第244回 直線の限りを尽くして(後編)

数学苦手な新キャラ「ノナちゃん」が直線の方程式に挑戦! あれ、でも……いつもと違う《数学トーク》はどこへ向かう?

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

ノナユーリの同級生。 ベレー帽をかぶってて、丸い眼鏡を掛けていて、ひとふさだけの銀髪メッシュ。 数学は苦手だけど、興味を持ってる中学生。

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僕の部屋

は、数学が苦手なノナに座標平面と直線の話をしている。

$y = x$という式が表している直線

「この直線にはだいぶ慣れてきたから、別の問題に挑戦してみよう。いっしょに考えてみようね!」

ノナ「はい$\NONAHEART$」

ユーリ「いっしょに考えよー!」

「じゃあ、今度は$y = x$という直線じゃなくて、別の直線を描くよ。たとえば、$y = 2x$という式はこんな直線を表しているといえる」

$y = 2x$という式が表している直線

ユーリ「カンタン、カンタン!」

「ノナちゃんは、わかる?」

ノナ「覚えてる……覚えています$\NONA$」

「覚えてるんだ。$y = ax$という式が表す直線を覚えているのかなあ」

ノナ「$y = ax$は光みたいなの……遠くからの光みたいです$\NONA$」

「遠くからの光みたいって、どういうこと?」

ノナは、ささっと紙の上に線を描いた。

ユーリ「なーるほどー」

「遠くからの光か……これは$a$の値を変えてたくさんの直線を描いたんだね。$y = ax$という一般的な形で」

ノナ「教科書に載ってた……載っていました$\NONA$」

「そこまでわかっているなら、話は早いよ。ノナちゃんはしっかりわかってる」

ノナ「ちゃんと覚えてるし$\NONA$」

「さっきの直線$y = 2x$に戻るけど、$y = 2x$という式は、$2x = y$と書いても、$2x - y = 0$と書いても、$x - y = -x$と書いても同じ直線を表している……というのは、 わかる?」

どの式でも同じ直線を表している

$$ \begin{align*} y &= 2x \\ 2x &= y \\ 2x - y &= 0 \\ x - y &= -x \\ \end{align*} $$

ノナ「……$\NONAQ$」

「あれ?」

ユーリ「移項すればいーんでしょ? あたりまえじゃん」

ノナ「うーん$\NONAX$」

ノナは、ベレー帽からのぞいている前髪をいじり始めた。

不思議だ。

$y = ax$が、原点を通る一般的な直線だとわかっているのに、 $y = 2x$という式を変形しただけで同じ直線を表すとわからなくなる?

そんなこと、あるのかな。

ノナが何を理解していて、何を理解していないか、どうもとらえどころがない。

ノナの返事も要領を得ない(というか、そもそも言葉が少ない)。

でも、ときどき「ものすごく理解してる」ような印象がある。

不思議だ。

さてさて……

ユーリ「ノナ、ノナ。$y = 2x$で両辺入れ換えたら$2x = y$じゃん。だから同じなんだよー」

ノナ「それはわかる$\NONA$」

ユーリ「$2x = y$で、$y$を左辺に移項したら$2x - y = 0$になるからこれも同じだし。ノナ、移項はできてたじゃん」

ノナ「移項は覚えてるよう$\NONA$」

「だったら、ノナちゃんはどこで引っかかっているんだろう」

ノナ「ぜんぶ……ぜんぶわかりません$\NONA$」

ユーリ「いやいやいや」

「いやいやいや」

ノナの「ぜんぶわからない」発言に対して、ユーリは声をハモらせながら顔の前で手のひらを振る。

練習したわけでもないのに、息がぴったり合ってるな。

「ねえ、ノナちゃん。全部わからないってことはないからね。 ノナちゃんは座標平面上に点も打てるし、$y = 2x$という式がこの直線を表していることもわかってる。 それに$y = ax$という一般的な直線のこともわかっている。 だから、全部わからないってことはないんだよ」

ノナ「ごめん……ごめんなさい$\NONAX$」

「いや、怒ってるわけじゃないから、謝らなくてもいいんだよ。ノナちゃんは数学に興味があるんだよね。 だから僕は、少しでもノナちゃんが理解することの手伝いをしたい」

ノナは、こくんとうなずく。

「ノナちゃんが何をどのように理解しているかがわかるのは、ノナちゃん本人だけなんだよ。だから『全部わからない』となっちゃうと困ってしまう」

ユーリ「そーそー!」

ノナ「怒ってない……怒ってないですか$\NONAQ$」

「怒ってなんかいないよ。ノナちゃんが気になるところはどこだろう。 ノナちゃんは、$y = 2x$という式がこの直線を表していることはわかるんだよね」

ノナ「はい。覚えてます$\NONA$」

「それから、左辺と右辺を交換した$2x = y$という式が同じ直線を表していることもわかる」

ユーリ「わかるよねー」

ノナ「はい……同じです$\NONA$」

「でも、$2x - y = 0$という式が同じ直線を表しているといわれると、何か引っかかる?」

ノナ「たぶん……同じです$\NONA$」

ユーリ「同じだよー」

「うん、ユーリちょっと待って。ノナちゃんは、$2x = y$で右辺の$y$を左辺に移項したら$2x - y = 0$になることは納得してる?」

$$ \begin{align*} 2x &= y && \REMTEXT{直線の式} \\ 2x - y &= 0 && \REMTEXT{右辺の$y$を左辺に移項して得られた式} \\ \end{align*} $$

ノナ「大丈夫……大丈夫です$\NONA$」

「それなのに、$2x = y$という式と、$2x - y = 0$という式とが、同じ直線を表していると納得できない……難しいなあ!」

ノナ「ごめん……ごめんなさい$\NONAX$」

「いやいや、テト……ノナちゃんは謝らなくてもいいよ」

ユーリ「お兄ちゃん! いま名前まちがえなかった?」

「ごめんごめん。何だか、テトラちゃんを思い出しちゃって。テトラちゃんもよく謝るんだよね、なぜか。 理解できないことを謝る必要は何もないのに」

ユーリ「ひとの名前まちがえるって、かなりヤバいよ。それは謝る必要あるよ」

ノナ「悪いから……悪いからです$\NONA$」

「悪いって何が?」

ノナ「すぐに答えられないのが悪いから謝るの……謝るんです$\NONA$」

ユーリ「いやいやいや」

「いやいやいや」

またもや、息ぴったり。

「すぐに答えられなくても悪いことは何一つないよ。考えるとき、時間はたっぷり掛けていいんだ。もちろんテストなんかは困るけど、 ふだん数学を考えるときには、時間はたっぷり掛ける。 だって、僕たちが学んでいる数学はめちゃめちゃ頭がいい数学者たちが、 とんでもなく長い時間を掛けて考え抜いてきたものなんだよ」

ユーリ「早口」

「おっとっと……それでね、そんな数学を僕たちは学ぼうとしている。『ぱっと聞いて、さっと答える』ことよりも、 『ゆっくり聞いて、じっくり考えて、しっかり答える』ことが大事なんじゃないかなあ」

ノナ「移項しても答えが出ないから……出なくてもいいんですか$\NONAQ$」

「はい?」

ノナ「$2x = y$で$2x - y = 0$だと$x = $にならない……なりません$\NONAX$」

難易度高いなあ……とは思う。

ノナの言葉を読み解くのはすごく難しい。そして、もどかしい。

でも、 ノナは支離滅裂なことを言ってるわけではないように見える。

彼女の中には一貫した考え方が何かあるように思える。

難易度が高いと感じるのは、 ノナの考え方がユーリとずいぶん違うからだ……たぶん。

ノナがどう考えているかを探りたい。

彼女が何に引っかかっているのかを確かめたい。

彼女がどう考えているのかを解きほぐしたい。

でも、その手がかりはノナの頭の中に隠されていて、は直接それに触れることはできない。

ベレー帽の中にある頭脳の動きを彼女自身が調べて、 なんとか外に出してくれないと、 手助けするのは難しい。

とても、難しい。

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

KitaPika2 何が分からないのか分からないくらい分からない……数学は異界の言語………… 6日前 replyretweetfavorite

ckc0323 『『ぱっと聞いて、さっと答える』ことよりも、 『ゆっくり聞いて、じっくり考えて、しっかり答える』ことが大事なんじゃないかなあ」』 7日前 replyretweetfavorite

benzo3_hyper_v 純粋に面白かったのぉ。そんなものは当たり前と思っていることを言葉で表現するのって難しいよねぇ… 7日前 replyretweetfavorite

StoneDot y=2x がなぜ直線になるのか不思議という話。自分はこの不思議さに気づいていなかったし、それに気付けるノナは凄い。 8日前 replyretweetfavorite