第31回 並ぶ数、広がる数(前編)

オセロゲームに飽きたユーリと「僕」は、オセロの石を並べて別の遊びを始めます。そのうちに思わぬ発見が…

リビングで

ユーリ「また勝った。お兄ちゃん、意外と弱いよね」

「いや、ユーリが強すぎるんだよ」

ここはの自宅。 リビングでと従妹のユーリはオセロゲームをしていた。 ユーリがやたらと強いのでは苦戦している。

ユーリ「苦戦しているって……四隅取られてるんだからボロ負けじゃん」

「そうとも言う」

ユーリ「弱い上に負けを認めないんだー、ふーん……」

「なお、オセロは登録商標です」

ユーリ「注意書きみたいなこと言ってないで、もっかいオセロやろーよー」

「もうオセロはいいよ。それより……」

ユーリ「お兄ちゃん、何やるの?」

はオセロの盤面から石をいったん片付けてから、 黒石を $1$ 個だけ角に置く。

ユーリ「何これ。ねーお兄ちゃん、いくら自分がカドを取れないからって、最初からこれはないんじゃない? ルール違反!」

「いやいや。まあ、見ててよ。次はこうだよ」

ユーリ「んん? さっきの盤面の再現……でもないか。何か新しいルールの研究?」

「どうかな、次はこう」

ユーリ「ははーん、わかったよ。角から順番に並べてるんだね!」

「そうだね」

ユーリ「あれだよね。黒が $1$ 個、それから白が $3$ 個、それから黒が $5$ 個……」

「この次はどうなると思う、ユーリ?」

ユーリ「こんなの簡単だよ、こーでしょ?」

ユーリはささっと白石を並べる。

「うん、そうだね。いまユーリが並べた白石は何個?」

ユーリ「白が $7$ 個だよん」

規則性はわかる?」

ユーリ「わかるよ。 $1,3,5,7$ でしょ。もっと行くと $9,11,13,15$ 個並ぶ」

「 $15$ 個の次は?」

ユーリ「そんなのひっかかんないよーだ! 次は $17$ 個だけど、オセロ盤からはみだしちゃうじゃん!」

「ひっかかんないか」

ユーリ「しまもようだね」

「ねえ、ユーリ、いまユーリが言ってくれた $1,3,5,7,9,11,13,15$ のことを何て言うか知ってる?」

ユーリ「ん? うん、知ってる。 $1,3,5,7,9,\ldots$ は、奇数きすうでしょ?」

「そうだね。その通り。オセロ盤を越えて考えれば、 $15$ を越えてもずっと奇数はある。奇数を並べた数列、奇数の列だ」

奇数の列
$$ 1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,13,\,15,\,17,\,19,\,21,\,23,\,25,\,27,\,29,\,\ldots $$

ユーリ「すうれつ?」

にして並べたものが数列だよ。これは奇数を並べて作った数列」

ユーリ「ふーん。ねえ、お兄ちゃん。奇数の列って $1,3,5,7,9$ を繰り返してるね」

「あ、そうだね。一の位のことだね」

ユーリ「ところでその奇数の列がどうしたの? オセロもうやんないの?」

「さっきお兄ちゃんはこんなふうに石を並べたよね。L字形にならべて、増やしていった」

ユーリ「うん、そーだね。エル字っていうか、うえした逆だけど」

「そこでね、こんなふうに石のまとまりを見直してみよう」

は盤面の上に置かれた石に向かって、指で正方形を描く。

ユーリ「えっと、それは四角にまとめるってこと?」

「ただの四角じゃなくて、正方形だね。辺の長さが全部等しくて、角の大きさがすべて等しい」

ユーリ「正方形……まー確かに、そーともゆー」

「そしてその正方形の中に何個の石があるかを数えてみよう」

ユーリ「ほーほー」

「今度はどんな規則性があるか、わかる?」

ユーリ「規則性って……見たらわかんじゃん!  $1,4,9,16,25,\ldots$ って増えてく」

「そうだね。確かに見たらわかる。でね、いまユーリが言った $1,4,9,16,25,\ldots$ というのは、平方数へいほうすうっていうんだ」

ユーリ「へいほーすう?」

「だから、 $1,4,9,16,25,\ldots$ は平方数の列といえる」

平方数の列
$$ 1,4,9,16,25,\ldots $$

「正方形の一辺の長さが $1,2,3,4,5,\ldots$ のように増えていくから、正方形の中に置いた石の個数は $1 \times 1 = 1,$ $2 \times 2 = 4,$ $3 \times 3 = 9,$ $4 \times 4 = 16,$ $5 \times 5 = 25, \ldots$ のように増えていくんだね」

ユーリ「正方形……石 $1$ 個でも正方形?」

「そうだよ。縦が $1$ で横が $1$ の正方形。 $1 \times 1$ だね」

ユーリ「あそっか」

「ねえユーリ、オセロの盤で別のゲームをやってるみたいじゃない?」

ユーリ「えー、でも、別に勝ち負けないじゃん。石を並べるだけなら」

「まあそうか」

ユーリ「あ、ひらめいたよ!」

「何が?」

ユーリ「こーゆーの!」

ユーリ「ほらできたよ! うずまき!」

「え……うずまきなんて、どこにある?」

Photo by Hiroshi Yuki.

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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hyuki 四月に新刊が出る「数学ガールの秘密ノート」。過去記事の6時間の無料リンクをツイート。公式 (続) 4年以上前 replyretweetfavorite

hyuki 金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。今週は過去記事の6時間の無料リンク。公式 (続く) 4年以上前 replyretweetfavorite

hyuki 【過去記事2本6時間無料】金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。公式 約5年前 replyretweetfavorite

rashita2 序盤メタな発言が多いですねw→ 5年以上前 replyretweetfavorite