第237回 巡り回る群れ(前編)

「この定義には《ぐるっと回る》イメージは何もありませんね……」というテトラちゃん。いったい何を考えてるの?「群とシンメトリー」シーズン第4章前編。

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

ミルカさん:数学が好きな高校生。 のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。

リサ:自在にプログラミングを行う無口な女子。赤い髪の《コンピュータ少女》。

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図書室にて

テトラちゃん、そしてミルカさんは図書室で《群》についておしゃべりしていた。

リサは一言だけいうと、少し離れた席でコンピュータを無言で操作している(第236回参照)。

テトラ「要素が$4$個ある群は一種類とは限らないというのはわかりました。ところで話を戻しちゃうんですが、 集合の要素がトランプでも、 東西南北でも、 サイコロの置き方でも、 $\sin\theta$を微分したものでも、 $0,1,2,3$を使ったものでも、 《同じ群》といえるんですね。 ぐるっと回ってくるところが《同じ》に感じます」

「もちろん、演算表も《同じ》になるね」

ミルカ「$\{1, i, -1, -i\}$も《同じ》だな。虚数単位$i$が生成する群だ」

虚数単位$i$が生成する群

台集合: $\{ 1, i, -1, -i \}$

二項演算: 複素数の積

テトラ「ああ、確かに《同じ》ですねっ!」

「確かに、$i$を忘れちゃいけないなあ。これは、$i^0, i^1, i^2, i^3$ということだね」

ミルカ「ふむ。演算表で$1$と$-1$のみに注目すると、こうなるな」

$1$と$-1$に注目した演算表

テトラ「そうですね。$-1$に注目すると、$$ \begin{align*} &1 \MUL 1 = 1 \times 1 = 1 \\ &1 \MUL (-1) = 1 \times (-1) = -1 \\ &(-1) \MUL 1 = (-1) \times 1 = -1 \\ &(-1) \MUL (-1) = (-1) \times (-1) = 1 \\ \end{align*} $$ という四通りだけです」

ミルカ「$-1$に注目するというのは、《$i$が生成する群》の部分群を作っているともいえる」

テトラ「部分群……部分集合ですか」

ミルカ「部分群。二項演算のことを忘れて台集合だけに注目するなら、部分集合でいい。 部分集合が同じ二項演算に対して群をなしていたら、部分群という」

虚数単位$i$が生成する群

台集合: $\{ 1, i, -1, -i \}$

二項演算: 複素数の積

↓部分群

$-1$が生成する群

台集合: $\{ 1, -1 \}$

二項演算: 複素数の積(実数の積)

「《$i$が生成する群》はサイコロの回転でいえば$90$度の回転に対応して、《$-1$が生成する群》は、$180$度の回転に対応するといえるね」


ミルカ「《$i$が生成する群》も《$-1$が生成する群》も、どちらもたった一つの元から生成される群といえる。 そういう群を巡回群(じゅんかいぐん)という」

テトラ「はいはいっ! 巡って回ってくる群ですねっ! ぐるっと回ってくる群です」

ミルカ「テトラは《ぐるっと回る》という表現が好きだな。巡回群の定義はこうだ」

巡回群

$G$を群とし、$g$をその元の一つとする。

群$G$の任意の元$a$が、ある整数$n$を使って、 $$ a = g^n $$ で表せるとき、群$G$は巡回群であるといい、 $$ G = \GGEN{g} $$ と書く。

また元$g$を群$G$の生成元(せいせいげん)という。

ただし……

テトラ「えっ!!  これが巡回群の定義なんですか?」

「テトラちゃんは何に驚いているの?」

テトラ「サイコロの回転でも、$i$の積でも、《ぐるっと回る》イメージがありました。でも、この巡回群の定義には《ぐるっと回る》イメージは何もありませんよね……だって、 この定義では、どの元$a$も、 $$ a = g^n $$ と表せるとしか言っていませんから。これで《ぐるっと回る》というイメージの群になるんでしょうか」

「定義には出てこないけど、よく考えるとそのイメージは出てくるよ」

ミルカ「……」

テトラ「ちょちょっ、ちょっとお待ちください。いまテトラの中では《わかってない注意報》が鳴ってます!」

ミルカ「テトラは、自分が抱いた疑問を明確に述べる」

ミルカさんは、そう言ってテトラちゃんを指さした。

テトラ「えっと……あたしは、群の定義を理解していたつもりでした。台集合と二項演算、単位元に結合法則に逆元を使った定義のことです。 それから巡回群についても以前お聞きして、何となくわかっていました。 《$i$が生成する群》を見ながら、確かにぐるっと巡り回ってくる巡回群だと思っていました。 でも、ミルカさんの巡回群の定義からは《ぐるっと回る》イメージは出てきません。それが腑に落ちない点です」

ミルカ「君は、テトラの疑問に適切な問いかけを投げる」

ミルカさんは、そう言ってを指さした。

「《適切な問いかけを投げる》って……ねえ、ミルカさん。ミルカさんは最近、そういうメタ・アドバイスをよく言うよね。 その一言でハードルがいきなり上がるんだけどなあ」

ミルカ「ハードル上げが、ひそかなマイブーム」

ミルカさんは、そう言って自分を指さした。

テトラ「あの、それで……」

「うん、テトラちゃんの言う《ぐるっと回る》イメージを群の言葉で表すとしたらどうなると思う?」

テトラ「《ぐるっと回る》イメージを群の言葉で表す……」

「たとえば」

ミルカ「ヒント早すぎ」

テトラ「大丈夫です」

テトラちゃんは、両方の手のひらをに向け、《大丈夫》のジェスチャ。

テトラ「ヒントはなくても大丈夫です。あたしが思い描いている《ぐるっと回る》イメージを、群の定義に出てくるような数学的表現を使って表すということですね」

「そうそう」

テトラ「あたしの《ぐるっと回る》イメージというのは、《単位元が出てくる》ということです。つまり、《ぐるっと回る》イメージがどうして出てくるかというと、《スタート地点に戻ってくることができる》からです。 そうです! $$ 1 \to i \to -1 \to i \to 1 $$ のようにして、$i$を繰り返し掛けていったとき、 $1$に戻ってきました。$1$は、この群における単位元です。$1$を掛け算しても変わらないからです。 $i$を何度も掛けているうちに、単位元$1$まで戻ってくるから、そのことが《ぐるっと回る》イメージを作り出しているんです。 《回る》ってそういうことですから!」

「……」

テトラ「わかってきました。あたしが引っかかっていたのは、巡回群の定義に《ぐるっと回る》イメージが出てこないということでしたが、 その疑問を群の言葉で表現するなら、こうなります。 ミルカさんの定義で、巡回群$G$の生成元を$g$としたとき、 $$ g^1, g^2, g^3, g^4, \ldots $$ のように$g$を何個も掛け算していったとき、必ず単位元$e$が出てくる保証はあるのでしょうか?」

ミルカ「その前に、さっき私は巡回群の定義を途中までしか言っていない。$g^n$が何を表しているかを言おうとしたときにテトラの《わかってない注意報》が鳴ったようだから。 ともかく、巡回群の定義に戻る」

巡回群

$G$を群とし、$g$をその元の一つとする。

群$G$の任意の元$a$が、ある整数$n$を使って、 $$ a = g^n $$ で表せるとき、群$G$は巡回群であるといい、 $$ G = \GGEN{g} $$ と書く。

また元$g$を群$G$の生成元(せいせいげん)という。

ただし、$g^n$という表記は次のように定義する。

$g^0 = e$と定義する。$e$はこの群の単位元である。

$n = 1,2,3,\ldots$のとき、$g^n = \underbrace{g \MUL g \MUL \cdots \MUL g}_{\text{$g$が$n$個}}$と定義する。 すなわち$g$の$n$個の積である。

$n = -1,-2,-3,\ldots$のとき、$g^n = \underbrace{g^{-1} \MUL g^{-1} \MUL \cdots \MUL g^{-1}}_{\text{$g^{-1}$は$-n$個}}$と定義する。 すなわち$g$の逆元$g^{-1}$の$-n$個の積である。

テトラ「ええと……」

テトラちゃんは爪を噛みながら巡回群の定義をじっと考えているようだ。

テトラ「あたしは、$g^n$という表記を見て$g^1, g^2, g^3, \ldots$というものしか考えませんでした。でも$n$が$0$や負の場合もあるわけですか……あれ、でも、これでもやっぱり、 あたしの疑問は解決していませんよね。 そうですよ! 単位元は$g^0$ですけど、 あたしが気になったのは$g^1, g^2, g^3, \ldots$がいつか$g^0$に《ぐるっと回って》戻ってくるかどうかですから」

「大丈夫だよ。定義には出てこなくても、よく考えるとちゃんと戻ってくることができる」

テトラ「そうなんですか?!」

ミルカ「……」

「$g$で生成される巡回群$G = \GGEN{g}$があったとして、その群$G$の元を具体的に考えてみればいいんだよ。いま、元の数が$n$個だと仮定しよう。そうすると、$g$を何度も掛けていった、 $$ g^1, g^2, g^3, \ldots, g^n $$ はぜんぶ異なる元になって、$g^n$が単位元に等しくなるから」

テトラ「どうしてそんなことがいえるんでしょう」

「たとえば、$G$の元の数が$10$個だとするよね。$g^1, g^2, g^3$と続けていって、$10$乗するよりも前に単位元になってしまったら、 もうそれ以上$g$を何個掛け合わせても元の数は増えないからね」

テトラ「増えない?」

「仮に、$g^3$が単位元になるとするよね。そうすると、 $$ g^1, g^2, g^3, g^4, g^5, g^6, g^7, \ldots $$ といくら続けたとしても、$g^3 = e$ならば、 $$ g^1, g^2, g^3 = e, g^4 = g, g^5 = g^2, g^6 = g^3 = e, g^7 = g, \ldots $$ ということになる。 つまり、 $$ g^1, g^2, g^3, g^1, g^2, g^3, g^1, \ldots $$ の繰り返しになるから、元の数が$10$個までいけない」

テトラ「あ、確かにそうですね」

「かといって、$g^1,g^2,\ldots,g^{10},g^{11}$のように、異なる元を$10$個より多く作れるなら、元の数が$10$個だというのに矛盾する。 だから、生成元$g$をその《巡回群の元の個数》乗したら、必ず単位元になる。 つまり、テトラちゃんのいう《ぐるっと回って》戻ってくることが保証されるんだ!」

テトラ「なるほど……」

ミルカ有限巡回群の場合というただし書きが必要になる」

「有限巡回群……?」

ミルカ「有限巡回群、すなわち群の位数が有限である巡回群のこと。君のいまの証明で《元の数が$n$個だと仮定しよう》といった。その時点で有限巡回群を仮定したことになる」

「おっと、そうだった! これ、以前もミルカさんに指摘された記憶があるぞ」

ミルカ「そうだったかな」

有限巡回群$\GGEN{g}$における生成元と単位元の関係

$G$を有限巡回群とし、$g$は$G$の生成元の一つとする($G = \GGEN{g}$)とする。

また$G$の位数(元の個数)を$n$とする。

そのとき、 $$ g^n = e $$ が成り立つ。

テトラ「あれ……だとすると、やっぱりあたしの疑問は解決していないことになりませんか? つまり、巡回群の生成元を$g$としたとき、 $$ g^1, g^2, g^3, \ldots $$ と続けていったときに、いつか必ず単位元$e$が出てくるという保証はあるんでしょうか」

ミルカ「その保証はない」

テトラ「え?」

ミルカ「位数が有限でないとき、$g^1, g^2, g^3, \ldots$はどこまでいっても単位元にならない」

テトラ「だったら、巡回群ではないような気がします……」

ミルカ「それは、数学で使う用語をどう考えるかによる。

  • 用語の日常的な語感をもとに、数学的な定義を定めていこうというのか。
  • 数学的な定義を定めておき、そこに用語を割り振ろうというのか。

どちらがいい悪いというわけではない」

「すくなくとも有限の範囲では巡回群は巡回しているね」

テトラ「そうですね、ところで元の数が無数にある巡回群というのは想像つかないんですが……」

ミルカ「それは驚きだ」

「いやいやいや。テトラちゃんがよく知っている無限巡回群はすぐ見つかるよ」

テトラ「そうですか……?」

「だって、《整数全体の集合》を台集合として、《整数の和》を二項演算とすれば、それは無限巡回群だよね」

テトラ「あちゃちゃ!! 確かにそうですよね……あたし、何を考えていたんでしょう」

ミルカ「整数全体の集合を$\ZEE$と書くと、$(\ZEE, +)$は群になる。無限巡回群だ」

整数全体が作る無限巡回群$(\ZEE, +)$

台集合: $\ZEE$(整数全体の集合)

二項演算: $x\MUL y = x + y$(二整数の和)

「単位元は$0$だね。任意の整数に$0$を加えても値が変わらない」

テトラ「$a$の逆元は、はい、$-a$になります」

ミルカ「では、君にクイズだ。この群$(\ZEE, +)$の生成元を一つ見つけよ」

「簡単だよ。$1$だね。つまり、この群は$\GGEN{1}$と書ける」

ミルカ「他には?」

「他の生成元ということ? ……ああ、そうか。確かに$-1$も生成元になるわけか」

ミルカ「では、今度はテトラにクイズを出そう。この群$(\ZEE, +)$の部分群を一つ見つけよ」

テトラ「なるほどです。部分群を作る……わかりました。あたしたちはずっとそれを考えていました。これです」

テトラちゃんの答え(?)

「いや、それは……」

ミルカ「いや、それはだめ。群は台集合と二項演算の組で決まる。テトラが答えた群の台集合$\{0,1,2,3\}$は確かに$\ZEE$の部分集合ではある。 でも二項演算が異なっているから、$\ZEE$の部分群とはいえない」

《$(x + y) \bmod 4$》という二項演算で作る群

台集合: $\{0, 1, 2, 3\}$

二項演算: $x\MUL y = (x + y)\bmod 4$

テトラ「あっ、そうですね。あたしは群を考えるときどうしても集合だけを考えてしまうようです。ちゃんと二項演算と組にして考えないといけないんですね。 だとすると、$(\ZEE, +)$の部分群というのは、どう考えればいいんでしょう」

「なるほど! さっきのクイズがヒントになっているんだね」

ミルカ「君はネタバレが得意だな」

テトラ「さっきのクイズの答えというと、$1$は$(\ZEE, +)$の生成元というものですが……もしかして、$\GGEN{2}$ですか?」

ミルカ「正解。もちろん他にも無数にある」

テトラ「か、確認です。$\GGEN{2}$というのは、偶数全体の集合になりますよね? もちろん二項演算は整数の足し算で」

「そうだね。偶数全体の集合の台集合は$\ZEE$の部分集合で、二項演算は$+$を使う」

ミルカ「$\ZEE$の各元を$2$倍した集合を$2\ZEE$と書くと便利だ」

$$ \begin{align*} \ZEE &= \{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} \\ 2\ZEE &= \{ \ldots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \ldots \} \\ \end{align*} $$

整数全体が作る無限巡回群$(\ZEE, +)$

台集合: $\ZEE$(整数全体の集合)

二項演算: $x\MUL y = x + y$(二整数の和)

↓部分群

偶数全体が作る無限巡回群$(2\ZEE, +)$

台集合: $2\ZEE$(偶数全体の集合)

二項演算: $x\MUL y = x + y$(二整数の和)

テトラ「偶数は$2$の倍数……なのに、部分群になるのってちょっとおもしろいです」

ミルカ「とは?」

テトラ「あ、いえいえ、ちょっと感じただけです。整数全体の集合の要素……つまり整数をぜんぶ$2$倍にしたものが偶数全体の集合ですよね。 全体的に《大きく》なっている感じがするのに、部分群ということは《小さく》なっている感じがするという……」

「$2$倍にしたから、スキマが空いちゃったんだね。飛び飛びになって」

ミルカ「群$(2\ZEE, +)$は群$(\ZEE, +)$の部分群になっている。生成群を明記した言い方をするなら、群$\GGEN2$は群$\GGEN1$の部分群になっている」

「そういうことだね」

テトラ「はい、そうですね」

ミルカ「同じように、$3$の倍数全体の集合が作る群$\GGEN3$も群$\GGEN1$の部分群になっている」

テトラ「はい、わかります」

「……」

ミルカ「群$\GGEN4$は群$\GGEN2$の部分群になっている」

「なるほど。一般化できるね。《$m$が$n$の倍数》のとき《$\GGEN{m}$は$\GGEN{n}$の部分群》になるわけか」

ミルカ「《$H$は$G$の部分群》という関係に記号を導入しよう。たとえば、$$ H \LEQX G $$ のように。そうすれば、《$\GGEN{m}$は$\GGEN{n}$の部分群》という主張は、 $$ \GGEN{m} \LEQX \GGEN{n} $$ と書ける。$\LEQX$は順序関係を表すときによく使う記号」

テトラ「大小関係……とは記号がちょっと違いますね。たとえば、 $$ \GGEN{2} \LEQX \GGEN{1} $$ や、 $$ \GGEN{4} \LEQX \GGEN{2} $$ ということですか。 これって、繰り返すと一列になります!」

$$ \cdots \LEQX \GGEN6 \LEQX \GGEN4 \LEQX \GGEN2 \LEQX \GGEN1 \qquad \text{(?)} $$

「いや、そうはならないんじゃないかな。$\GGEN2 \LEQX \GGEN1$と$\GGEN4 \LEQX \GGEN2$はいいけど、$\GGEN6 \LEQX \GGEN4$は成り立たないよね。$6$の倍数は$4$の倍数とは限らないから」

テトラ「失礼しました。こうですね」

$$ \cdots \LEQX \GGEN8 \LEQX \GGEN4 \LEQX \GGEN2 \LEQX \GGEN1 $$

「それは、$$ \cdots \LEQX \GGEN{2^3} \LEQX \GGEN{2^2} \LEQX \GGEN{2^1} \LEQX \GGEN{2^0} $$ ということだね。だとしたら、 $$ \cdots \LEQX \GGEN{27} \LEQX \GGEN9 \LEQX \GGEN3 \LEQX \GGEN1 $$ というのも作れるよ」

テトラ「ああ、それは、$$ \cdots \LEQX \GGEN{3^3} \LEQX \GGEN{3^2} \LEQX \GGEN{3^1} \LEQX \GGEN{3^0} $$ という意味ですね」

「待てよ、これは一般化できるぞ。$2$や$3$だけじゃないんだ。素因数が複数個あるケースを考えることができる。 順序が入っている複数のものが絡んでいるのは、以前考えたことがあるよね。 ラティスだ!ハッセ図が使える(第106回「ラティス・サラダ(後編)」参照)。 整数を生成元にもつ巡回群同士の関係図を作れる。 たとえば、生成元を素因数分解して素因数を$2$と$3$に限ってみると……うん、描いてみよう!」

テトラ「これは、$1$に、$2$や$3$を掛けていった図ですね」

ミルカ「素因数分解した方が構造は見やすいな」

「これは素因数が$2$個だから単純に見えるけど、たとえば新たに素因数$5$を入れると複雑になるよね。こんなふうに」

テトラ「ここに出てくるのは$\GGEN{2^x3^y5^z}$という形のものですね。$x,y,z$」

ミルカ「素因数$n$個なら、$n$次元座標の格子点になるわけだな。$\GGEN{2^x3^y5^z}$を点$(x,y,z)$と見ればいい。$\GGEN{2^33^25^1}$ならこの点」

「ああ、そうか……」

第237回終わり。第238回へ続く。

ケイクス

この連載について

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

chibio6 生成元のところが難しかった。g^-1が-n個という表現はn個の間違いではないかと思ったのだけれど、定義だからそれでいいのかもとも思い、…迷う。 約4時間前 replyretweetfavorite

kazzzarion 第236回のときも思ったけど,群やってるとでてくる素数がすごく不思議。上手く言葉に出来ないのが辛い 5日前 replyretweetfavorite

heliac_arc そういえば無限位数の巡回群は「巡回」してないな… 元々は有限位数で巡回群が定義されて、それがのちに無限位数に拡張されたのかも 5日前 replyretweetfavorite

asangi_a4ac ぶな? https://t.co/ftxeskAqbk 5日前 replyretweetfavorite