんですが、でも、So what? ……《どうしてそんなことを考えるのか》……がわからないことがあるんです。 それは、とっても、もどかしいです」

「なるほどね。テトラちゃんがいうもどかしさというのは、《意味はわかるけど、意義がわからない》ということだよね」

テトラ「それです!」

「あるいは《それのどこに、おもしろいところがあるのか》という疑問?」

テトラ「そうそう、そうです! ……どうして先輩はあたしの言いたいことがわかるんですか」

「僕も、テトラちゃんと同じように感じることがよくあるからだよ、きっと」

テトラ「そうなんですね。あたしは、いろんなところで引っかかります。 たとえば《多項式の書き方》でも引っかかりました」

「多項式の書き方って何だっけ」

テトラ「$x + 5x^2 + 4x - 2x^2 + 1$という多項式があったときに、同類項をまとめて、降冪の順(こうべきのじゅん)に並べて $3x^2 + 5x + 1$にする話です」

$$ \begin{align*} x + 5x^2 + 4x - 2x^2 + 1 &= (x + 4x) + (5x^2 - 2x^2) + 1 && \REMTEXT{同類項をまとめた} \\ &= 5x + 3x^2 + 1 && \REMTEXT{計算した} \\ &= 3x^2 + 5x + 1 && \REMTEXT{降冪の順にした} \\ \end{align*} $$

「ああ、式の整理の方法のこと」

テトラ「はい、そうです。同類項をまとめて、降冪の順に並べることは、やり方を理解すればできます。自分で具体例を作ることもできます。 問題が出れば解くこともできます」

「うん。でも?」

テトラ「はい。でも、So what? と心のどこかで思います。どうしてこんな整理の仕方をするんでしょうか。 こうしなくてはいけないんでしょうか。 他の整理の仕方ではいけないんでしょうか……のように」

「そういえば、テトラちゃんとその話をした記憶があるよ(『数学ガールの秘密ノート/式とグラフ』参照)」

テトラ「はい、確か、ミルカさんもいらっしゃったはずです」

「どんな話になったんだっけ。最高次数を調べるのに便利とか?」

テトラ「それもありますが、多項式の同一性……チェック」

「ああ、なるほど。二つの多項式があったときに、式の整理をしたあとなら同じ多項式かどうかわかりやすい、みたいな話だね」

テトラ「はい、確かそんな話になりました」

「思い出してきたぞ。多項式の次数を調べるのはなぜかという話もしたよね。関数のグラフの形が似ているとか何とか……」

テトラ「そうです、そうです。一次関数、二次関数、三次関数……それぞれのグラフを考えたとき、 同じ次数の多項式が作る関数のグラフ同士は似ています」

「一次関数のグラフは直線になるし、二次関数のグラフは放物線になる」

テトラ「はい、そうです。そしてそこまでわかったとき、あたしは『なるほど』と思えました」

「へえ……」

テトラ「だって、そうですよね。関数のグラフはとってもたくさんあります。 無数にあります。でも《一次関数のグラフ》というだけで、 直線であると決まるわけです。それはとてもすごいことなんじゃないでしょうか」

「うん、そうだと思うよ」

そして、そんなふうに表現できるテトラちゃんもすごいよ。

テトラ「だとすると、何次関数なのかを知るのは意味がありますし、多項式の最高次数を調べることにも意味がありますし、 同類項をまとめて降冪の順に整理することにも意味があります。 いろんな意味がつながるんです」

「うんうん」

テトラ「あたしが『なるほど』と思ってうれしかったのは、わけがわからないことを強制させられているんじゃない、 と感じたからです」

「わけがわからないことって、式の整理のこと?」

テトラ「はい、そうです。ルールが与えられて、参考書に枠で囲まれて《重要ポイント》と書かれて、 ここはテストに出ると言われます。 覚えればルールに従うことはできます。 重要ポイントと書かれれば重要なのだと思います。 テストに出ると言われれば復習もしてテストに備えます。 でも、そうやっているだけでは、あまり『なるほど』とは思えません」

「そりゃそうだね。納得しなくちゃ『なるほど』とはいえない」

この続きは有料会員登録をすると
読むことができます。
cakes会員の方はここからログイン

1週間無料のお試し購読する

cakesは定額読み放題のコンテンツ配信サイトです。簡単なお手続きで、サイト内のすべての記事を読むことができます。cakesには他にも以下のような記事があります。

人気の連載

おすすめ記事

テトラちゃん、ミルカさん、そして「僕」の対話に参加しよう!

ケイクス

この連載について

初回を読む
数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

この連載の人気記事

関連記事

関連キーワード

コメント

1_1_2_3_5__ https://t.co/ozumLkQWoG 後編も素晴らしいので是非に…!! 無料で読めるのは明日の7時までだそうです。 4ヶ月前 replyretweetfavorite

12203110 数学ガールの秘密ノート 246回 暗記と理解(後編) https://t.co/eyIrXM5ylo 勉強するときに常に感じていることが言語化されている素晴らしい回でした。 「So What(だから何)?」をの不快感をぐっ… https://t.co/GbsGdbQoaW 4ヶ月前 replyretweetfavorite

KitaPika2 。oO(そう言えば、意義も意味も行方不明だったなぁ……理解できない物を無理矢理丸暗記しようとしたけど……無理だった……バタリ) 4ヶ月前 replyretweetfavorite