アマゾンで予約開始！ 『数学ガールの秘密ノート／行列が描くもの』
登場人物紹介
僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
僕の部屋
僕とユーリはサイコロの置き方についておしゃべりをしている。
面を東西南北に向ける《サイコロの置き方が$24$通りあること》と、 《$4$個のものを並べる順列が$24$通りあること》の関係を調べているところ（（第231回参照）。
ユーリ「いやー、うまく行くもんだねー。お兄ちゃんが言ってた《頂点に$A,B,C,D,A',B',C',D'$と名前を付ける》 ってゆーの、おもしろいね！」
僕「そうだね。頂点に$A,B,C,D$という名前と、$A',B',C',D'$という名前を付ける。$A$と$A'$は同じ種類の頂点だと考えた上で、サイコロを机の上に置く。 机には頂点が置かれる$4$個の場所がある。サイコロの置き方は$A,B,C,D$という$4$種類の頂点がどの場所に来るかにちょうど対応している。 だから、サイコロの置き方$24$通りは、$4$個を一列に並べる順列の数になっていることがわかる……」
ユーリ「$24$通り全部確かめたもんね！（第231回参照）」
サイコロの置き方$24$通りと、机に接している頂点の名前
僕「でも、まだ、完全には《わかった感じ》がしないなあ」
ユーリ「そう？」
僕「うん。ユーリが気付いた$24 = 4 \times 3 \times 2 \times 1$という事実はなかなか冴えていたよ。そして、すべての場合を確かめたから《もれなく、だぶりなく》対応が付いていることはわかる。 でもね、立方体の頂点に名前を付けてくるくる回したときに、 $A,B,C,D$の順列がどうして《もれなく、だぶりなく》出てくるのか、うまく説明はできない……まだ」
ユーリ「全部確かめたのに？」
僕「どうしてそうなるか、もう一歩踏み込みたいよね」
階乗
ユーリ「ふーん……ところでさー、場合の数を考えるときって、いつも階乗が出てくるよね」
僕「いつも？ いまユーリ、《いつも》って言った？ 《いつも》とは限らないよね。それは《誤った一般化》だよ」
ユーリ「突っかかるにゃあ……だって、$4$個のものを一列に並べる場合の数は、$$ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 $$ 通りあるじゃん。これが階乗でしょ」
僕「そうだね。順列の個数は階乗になる。それから組み合わせでも階乗が出てくる。$n$個のものから$r$個を選ぶ場合の数は、$$ \frac{n!}{r!(n-r)!} $$ になる。だから階乗を使って表せる。 確かにユーリがいうとおり階乗が出てくることは多いよ。《いつも》とは限らないけど」
ユーリ「それって何で？」
僕「何で、とは？」
ユーリ「場合の数を考えるとき、階乗がよく出てくるのは何で？」
僕「うーん、《何で》と言われても困るなあ」
ユーリ「そこをなんとか説明」
僕「場合の数では何かを並べて考えることがよくあるよね。つまり、順列はとても基本的なもの。 そして、順列では並べていく途中で、 並べられるものが一つずつ減っていく」
ユーリ「やっぱ説明はいーや」
僕「直感的には樹形図を考えると納得するよ」
ユーリ「じゅけーず」
樹形図
僕「樹形図は、場合の数を《もれなく、だぶりなく》考えるための道具の一つだよね。$A,B,C,D$という$4$個のものを並べる順列はぜんぶ列挙できるけど、 ただ並べるよりも樹形図にした方がまちがいは少ない」
列挙
樹形図
ユーリ「あー、そだね」
僕「樹形図を左から順番に見ていくと、最初の枝分かれは$4$本ある。これは、最初に置くのが$A,B,C,D$の$4$通りあるから。 そして、そのそれぞれに対して次の枝分かれは$3$本ある。 $4$本が$3$本に減ったのは、次に置けるのが$3$通りに減ったから」
ユーリ「最初に置いたのは使えないから」
僕「そういうこと」
ユーリ「そっか。だから掛けるものが一つずつ減っていく……それで階乗が出てくる。それだけの話？」
僕「そうそう。場合の数では順列がよく出てくる。そして順列は階乗を使ってうまく計算できる。 それは、 端から置けるものを順番に決めていって、 置いていくたびに、次に置けるものが一つずつ減っていくという具合だね」
ユーリ「サイコロも？」
僕「え？」
サイコロと階乗
ユーリ「サイコロの置き方が$4$の階乗になるのも、次に置けるものが一つずつ減っていくからなの？」
僕「おっと！……ちょっと待って」
僕はユーリの言葉をきっかけに、頭の中でサイコロをくるくると回す。
ユーリ「ねー……」
僕「確かに！ $4$個の並べ替えにこだわらないで、素直に数えればわかるんだ。$4$通りのそれぞれに対して$3$通り、確かにあるなあ！ うんうん」
ユーリ「ねー！ 一人で納得しないでよー」
僕「ごめんごめん。ユーリがくれたヒントはなかなかいいよ。 僕たちはいま、サイコロの置き方について考えている」
ユーリ「$4! = 24$通り」
僕「そうだね。机に描いた$1,2,3,4$の場所に対して、$A,B,C,D$のどの頂点が来るかを考える。 サイコロには$8$個の頂点があるから、 わかりやすく区別するために$A,B,C,D,A',B',C',D'$と名前を付けたけど、 気持ちとしては$A$と$A'$を同じ種類の頂点だと見なして、 $A,B,C,D$の$4$個のものを並べ替えているつもり」
ユーリ「そんで？」
僕「さっきの樹形図と同じように考える。つまり、場所$1$に来ることができる頂点は$A,B,C,D$の$4$種類がありうるよね」
ユーリ「オッケー。どんどん進んでよ」
僕「それで場所$1$に置く頂点は決まった。仮に$A$だとしよう。そのとき、場所$2$には$A$以外の頂点$B,C,D$の$3$種類がどれも来ることができるかな、と考える」
ユーリ「にゃるほど。樹形図といっしょで、一つ減ったんだね」
僕「そして実際、場所$2$には、$3$種類のすべてが来ることができる。それは、《$A$と$A'$を結んだ対角線を回転軸とした回転》を考えればいいんだ！ そうすれば、場所$1$に頂点$A$を置いたままで、場所$2$には$B,C,D$という$3$種類の頂点を持ってくることができる」
頂点$A$と$A'$を結ぶ対角線を回転軸とした回転
ユーリ「ほほー！ 斜め攻撃ですか」
僕「頂点への名付け方を考えると、$A$から辺$1$本分離れたところにある頂点は$B,C',D$の$3$通りがあるから、場所$1$に$A$を置いたままで場所$2$に来ることができる頂点は確かに$3$種類あるわけだね。《もれなく、だぶりなく》$3$種類がある」
ユーリ「てことは、場所$1$と場所$2$に来る頂点が決まったところで、$4 \times 3$通りある！ ……でも、階乗を作るためには、次がだめじゃん！」
僕「だめって？」
ユーリ「だって場所$1$と場所$2$に来る頂点が決まったら、場所$3$は決まっちゃうよ？ たとえば、場所$1$に頂点$A$を置いて、場所$2$に頂点$B$を置いたら、場所$3$は頂点$C$に決まっちゃうもん」
僕「ユーリは飲み込みが早いなあ。でも、大丈夫。場所$3$に置ける頂点はちゃんと二種類ある。$C$と$D$の$2$種類の頂点を場所$3$に置けるんだよ。 $A$には$A'$が、$B$には$B'$があるからね。 サイコロを回して、ちょうど辺$AB$と辺$A'B'$を交換すればいい。 そうすると、場所$1$と場所$2$に置く頂点の種類は$A$と$B$に固定したまま、 場所$3$に$C$と$D$の$2$種類をどちらでも持ってくることができるんだ！」
ユーリ「……」
僕「ここまでで、場所$1,2,3$に置ける頂点が決まった。そして場所$4$に置ける頂点は自動的に決まる。これで、$4\times3\times2\times1$が作れたね。階乗になった」
ユーリ「納得いかにゃい！」
僕「え、そう？ $4$通り選べるのは、上下を結ぶ軸の回転があるから。$3$通り選べるのは、対角線を軸とする回転があるから。 $2$通り選べるのは、反転できるから。 まとめると……」
- 場所$1$に来る頂点が$4$通り選べる（上下を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
- 場所$2$に来る頂点が$3$通り選べる（対角線を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
- 場所$3$に来る頂点が$2$通り選べる（辺$AB$と辺$A'B'$の交換）。そのそれぞれに対して、
- 場所$4$に来る頂点が$1$通り選べる（自動的に決定）。
ユーリ「場所$1$と場所$2$はナットク。でも場所$3$はナットクできーん！」
僕「場所$3$が納得できない？」
ユーリ「お兄ちゃんは《辺$AB$と辺$A'B'$の交換》で話を終わらせたけど、おかしいよー。お兄ちゃんは、辺$AB$を辺$A'B'$に変えるっていったけど、じゃ辺$AB'$や辺$A'B$は？」
僕「いやいや、$AB'$や$A'B$なんて辺はないから。$A$と$B$という$2$種類の頂点を使った辺というのは、$AB$と$A'B'$の$2$通りしかないんだよ」
ユーリ「えっ……あ、ほんとだ」
辺$AB$と辺$A'B'$
僕「だから、$\prime$のあるのとないのとを反転させるのは$2$通りなんだ」
ユーリ「うーん……なんかまだ、ごちゃついてるんだよー」
僕「うーん……まだ納得できないか……」
ユーリ「もう一声、バシッと決めて欲しい」
僕「……じゃ、こういうのはどうだろう。サイコロをこんなふうに二つに分けるんだ。 《左手の世界》と《右手の世界》のように」
サイコロの二つの世界
ユーリ「ほほー……でも、どーして《左手の世界》と《右手の世界》なの？」
僕「頂点の名前をよく見てごらん。$A$から$B$を親指、$A$から$C$を人差し指、$A$から$D$を中指に重ね合わせてみる。つまり$B,C,D$を親指、人差し指、中指に順番に重ねていくんだ」
ユーリ「むむむ……おもしろいね、これ！」
僕「これだとはっきりするだろ？《左手の世界》と《右手の世界》にはどちらにも親指に重なる辺がある。そして、《左手の世界》での親指は辺$AB$で、《右手の世界》での親指は辺$A'B'$という名前になっている」
ユーリ「うわっ、すごくわかった！ $4 \times 3 \times 2$のうち、最後の$\times 2$は《左手の世界》と《右手の世界》がうまく交換するように回して、親指の向きは変わらないように注意して……左手と右手を交換して……召喚する。こんなスタイル」
僕「そうだね。変なもの召喚しなくていいから」
ユーリ「お兄ちゃん！ これ、お兄ちゃんの名前付けが悪かったんじゃん！」
僕「何が？」
ユーリ「最初に一つの面の頂点に$A,B,C,D$と名前を付けない方がいい！一つの世界に$\prime$があるものとないものと混じっちゃうから！」
僕「なるほどね。たとえばこんなふうに名前を付ければよかったという意味？」
- 《左手の世界》は$A_1,B_1,C_1,D_1$
- 《右手の世界》は$A_2,B_2,C_2,D_2$
ユーリ「そーだよー！」
僕「いや、それは違うんじゃないかなあ」
ユーリ「何で？」
僕「というのは、サイコロを回転させると頂点は動いてしまうから。むしろ頂点の名前を区別させない方がよかったかもしれない」
ユーリ「へー」
僕「うん。場所$1$と場所$2$に来る頂点を決めたとき、必ず《右手の世界》と《左手の世界》を入れ換えられるということが大事なんだと思う」
ユーリ「あっ、またわかんなくなっちゃった」
僕「つまりね」
ユーリ「ちょーっと待って！ ユーリにしゃべらせて！」
僕「はいはい」
ユーリ「あのね、場所$1$に頂点$4$種類が来るのはわかるの。そのそれぞれに対して場所$2$に頂点$3$種類が来るのもわかる。でも、まだ、そのそれぞれに対して場所$3$に頂点$2$種類が来るのがわからないかも」
僕「うーん……どこがわからないか、ユーリの言葉で言ってほしい……」
ユーリ「言えたら苦労しないよー！ 感覚的にはわかるんだよー！ 《左手の世界》と《右手の世界》をクルッと回して入れ換えれば、$2$通り来るって。でも、もっとバシッと、心の底からなるほど！って言いたいの。《もれなく、だぶりなく》考えたぞ！って」
僕「なるほど。場所$1$に頂点$4$種類が来ることは大丈夫なんだよね」
ユーリ「それは大丈夫。だって、上下の軸を使ってクルクル回せば、場所$1$に$4$種類が来る来る」
場所$1$に$4$種類の頂点を持ってくる
僕「場所$2$に頂点$3$種類が来ることも大丈夫？」
ユーリ「大丈夫。だって、場所$1$の頂点は変えないで、対角線を軸にして斜め回転でクルクル回せば、場所$2$に$3$種類が来る来る」
場所$1$の$A$は変えないで、場所$2$に$3$種類の頂点を持ってくる
僕「なるほど。だとしたら、場所$1$と場所$2$の頂点を動かさないで……正確には場所$1$と場所$2$の頂点の種類を変えないで、クルクル回せればいいんだね！」
ユーリ「できるのはわかるんだけど、どういう回転なの？」
僕「こういう回転軸を考えればいいんだ。《辺$CD$と辺$C'D'$の中点同士を結ぶ直線》を軸にするんだ。 そうすれば、$A$と$A'$が入れ替わり、$B$と$B'$が入れ替わり、そして$C$と$D$が入れ替わる！」
場所$1$の$A$、場所$2$の$B$は変えないで、場所$3$に$2$種類の頂点を持ってくる
ユーリ「お？ おーすごいっ！ $180$度回すんだね、お兄ちゃん！だったら確かに$2$通りじゃん！」
僕「そうだね。いま選んだ辺$CD$と$C'D'$というのは、すでに場所を決めた$A,B$以外の頂点$C,D$を使った辺ということだね。 まとめるとこうだ」
- 場所$1$に来る頂点が$4$通り選べる（上下を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
- 場所$2$に来る頂点が$3$通り選べる（対角線を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
- 場所$3$に来る頂点が$2$通り選べる（辺の中点を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
- 場所$4$に来る頂点が$1$通り選べる（自動的に決定）。
ユーリ「今度こそ納得！」
僕「そうか、なるほどなあ……最初から軸に目を付けて考えるべきだったんだな」
ユーリ「あっ、お兄ちゃん。ユーリおもしろいこと気付いたよ」
僕「何？」
ユーリ「上下を結ぶ軸の回転のときって、《面》を見てるよね」
僕「面を見てる？」
ユーリ「上の面と下の面。その中心を結んだ軸を見てるから」
僕「ああ、そうだね」
ユーリ「でね、対角線を結ぶ軸の回転のときって、《点》を見てるの」
僕「ほんとだな。それから辺の中点を結ぶ軸の回転では、《辺》を見てるということか」
ユーリ「そー！ おもしろいでしょ！」
僕「確かにおもしろいな」
ユーリ「ねーお兄ちゃん、ユーリと話すの楽しい？」
僕「どうした急に」
ユーリ「ユーリはお兄ちゃんと話すの楽しいよ！」
僕「それはよかった」
ユーリ「お兄ちゃんは？ お兄ちゃんはユーリと話すの楽しい？」
僕「数学っておもしろいよね」
ユーリ「質問に答えてなーい！」
僕「もちろん楽しいよ、ユーリ」
ユーリ「よかった」
対称性
僕「ところで、ユーリがいま言った《面》《点》《辺》を見るというのは、なかなか深い話だぞ」
ユーリ「どして？」
僕「うん、これは最初から気付くべきだった。僕たちはサイコロの置き方を考えてきたよね。$24$通り」
ユーリ「そだね」
僕「そのとき、机の上に置いて東西南北に合わせて置くというルールを決めた（第231回参照）。 そのルールは結局《立方体の形は変えない》ということなんだね。
ユーリ「形を変えない？」
僕「サイコロの置き方は変えるけど、立方体の形を崩すことはない。つまりそれっていうのは、立方体にはどんな対称性がありますか という問いを考えていたことになるってことだ」
ユーリ「対称性……ほほー」
僕「そうなんだよ。最初からそこに注目すればよかったんだ。立方体が持つ対称性を考える。 だからこそ、軸のまわりの回転を使ってサイコロの置き方を整理することができたんだね。 どんな対称軸があるかを考えると、《面》の中心を結んだもの、《点》を結んだもの、《辺》の中点を結んだものを考えることができる」
ユーリ「うーん。でも対称って回転だけだっけ？」
僕「点対称や面対称もあるね。それはサイコロの置き方を考えるときには出てこない。サイコロという現実の物体の制約といえるかもしれない。 頂点を点対称の位置に持っていくためには、サイコロを《裏返し》する必要があるからね。 面対称も同じ」
ユーリ「そっか……」
僕「うん、立方体の対称性を考えて、回転軸をどのように取るかを使って場合の数を考えるというのはいい方法だよ。考えてみれば、ユーリが最初に言ってた、$6 \times 4 = 24$というのはまさにそれだね。 《どの面を上にするか》が$6$通りで、《回転の方法》が$4$通りだったけど、《どの面を上にするか》というのは、《向きも考えた回転軸》だったんだ。 つまり、《向きも考えた回転軸の本数》×《その回転軸での回転方法の数》という計算をしていたんだよ」
ユーリ「あ？」
僕「そうか！同じことが他の回転軸でもいえそうだぞ。たとえば《点》を結んだものだと、《向きも考えた回転軸の本数》×《その回転軸での回転方法の数》は、$8 \times 3 = 24$になる。 それから、《辺》を結んだものだと、 《向きも考えた回転軸の本数》×《その回転軸での回転方法の数》は$12 \times 2 = 24$になる」
ユーリ「ちょっと待ってよ！ ちゃんと図に描いてよー！」
こんなふうにして、僕とユーリの楽しい数学トークは続いていく。
サイコロの置き方はたった$24$通り。
でもその中には、たくさんの謎が詰まっている。
（第232回終わり、第233回に続く）
