第232回　サイコロロン（後編）

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僕の部屋

ユーリ「いやー、うまく行くもんだねー。お兄ちゃんが言ってた《頂点に$A,B,C,D,A',B',C',D'$と名前を付ける》 ってゆーの、おもしろいね！」

​

僕「そうだね。頂点に$A,B,C,D$という名前と、$A',B',C',D'$という名前を付ける。$A$と$A'$は同じ種類の頂点だと考えた上で、サイコロを机の上に置く。 机には頂点が置かれる$4$個の場所がある。サイコロの置き方は$A,B,C,D$という$4$種類の頂点がどの場所に来るかにちょうど対応している。 だから、サイコロの置き方$24$通りは、$4$個を一列に並べる順列の数になっていることがわかる……」

ユーリ「$24$通り全部確かめたもんね！（第231回参照）」

僕「でも、まだ、完全には《わかった感じ》がしないなあ」

ユーリ「そう？」

僕「うん。ユーリが気付いた$24 = 4 \times 3 \times 2 \times 1$という事実はなかなか冴えていたよ。そして、すべての場合を確かめたから《もれなく、だぶりなく》対応が付いていることはわかる。 でもね、立方体の頂点に名前を付けてくるくる回したときに、 $A,B,C,D$の順列がどうして《もれなく、だぶりなく》出てくるのか、うまく説明はできない……まだ」

ユーリ「全部確かめたのに？」

僕「どうしてそうなるか、もう一歩踏み込みたいよね」

階乗

ユーリ「ふーん……ところでさー、場合の数を考えるときって、いつも階乗が出てくるよね」

僕「いつも？　いまユーリ、《いつも》って言った？　《いつも》とは限らないよね。それは《誤った一般化》だよ」

ユーリ「突っかかるにゃあ……だって、$4$個のものを一列に並べる場合の数は、$$ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 $$ 通りあるじゃん。これが階乗でしょ」

僕「そうだね。順列の個数は階乗になる。それから組み合わせでも階乗が出てくる。$n$個のものから$r$個を選ぶ場合の数は、$$ \frac{n!}{r!(n-r)!} $$ になる。だから階乗を使って表せる。 確かにユーリがいうとおり階乗が出てくることは多いよ。《いつも》とは限らないけど」

ユーリ「それって何で？」

僕「何で、とは？」

ユーリ「場合の数を考えるとき、階乗がよく出てくるのは何で？」

僕「うーん、《何で》と言われても困るなあ」

ユーリ「そこをなんとか説明」

僕「場合の数では何かを並べて考えることがよくあるよね。つまり、順列はとても基本的なもの。 そして、順列では並べていく途中で、 並べられるものが一つずつ減っていく」

ユーリ「やっぱ説明はいーや」

僕「直感的には樹形図を考えると納得するよ」

ユーリ「じゅけーず」

樹形図

僕「樹形図は、場合の数を《もれなく、だぶりなく》考えるための道具の一つだよね。$A,B,C,D$という$4$個のものを並べる順列はぜんぶ列挙できるけど、 ただ並べるよりも樹形図にした方がまちがいは少ない」

ユーリ「あー、そだね」

僕「樹形図を左から順番に見ていくと、最初の枝分かれは$4$本ある。これは、最初に置くのが$A,B,C,D$の$4$通りあるから。 そして、そのそれぞれに対して次の枝分かれは$3$本ある。 $4$本が$3$本に減ったのは、次に置けるのが$3$通りに減ったから」

ユーリ「最初に置いたのは使えないから」

僕「そういうこと」

ユーリ「そっか。だから掛けるものが一つずつ減っていく……それで階乗が出てくる。それだけの話？」

僕「そうそう。場合の数では順列がよく出てくる。そして順列は階乗を使ってうまく計算できる。 それは、 端から置けるものを順番に決めていって、 置いていくたびに、次に置けるものが一つずつ減っていくという具合だね」

ユーリ「サイコロも？」

僕「え？」

サイコロと階乗

ユーリ「サイコロの置き方が$4$の階乗になるのも、次に置けるものが一つずつ減っていくからなの？」

僕「おっと！……ちょっと待って」

ユーリ「ねー……」

僕「確かに！　$4$個の並べ替えにこだわらないで、素直に数えればわかるんだ。$4$通りのそれぞれに対して$3$通り、確かにあるなあ！　うんうん」

ユーリ「ねー！　一人で納得しないでよー」

僕「ごめんごめん。ユーリがくれたヒントはなかなかいいよ。 僕たちはいま、サイコロの置き方について考えている」

ユーリ「$4! = 24$通り」

僕「そうだね。机に描いた$1,2,3,4$の場所に対して、$A,B,C,D$のどの頂点が来るかを考える。 サイコロには$8$個の頂点があるから、 わかりやすく区別するために$A,B,C,D,A',B',C',D'$と名前を付けたけど、 気持ちとしては$A$と$A'$を同じ種類の頂点だと見なして、 $A,B,C,D$の$4$個のものを並べ替えているつもり」

​

ユーリ「そんで？」

僕「さっきの樹形図と同じように考える。つまり、場所$1$に来ることができる頂点は$A,B,C,D$の$4$種類がありうるよね」

ユーリ「オッケー。どんどん進んでよ」

僕「それで場所$1$に置く頂点は決まった。仮に$A$だとしよう。そのとき、場所$2$には$A$以外の頂点$B,C,D$の$3$種類がどれも来ることができるかな、と考える」

ユーリ「にゃるほど。樹形図といっしょで、一つ減ったんだね」

僕「そして実際、場所$2$には、$3$種類のすべてが来ることができる。それは、《$A$と$A'$を結んだ対角線を回転軸とした回転》を考えればいいんだ！ そうすれば、場所$1$に頂点$A$を置いたままで、場所$2$には$B,C,D$という$3$種類の頂点を持ってくることができる」

ユーリ「ほほー！　斜め攻撃ですか」

僕「頂点への名付け方を考えると、$A$から辺$1$本分離れたところにある頂点は$B,C',D$の$3$通りがあるから、場所$1$に$A$を置いたままで場所$2$に来ることができる頂点は確かに$3$種類あるわけだね。《もれなく、だぶりなく》$3$種類がある」

ユーリ「てことは、場所$1$と場所$2$に来る頂点が決まったところで、$4 \times 3$通りある！　……でも、階乗を作るためには、次がだめじゃん！」

僕「だめって？」

ユーリ「だって場所$1$と場所$2$に来る頂点が決まったら、場所$3$は決まっちゃうよ？ たとえば、場所$1$に頂点$A$を置いて、場所$2$に頂点$B$を置いたら、場所$3$は頂点$C$に決まっちゃうもん」

僕「ユーリは飲み込みが早いなあ。でも、大丈夫。場所$3$に置ける頂点はちゃんと二種類ある。$C$と$D$の$2$種類の頂点を場所$3$に置けるんだよ。 $A$には$A'$が、$B$には$B'$があるからね。 サイコロを回して、ちょうど辺$AB$と辺$A'B'$を交換すればいい。 そうすると、場所$1$と場所$2$に置く頂点の種類は$A$と$B$に固定したまま、 場所$3$に$C$と$D$の$2$種類をどちらでも持ってくることができるんだ！」

ユーリ「……」

僕「ここまでで、場所$1,2,3$に置ける頂点が決まった。そして場所$4$に置ける頂点は自動的に決まる。これで、$4\times3\times2\times1$が作れたね。階乗になった」

ユーリ「納得いかにゃい！」

僕「え、そう？　$4$通り選べるのは、上下を結ぶ軸の回転があるから。$3$通り選べるのは、対角線を軸とする回転があるから。 $2$通り選べるのは、反転できるから。 まとめると……」

• 場所$1$に来る頂点が$4$通り選べる（上下を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
• 場所$2$に来る頂点が$3$通り選べる（対角線を結ぶ軸の回転）。そのそれぞれに対して、
• 場所$3$に来る頂点が$2$通り選べる（辺$AB$と辺$A'B'$の交換）。そのそれぞれに対して、
• 場所$4$に来る頂点が$1$通り選べる（自動的に決定）。

ユーリ「場所$1$と場所$2$はナットク。でも場所$3$はナットクできーん！」

僕「場所$3$が納得できない？」

ユーリ「お兄ちゃんは《辺$AB$と辺$A'B'$の交換》で話を終わらせたけど、おかしいよー。お兄ちゃんは、辺$AB$を辺$A'B'$に変えるっていったけど、じゃ辺$AB'$や辺$A'B$は？」

僕「いやいや、$AB'$や$A'B$なんて辺はないから。$A$と$B$という$2$種類の頂点を使った辺というのは、$AB$と$A'B'$の$2$通りしかないんだよ」

ユーリ「えっ……あ、ほんとだ」

僕「だから、$\prime$のあるのとないのとを反転させるのは$2$通りなんだ」

ユーリ「うーん……なんかまだ、ごちゃついてるんだよー」

僕「うーん……まだ納得できないか……」

ユーリ「もう一声、バシッと決めて欲しい」

僕「……じゃ、こういうのはどうだろう。サイコロをこんなふうに二つに分けるんだ。 《左手の世界》と《右手の世界》のように」