第232回 サイコロロン(後編)

「場合の数って、いつも階乗が出てくるよね」というユーリ。いったい何を見つけるだろう。「群とシンメトリー」シーズン第1章後編。

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

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僕の部屋

ユーリはサイコロの置き方についておしゃべりをしている。

面を東西南北に向ける《サイコロの置き方が$24$通りあること》と、 《$4$個のものを並べる順列が$24$通りあること》の関係を調べているところ(第231回参照)。

ユーリ「いやー、うまく行くもんだねー。お兄ちゃんが言ってた《頂点に$A,B,C,D,A',B',C',D'$と名前を付ける》 ってゆーの、おもしろいね!」


「そうだね。頂点に$A,B,C,D$という名前と、$A',B',C',D'$という名前を付ける。$A$と$A'$は同じ種類の頂点だと考えた上で、サイコロを机の上に置く。 机には頂点が置かれる$4$個の場所がある。サイコロの置き方は$A,B,C,D$という$4$種類の頂点がどの場所に来るかにちょうど対応している。 だから、サイコロの置き方$24$通りは、$4$個を一列に並べる順列の数になっていることがわかる……」

ユーリ「$24$通り全部確かめたもんね!(第231回参照)」

サイコロの置き方$24$通りと、机に接している頂点の名前

「でも、まだ、完全には《わかった感じ》がしないなあ」

ユーリ「そう?」

「うん。ユーリが気付いた$24 = 4 \times 3 \times 2 \times 1$という事実はなかなか冴えていたよ。そして、すべての場合を確かめたから《もれなく、だぶりなく》対応が付いていることはわかる。 でもね、立方体の頂点に名前を付けてくるくる回したときに、 $A,B,C,D$の順列がどうして《もれなく、だぶりなく》出てくるのか、うまく説明はできない……まだ」

ユーリ「全部確かめたのに?」

「どうしてそうなるか、もう一歩踏み込みたいよね」

階乗

ユーリ「ふーん……ところでさー、場合の数を考えるときって、いつも階乗が出てくるよね」

「いつも? いまユーリ、《いつも》って言った? 《いつも》とは限らないよね。それは《誤った一般化》だよ」

ユーリ「突っかかるにゃあ……だって、$4$個のものを一列に並べる場合の数は、$$ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 $$ 通りあるじゃん。これが階乗でしょ」

「そうだね。順列の個数は階乗になる。それから組み合わせでも階乗が出てくる。$n$個のものから$r$個を選ぶ場合の数は、$$ \frac{n!}{r!(n-r)!} $$ になる。だから階乗を使って表せる。 確かにユーリがいうとおり階乗が出てくることは多いよ。《いつも》とは限らないけど」

ユーリ「それって何で?」

「何で、とは?」

ユーリ「場合の数を考えるとき、階乗がよく出てくるのは何で?」

「うーん、《何で》と言われても困るなあ」

ユーリ「そこをなんとか説明」

「場合の数では何かを並べて考えることがよくあるよね。つまり、順列はとても基本的なもの。 そして、順列では並べていく途中で、 並べられるものが一つずつ減っていく」

ユーリ「やっぱ説明はいーや」

「直感的には樹形図を考えると納得するよ」

ユーリ「じゅけーず」

樹形図

「樹形図は、場合の数を《もれなく、だぶりなく》考えるための道具の一つだよね。$A,B,C,D$という$4$個のものを並べる順列はぜんぶ列挙できるけど、 ただ並べるよりも樹形図にした方がまちがいは少ない」

列挙

樹形図

ユーリ「あー、そだね」

「樹形図を左から順番に見ていくと、最初の枝分かれは$4$本ある。これは、最初に置くのが$A,B,C,D$の$4$通りあるから。 そして、そのそれぞれに対して次の枝分かれは$3$本ある。 $4$本が$3$本に減ったのは、次に置けるのが$3$通りに減ったから」

ユーリ「最初に置いたのは使えないから」

「そういうこと」

ユーリ「そっか。だから掛けるものが一つずつ減っていく……それで階乗が出てくる。それだけの話?」

「そうそう。場合の数では順列がよく出てくる。そして順列は階乗を使ってうまく計算できる。 それは、 端から置けるものを順番に決めていって、 置いていくたびに、次に置けるものが一つずつ減っていくという具合だね」

ユーリ「サイコロも?」

「え?」

サイコロと階乗

ユーリ「サイコロの置き方が$4$の階乗になるのも、次に置けるものが一つずつ減っていくからなの?」

「おっと!……ちょっと待って」

ユーリの言葉をきっかけに、頭の中でサイコロをくるくると回す。

ユーリ「ねー……」

「確かに! $4$個の並べ替えにこだわらないで、素直に数えればわかるんだ。$4$通りのそれぞれに対して$3$通り、確かにあるなあ! うんうん」

ユーリ「ねー! 一人で納得しないでよー」

「ごめんごめん。ユーリがくれたヒントはなかなかいいよ。 僕たちはいま、サイコロの置き方について考えている」

ユーリ「$4! = 24$通り」

「そうだね。机に描いた$1,2,3,4$の場所に対して、$A,B,C,D$のどの頂点が来るかを考える。 サイコロには$8$個の頂点があるから、 わかりやすく区別するために$A,B,C,D,A',B',C',D'$と名前を付けたけど、 気持ちとしては$A$と$A'$を同じ種類の頂点だと見なして、 $A,B,C,D$の$4$個のものを並べ替えているつもり」


ユーリ「そんで?」

「さっきの樹形図と同じように考える。つまり、場所$1$に来ることができる頂点は$A,B,C,D$の$4$種類がありうるよね」

ユーリ「オッケー。どんどん進んでよ」

「それで場所$1$に置く頂点は決まった。仮に$A$だとしよう。そのとき、場所$2$には$A$以外の頂点$B,C,D$の$3$種類がどれも来ることができるかな、と考える」

ユーリ「にゃるほど。樹形図といっしょで、一つ減ったんだね」

「そして実際、場所$2$には、$3$種類のすべてが来ることができる。それは、《$A$と$A'$を結んだ対角線を回転軸とした回転》を考えればいいんだ! そうすれば、場所$1$に頂点$A$を置いたままで、場所$2$には$B,C,D$という$3$種類の頂点を持ってくることができる」

頂点$A$と$A'$を結ぶ対角線を回転軸とした回転

ユーリ「ほほー! 斜め攻撃ですか」

「頂点への名付け方を考えると、$A$から辺$1$本分離れたところにある頂点は$B,C',D$の$3$通りがあるから、場所$1$に$A$を置いたままで場所$2$に来ることができる頂点は確かに$3$種類あるわけだね。《もれなく、だぶりなく》$3$種類がある」

ユーリ「てことは、場所$1$と場所$2$に来る頂点が決まったところで、$4 \times 3$通りある! ……でも、階乗を作るためには、次がだめじゃん!」

「だめって?」

ユーリ「だって場所$1$と場所$2$に来る頂点が決まったら、場所$3$は決まっちゃうよ? たとえば、場所$1$に頂点$A$を置いて、場所$2$に頂点$B$を置いたら、場所$3$は頂点$C$に決まっちゃうもん」

「ユーリは飲み込みが早いなあ。でも、大丈夫。場所$3$に置ける頂点はちゃんと二種類ある。$C$と$D$の$2$種類の頂点を場所$3$に置けるんだよ。 $A$には$A'$が、$B$には$B'$があるからね。 サイコロを回して、ちょうど辺$AB$と辺$A'B'$を交換すればいい。 そうすると、場所$1$と場所$2$に置く頂点の種類は$A$と$B$に固定したまま、 場所$3$に$C$と$D$の$2$種類をどちらでも持ってくることができるんだ!」

ユーリ「……」

「ここまでで、場所$1,2,3$に置ける頂点が決まった。そして場所$4$に置ける頂点は自動的に決まる。これで、$4\times3\times2\times1$が作れたね。階乗になった」

ユーリ「納得いかにゃい!」

「え、そう? $4$通り選べるのは、上下を結ぶ軸の回転があるから。$3$通り選べるのは、対角線を軸とする回転があるから。 $2$通り選べるのは、反転できるから。 まとめると……」

  • 場所$1$に来る頂点が$4$通り選べる(上下を結ぶ軸の回転)。そのそれぞれに対して、
  • 場所$2$に来る頂点が$3$通り選べる(対角線を結ぶ軸の回転)。そのそれぞれに対して、
  • 場所$3$に来る頂点が$2$通り選べる(辺$AB$と辺$A'B'$の交換)。そのそれぞれに対して、
  • 場所$4$に来る頂点が$1$通り選べる(自動的に決定)。

ユーリ「場所$1$と場所$2$はナットク。でも場所$3$はナットクできーん!」

「場所$3$が納得できない?」

ユーリ「お兄ちゃんは《辺$AB$と辺$A'B'$の交換》で話を終わらせたけど、おかしいよー。お兄ちゃんは、辺$AB$を辺$A'B'$に変えるっていったけど、じゃ辺$AB'$や辺$A'B$は?」

「いやいや、$AB'$や$A'B$なんて辺はないから。$A$と$B$という$2$種類の頂点を使った辺というのは、$AB$と$A'B'$の$2$通りしかないんだよ」

ユーリ「えっ……あ、ほんとだ」

辺$AB$と辺$A'B'$

「だから、$\prime$のあるのとないのとを反転させるのは$2$通りなんだ」

ユーリ「うーん……なんかまだ、ごちゃついてるんだよー」

「うーん……まだ納得できないか……」

ユーリ「もう一声、バシッと決めて欲しい」

「……じゃ、こういうのはどうだろう。サイコロをこんなふうに二つに分けるんだ。 《左手の世界》と《右手の世界》のように」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

chibio6 サイコロの並べ方の種類はたまたま順列になったけどそうでない図形は多い気がする。回転の対象軸を面の他に… https://t.co/WyKjTW2mfe 4ヶ月前 replyretweetfavorite

inaba_darkfox 1,2,3が集まってる頂点に着目して、頂点の位置が8通りで、各場合に対してぐるぐる回すと3通りあるか… https://t.co/tczTpj2Zqp 4ヶ月前 replyretweetfavorite

hyuki @kazzzarion ご指摘ありがとうございました。直しました! https://t.co/88VhC7zs7s https://t.co/moavmgNv53 4ヶ月前 replyretweetfavorite

kazzzarion 「いやいや、AB'やA'Bなんて辺はないから。略、AB'とA'Bの2通りしかないんだよ」がおかしい気がする。その下の図も。 4ヶ月前 replyretweetfavorite