登場人物紹介
僕：数学が好きな高校生。
テトラちゃん：僕の後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。
ミルカさん：数学が好きな高校生。僕のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。
僕とテトラちゃんとミルカさんの三人は、連続関数の問題を考えていた。
僕「最大値って、上界のうち最小のものじゃないのかな……」
ミルカ「それはいい予想。閉区間上の連続関数$f(x)$が取り得る値の最小上界は、$f(x)$が取り得る値の最大値になる。あとはそれを証明するだけだ」
僕「証明するだけね……」
テトラ「せ、先輩方。ちょっとお待ちください。テトラはただいま混乱中です。考えるのは上界の最小値でいいんでしょうか。上界の最大値ではなく？」
僕「上界の最小値を考えるのでいいんだよ、テトラちゃん。上界はたくさんあるけど、 そのうち最小のものが関数$f(x)$の最大値になるっていう話なんだから」
テトラ「ちょっと、図に描かせてください……」
《上界》と《最大値》のイメージ図
僕「どう？」
テトラ「なるほど……わかりました。最小上界、つまり上界のうち一番小さなものが、関数の最大値になりそうだ……ということですね」
ミルカ「定義も再確認」
最大値
$a \LEQ x \LEQ b$を満たす、すべての$x$に対して、 $$ f(x) \LEQ f(m) $$ を満たす$m$が存在するとしよう（ただし、$a \LEQ m \LEQ b$）。
このときの値$f(m)$を、集合$\SET{ f(x) \SETM a \LEQ x \LEQ b }$の最大値という。
論理式で表すなら、 $$ \exists m \in [a,b] \quad \forall x \in [a,b] \quad \bigl[\, f(x) \LEQ f(m) \,\bigr] $$ が成り立つときの$f(m)$が最大値である。
上界
$a \LEQ x \LEQ b$を満たす、すべての$x$に対して、 $$ f(x) \LEQ M $$ を満たす実数$M$が存在するとしよう。
このときの$M$を、集合$\SET{ f(x) \SETM a \LEQ x \LEQ b }$の一つの上界という。
論理式で表すなら、 $$ \exists M \in \REAL \quad \forall x \in [a,b] \quad \bigl[\, f(x) \LEQ M \,\bigr] $$ が成り立つときの$M$が一つの上界である。
ミルカ「最小上界のことは上限（じょうげん）と呼ぶけれど、いまは最小上界という言葉のまま話そう」
僕「最小上界が結局は関数$f(x)$の最大値になるんじゃないか、というのが僕の予想だよ」
ミルカ「では証明を探っていこう。まず、最小上界を$M_0$と置く」
ミルカさんはそこで軽くウインクした。
僕「えっ……？」
テトラ「ミルカさん？ あ、あの……いまのは？」
ミルカ「ブックマーク代わりだよ」
テトラ「ブックマーク？」
ミルカ「話を進めよう。最小上界$M_0$はもちろん上界でもある。したがって、閉区間$[a,b]$に属するどんな実数$x$に対しても、$f(x) \LEQ M_0$が成り立つ。それはなぜか。テトラ？」
テトラ「は、はい。わかります。$y = f(x)$のグラフは $y = M_0$の水平線以下にぜんぶ入っていることになりますから」
僕「というか、上界の定義そのものだよね。$M_0$が上界であるというのは、 $[a, b]$に属するどんな実数$x$に対しても$f(x) \LEQ M_0$ということだから」
テトラ「そうですね」
ミルカ「最小上界$M_0$は$f(x) \LEQ M_0$を満たす。だから、私たちの関心はこの不等式の等号が成立するかどうかだ。 $f(m) = M_0$を成り立たせる$m$は閉区間$[a,b]$内に存在するか。 もしそのような$m$が存在するならば、関数$f(x)$は最大値$f(m)$を取る。 $f(x) \LEQ M_0 = f(m)$になるから」
僕「そしてそのとき、最大値と最小上界は一致するわけだね」
ミルカ「そういうこと」
テトラ「あ、あのう……あたしはここまで話についてきていると思うのですが、いま、とても不安です」
僕「どうして？」
テトラ「あのですね。$f(m) = M_0$を成り立たせる$m$が存在するかどうか……あたし、 こういう問題を見るといつも思うんです。いったいどこから考え始めればいいんでしょうか。 $f(x)$という関数は具体的に与えられていません。 それなのに何かを考えなさいと言われると、 雲をつかむような気持ちになるんです。 いつもです。いつも、そんな気持ちになります」
僕「$f(x)$は与えられているよね」
テトラ「えっ？」
僕「問題文に、実数の閉区間$[a,b]$から実数全体の集合への連続な関数$f(x)$とあるから……」
テトラ「連続な関数……という部分ですか？」
僕「きっとそれを使うんだと思うよ。《与えられているものは何か》と問いかけるなら、$f(x)$は連続……という条件と、 $M_0$は最小上界である……という条件をきっと使うことになる」
ミルカ「……」
テトラ「$f(x)$は連続という条件を、使う……？」
僕「たぶん、数列を作るんだと思うよ。ほらさっきもそうだったよね。 数列を作って、その極限を考えた（第225回参照）」
テトラ「今回も？」
僕「うん、そうだよ。きっと数列を作るんだ。そして関数の連続性を使って、 極限値$M_0$に等しくなる$f(x)$がちゃんと存在する！……という筋書き」
ミルカ「あとはどんな数列を作るかだけの問題だな」
僕「うーん……」
ミルカ「《似た問題を知らないか》」
僕「うん、だから知ってるよ。でもあのときは上界が存在しないと仮定した背理法だったから……」
ミルカ「だから、話は違うと？」
僕「だって、ほら、$1 < f(x_1), 2 < f(x_2), 3 < f(x_3), \ldots$という性質を持つ$\LL x_n \RR$を考えたよね。今回は$f(x_n)$を正の無限大に発散させるわけには行かなくて、極限値として……ん？」
ミルカ「今回は$f(x_n)$を最小上界$M_0$に収束させたいんだろう？」
僕「……」
テトラ「先輩？」
僕「わかってきたぞ。いま考えているのはこういう問題4だよね」
問題4
実数の閉区間$[a,b]$から実数全体の集合への連続な関数$f(x)$の最小上界を$M_0$とする。
このとき、$f(x) = M_0$となる実数$x$が閉区間$[a,b]$に存在することを証明せよ。
ヒント：$n \to \infty$での極限値が$M_0$である数列を作る。
僕「うん。こういう不等式を考えてみるんだ！」
$$ M_0 - \frac{1}{n} < f(x) $$
テトラ「$M_0$は最小上界ですよね。それよりも$\frac1n$だけ小さな実数よりも$f(x)$が大きい……？」
僕「$n$は正の整数とする。たとえば、$1$のとき、$$ M_0 - \frac{1}{1} < f(x) $$ という不等式を満たす$x$は存在するかというと……」
テトラ「……わかりません」
僕「必ず存在するんだよ、テトラちゃん」
テトラ「……なぜですか。なぜそんなことがいえるんでしょうか」
僕「だって、$M_0$は最小上界だよね。$M_0 - \frac{1}{n}$は最小上界より小さくなる。 最小上界より小さいということは、 $M_0 - \frac{1}{n}$は$f(x)$の上界にはなれない。 上界ではない、ということは上界の定義を考えると、 $$ M_0 - \frac{1}{1} < f(x) $$ を満たす$x$が閉区間$[a,b]$に存在するといえる！ そこで、その$x$の一つを選んで$x_1$とする」
テトラ「何となく……わかってきました。こういう感じでしょうか」
僕「そうだね。そしてこのグラフでいうと、$x_1$は$x$軸のこの範囲から選ぶ」
テトラ「ということは、$x_2, x_3, x_4$はここから選ぶのですね」
僕「それをずっと続けていける。$n = 1,2,3,\ldots$でね。だって、$M_0$は最小上界だから！ だから、$x_1, x_2, x_3, \ldots$の存在がいえる」
$$ \begin{align*} M_0 - \frac{1}{1} &< f(x_1) \\ M_0 - \frac{1}{2} &< f(x_2) \\ M_0 - \frac{1}{3} &< f(x_3) \\ M_0 - \frac{1}{4} &< f(x_4) \\ M_0 - \frac{1}{5} &< f(x_5) \\ &\,\vdots \\ M_0 - \frac{1}{n} &< f(x_n) \\ &\,\vdots \\ \end{align*} $$
ミルカ「ふむ。それで？」
僕「それで、この問題4は証明できたね」
問題4
実数の閉区間$[a,b]$から実数全体の集合への連続な関数$f(x)$の最小上界を$M_0$とする。
このとき、$f(x) = M_0$となる実数$x$が閉区間$[a,b]$に存在することを証明せよ。
ヒント：$n \to \infty$のときに$M_0$が極限値になる数列を考える。
ミルカ「……」
僕「数列$\LL x_n \RR$を考えると、これは無限数列になって、しかも$x_n \in [a,b]$になる。 ということは、 二つの山になったりしても大丈夫なように、収束する部分列を取る考え方が使えるね（第225回参照）。 数列$\LL x_n \RR$から、必ず収束する部分列$\LL X_n \RR$を作ることができる。 $[a,b]$という区間を二等分して、無数の項を含んでいる区間の方を選んでいくという論法。 実数列を考えているから、区間縮小法を使って極限値$X_\infty \in [a,b]$の存在がいえる」
テトラ「なるほど！ 確かに同じ議論ですね！」
僕「関数$f(x)$は連続だから、$n \to \infty$で$f(X_n) \to f(X_\infty)$になって、$f(X_\infty) = M_0$がいえた。これはすなわち$f(x) = M_0$を満たす$x$が存在すると主張している」
テトラ「これで、問題4が証明できて、最小上界$M_0$と$f(x)$の最大値が一致することがわかりましたから、問題3も証明できましたね！」
問題3
実数の閉区間$[a,b]$から実数全体の集合への連続な関数$f(x)$には、上界が存在することがいえた。
では、この関数が最大値を持つことを証明せよ。
僕「そうだね！」
ミルカ「残念ながら、まだだ」
テトラ「え……まだですか？」
僕「どうして？」
ミルカ「では、ブックマークに戻ろう」
ミルカさんが、もう一度ウインクをした。
ミルカ「私たちは最小上界を$M_0$と置いた。そして問題4ではその$M_0$を使って$f(x)$が最大値を持つことを証明した。 しかしこの議論には大きな欠けがある」
テトラ「大きな欠け？ それは何でしょう、わかりません……」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
