リビングで
ユーリ「また勝った。お兄ちゃん、意外と弱いよね」
僕「いや、ユーリが強すぎるんだよ」
ユーリ「苦戦しているって……四隅取られてるんだからボロ負けじゃん」
僕「そうとも言う」
ユーリ「弱い上に負けを認めないんだー、ふーん……」
僕「なお、オセロは登録商標です」
ユーリ「注意書きみたいなこと言ってないで、もっかいオセロやろーよー」
僕「もうオセロはいいよ。それより……」
ユーリ「お兄ちゃん、何やるの?」
僕はオセロの盤面から石をいったん片付けてから、 黒石を $1$ 個だけ角に置く。
ユーリ「何これ。ねーお兄ちゃん、いくら自分がカドを取れないからって、最初からこれはないんじゃない? ルール違反!」
僕「いやいや。まあ、見ててよ。次はこうだよ」
ユーリ「んん? さっきの盤面の再現……でもないか。何か新しいルールの研究?」
僕「どうかな、次はこう」
ユーリ「ははーん、わかったよ。角から順番に並べてるんだね!」
僕「そうだね」
ユーリ「あれだよね。黒が $1$ 個、それから白が $3$ 個、それから黒が $5$ 個……」
僕「この次はどうなると思う、ユーリ?」
ユーリ「こんなの簡単だよ、こーでしょ?」
ユーリはささっと白石を並べる。
僕「うん、そうだね。いまユーリが並べた白石は何個?」
ユーリ「白が $7$ 個だよん」
僕「規則性はわかる?」
ユーリ「わかるよ。 $1,3,5,7$ でしょ。もっと行くと $9,11,13,15$ 個並ぶ」
僕「 $15$ 個の次は?」
ユーリ「そんなのひっかかんないよーだ! 次は $17$ 個だけど、オセロ盤からはみだしちゃうじゃん!」
僕「ひっかかんないか」
ユーリ「しまもようだね」
僕「ねえ、ユーリ、いまユーリが言ってくれた $1,3,5,7,9,11,13,15$ のことを何て言うか知ってる?」
ユーリ「ん? うん、知ってる。 $1,3,5,7,9,\ldots$ は、奇数でしょ?」
僕「そうだね。その通り。オセロ盤を越えて考えれば、 $15$ を越えてもずっと奇数はある。奇数を並べた数列、奇数の列だ」
$$ 1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,13,\,15,\,17,\,19,\,21,\,23,\,25,\,27,\,29,\,\ldots $$
ユーリ「すうれつ?」
僕「数を列にして並べたものが数列だよ。これは奇数を並べて作った数列」
ユーリ「ふーん。ねえ、お兄ちゃん。奇数の列って $1,3,5,7,9$ を繰り返してるね」
僕「あ、そうだね。一の位のことだね」
ユーリ「ところでその奇数の列がどうしたの? オセロもうやんないの?」
僕「さっきお兄ちゃんはこんなふうに石を並べたよね。L字形にならべて、増やしていった」
ユーリ「うん、そーだね。エル字っていうか、うえした逆だけど」
僕「そこでね、こんなふうに石のまとまりを見直してみよう」
僕は盤面の上に置かれた石に向かって、指で正方形を描く。
ユーリ「えっと、それは四角にまとめるってこと?」
僕「ただの四角じゃなくて、正方形だね。辺の長さが全部等しくて、角の大きさがすべて等しい」
ユーリ「正方形……まー確かに、そーともゆー」
僕「そしてその正方形の中に何個の石があるかを数えてみよう」
ユーリ「ほーほー」
僕「今度はどんな規則性があるか、わかる?」
ユーリ「規則性って……見たらわかんじゃん! $1,4,9,16,25,\ldots$ って増えてく」
僕「そうだね。確かに見たらわかる。でね、いまユーリが言った $1,4,9,16,25,\ldots$ というのは、平方数っていうんだ」
ユーリ「へいほーすう?」
僕「だから、 $1,4,9,16,25,\ldots$ は平方数の列といえる」
$$ 1,4,9,16,25,\ldots $$
僕「正方形の一辺の長さが $1,2,3,4,5,\ldots$ のように増えていくから、正方形の中に置いた石の個数は $1 \times 1 = 1,$ $2 \times 2 = 4,$ $3 \times 3 = 9,$ $4 \times 4 = 16,$ $5 \times 5 = 25, \ldots$ のように増えていくんだね」
ユーリ「正方形……石 $1$ 個でも正方形?」
僕「そうだよ。縦が $1$ で横が $1$ の正方形。 $1 \times 1$ だね」
ユーリ「あそっか」
僕「ねえユーリ、オセロの盤で別のゲームをやってるみたいじゃない?」
ユーリ「えー、でも、別に勝ち負けないじゃん。石を並べるだけなら」
僕「まあそうか」
ユーリ「あ、ひらめいたよ!」
僕「何が?」
ユーリ「こーゆーの!」
ユーリ「ほらできたよ! うずまき!」
僕「え……うずまきなんて、どこにある?」
Photo by Hiroshi Yuki.
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