アマゾンで予約開始! 『数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの』
登場人物紹介
僕:数学が好きな高校生。
ユーリ:僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
僕の部屋
僕とユーリはサイコロの置き方についておしゃべりをしている。
面を東西南北に向ける《サイコロの置き方が$24$通りあること》と、 《$4$個のものを並べる順列が$24$通りあること》の関係を調べているところ(第231回参照)。
サイコロの回転軸を工夫することでいったん納得した(第232回参照)。でも……
ユーリ「いやー、うまく行くもんだねー。回転を考えると$24 = 4 \times 3 \times 2 \times 1$が出てきてすっきりした!」
- 場所$1$に来る頂点が$4$通り選べる(上下を結ぶ軸の回転)。そのそれぞれに対して、
- 場所$2$に来る頂点が$3$通り選べる(対角線を結ぶ軸の回転)。そのそれぞれに対して、
- 場所$3$に来る頂点が$2$通り選べる(辺の中点を結ぶ軸の回転)。そのそれぞれに対して、
- 場所$4$に来る頂点が$1$通り選べる(自動的に決定)。
$3$種類の回転軸
僕「うん、それはユーリが《わからない》と言い続けてくれたからだよ。だから、すっきりした説明を探すことができたんだ。ただ……気になることがある」
ユーリ「へ? まだ?」
僕「うん。頂点の名前の付け方が気になっている」
ユーリ「$A,B,C,D,A',B',C',D'$でしょ?」
僕「そうなんだけどね。僕たちは、立方体の置き方が$24$通りあるということを調べている。ユーリは$24 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4!$になるということに気付いた。 だから、《サイコロの置き方》を《$A,B,C,D$という$4$個のものの順列》で表現できないかと考えていた」
ユーリ「だから、それ、確かめたじゃん。お兄ちゃんが言ったんだよ。机の上に接する頂点$4$個の並び替えだと思えばいいって」
僕「ちょうど対角線の位置にある点の組を$A$と$A'$のように名前を付けたけど、それがどうも気になるんだよ。ご都合主義っぽくて」
ユーリ「……」
僕「……」
ユーリ「うーん……お兄ちゃんは何を気にしてるの?」
僕「もっと、もっと明確に《$4$個のものの順列》を確かめたいということ」
ユーリ「机の上に$1,2,3,4$という$4$つの場所があって、そこに$A,B,C,D$という$4$個のものを並べて置くだけじゃなく?」
僕「そういうこと」
ユーリ「$4$つの場所に$4$個のものを置けばいいんだよね?」
僕「その通り! お、ユーリは何かいいアイディアがあるの?」
ユーリ「ない」
僕「なんだ」
ユーリ「でもさー、立方体なんだから、面か、辺か、頂点しかないじゃん?」
僕「……いや、ちょっと待った」
ユーリ「さっきから待ってんだけど」
僕「対角線を並べ替えるというのはどうだろうか。そうだよ!最初からわかってたことじゃないか。$A$と$A'$という対角線の位置にある二つの頂点を同一視するって!」
ユーリ「対角線を並べ替える……って意味わかんない」
僕「立方体の対角線は全部で$4$本あるよね。ここでは、立方体の中央を通る対角線のことだよ。立方体の置き方をどう変えても、$4$本の対角線が来る場所はいつも決まっている。 だから、そこを《対角線が来る$4$つの場所》として$1,2,3,4$と番号を付ける」
対角線が来る$4$つの場所$1,2,3,4$
ユーリ「おー……」
僕「そして、具体的なサイコロの$4$本の対角線に$A,B,C,D$と名前を付ける。うん、これでうまくいく!対角線上にある二つの頂点$A,A'$を結ぶ線分を考えることは、うまいこと同一視してることになるんだ!」
$4$本の対角線$A,B,C,D$
ユーリ「えーと?」
僕「場所$1,2,3,4$のそれぞれに、対角線$A,B,C,D$のどれが来るかを考えるということだよ。たとえば、$1,2,3,4$に$A,B,C,D$が来る置き方を$ABCD$と呼ぶし、 $1,2,3,4$に$B,C,D,A$が来る置き方を$BCDA$と呼ぶことにしよう」
$ABCD$の置き方と、$BCDA$の置き方
僕「うん、これで心置きなく、$\prime$の記号を取り除くことができる。$4$つの場所$1,2,3,4$に対して、$4$本の対角線$A,B,C,D$のどれがやって来るかを考える。 サイコロの$24$通りの置き方には、$A,B,C,D$の順列によって名前を付けることができるんだ!」
サイコロの置き方$24$通りと、対角線の並べ方の名前付けの対応表
ユーリ「あたりまえだけど……不思議だにゃあ。回転の軸のことを考えるとうまいこと$24$通りになるのはあたりまえだけど、 この表を見てると不思議。うまいこと、ぴったり、はまる。それが不思議」
僕「そうだねえ」
ユーリ「はっ!! ねねね、お兄ちゃん。回したらどーなるの?」
僕「何を回すって?」
ユーリ「サイコロを回転軸で回すと、この対応表でジャンプするわけじゃん?回転軸が変わるとジャンプ先が変わるよね。どんな形がでてくる?」
僕「なるほど、それはおもしろそうだな。たとえば、$ABCD$をひとつの対角線でまわすと、$$ ABCD \to CABD \to BCAD \to ABCD \to CABD \to BCAD \to \cdots $$ とジャンプするね。$ABCD,CABD,BCAD$を結ぶ三角形だ」
ユーリ「え、どれどれ? ちゃんと表に描いてよー」
僕「こういう三角形になるということ」
$ABCD,CABD,BCAD$を結ぶ三角形
ユーリ「ほほー……これって、対角線$D$を回転軸にした場合だね?」
僕「そうだね。対角線$D$を回転軸にしたともいえるし、場所$4$にある対角線を回転軸にしたともいえる。うん、回転軸になっている$D$は場所$4$から動かない。$D$は動かないで、$A,B,C$が順にズレていってる」
$$ \UL{ABC}D \to \UL{CAB}D \to \UL{BCA}D \to \cdots $$ユーリ「ふんふん。$ABCD$から始めたからこーゆー三角形だけど、隣の$BCDA$から始めて、場所$4$にある対角線$A$で同じことやったら、別の三角形になるよね」
僕「そうだね!今度は$A$が場所$4$から動かないで、$B,C,D$が順にズレていくはず」
$$ \UL{BCD}A \to \UL{CDB}A \to \UL{DBC}A \to \cdots $$$BCDA,CDBA,DBCA$を結ぶ三角形
ユーリ「そして次は……」
こんなふうにして僕たちは場所$4$にある対角線を回転させたようすを対応表に描いていった……
僕「できたできた……」
場所$4$の対角線で回転
ユーリ「できたけど……図に描けばわかりやすくなるわけでもないね!ごちゃごちゃしただけじゃん!こないだテレビでやってた『シン・ゴジラ』にこういう図出てこなかったっけ」
僕「ゴジラの構造解析図だね!……おほん、時事ネタ自重。確かにごちゃごちゃしてるけど、対称性はあるね」
ユーリ「対称性って?」
僕「つまりね、でたらめに線が引かれているわけじゃないってこと。たとえば、$$ \UL{ABC}D \to \UL{CAB}D \to \UL{BCA}D $$ の三角形とちょうど線対称の位置に、 $$ \UL{BAC}D \to \UL{ACB}D \to \UL{CBA}D $$ という三角形が描かれている。どちらも対角線$D$が動かない三角形だね」
対角線$D$が場所$4$から動かない三角形二つ
ユーリ「ほんとだ……」
僕「他の三角形たちも、ペアがいるよ」
対角線$A$が場所$4$から動かない三角形二つ
対角線$C$が場所$4$から動かない三角形二つ
対角線$B$が場所$4$から動かない三角形二つ
ユーリ「あっ、これって《左手の世界》と《右手の世界》だね(第232回参照)。この二つの三角形は、サイコロをこっちから見るか、むこうから見るかの違い?」
僕「そういうことだねえ。あ、じゃあクイズ。この二つの三角形を行き来するにはどういう回転をしたらいい?」
ユーリ「行き来するって意味がわかんない」
僕「そうか。もっと正確にいうと、$ABCD$という置き方から、$BACD$という置き方にジャンプするにはどういう回転になる?」
クイズ
$ABCD$という置き方から、$BACD$という置き方にジャンプするには、サイコロをどう回転すればいいか。
$$ ABCD \to BACD $$
ユーリ「むむむ……」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)