第31回　並ぶ数、広がる数（前編）

リビングで

ユーリ「また勝った。お兄ちゃん、意外と弱いよね」

僕「いや、ユーリが強すぎるんだよ」

ユーリ「苦戦しているって……四隅取られてるんだからボロ負けじゃん」

僕「そうとも言う」

ユーリ「弱い上に負けを認めないんだー、ふーん……」

僕「なお、オセロは登録商標です」

ユーリ「注意書きみたいなこと言ってないで、もっかいオセロやろーよー」

僕「もうオセロはいいよ。それより……」

ユーリ「お兄ちゃん、何やるの？」

僕はオセロの盤面から石をいったん片付けてから、 黒石を $1$ 個だけ角に置く。

ユーリ「何これ。ねーお兄ちゃん、いくら自分がカドを取れないからって、最初からこれはないんじゃない？ ルール違反！」

僕「いやいや。まあ、見ててよ。次はこうだよ」

ユーリ「んん？　さっきの盤面の再現……でもないか。何か新しいルールの研究？」

僕「どうかな、次はこう」

ユーリ「ははーん、わかったよ。角から順番に並べてるんだね！」

僕「そうだね」

ユーリ「あれだよね。黒が $1$ 個、それから白が $3$ 個、それから黒が $5$ 個……」

僕「この次はどうなると思う、ユーリ？」

ユーリ「こんなの簡単だよ、こーでしょ？」

ユーリはささっと白石を並べる。

僕「うん、そうだね。いまユーリが並べた白石は何個？」

ユーリ「白が $7$ 個だよん」

僕「規則性はわかる？」

ユーリ「わかるよ。 $1,3,5,7$ でしょ。もっと行くと $9,11,13,15$ 個並ぶ」

僕「 $15$ 個の次は？」

ユーリ「そんなのひっかかんないよーだ！　次は $17$ 個だけど、オセロ盤からはみだしちゃうじゃん！」

僕「ひっかかんないか」

ユーリ「しまもようだね」

僕「ねえ、ユーリ、いまユーリが言ってくれた $1,3,5,7,9,11,13,15$ のことを何て言うか知ってる？」

ユーリ「ん？　うん、知ってる。 $1,3,5,7,9,\ldots$ は、奇数（きすう）でしょ？」

僕「そうだね。その通り。オセロ盤を越えて考えれば、 $15$ を越えてもずっと奇数はある。奇数を並べた数列、奇数の列だ」

ユーリ「すうれつ？」

僕「数を列にして並べたものが数列だよ。これは奇数を並べて作った数列」

ユーリ「ふーん。ねえ、お兄ちゃん。奇数の列って $1,3,5,7,9$ を繰り返してるね」

僕「あ、そうだね。一の位のことだね」

ユーリ「ところでその奇数の列がどうしたの？　オセロもうやんないの？」

僕「さっきお兄ちゃんはこんなふうに石を並べたよね。L字形にならべて、増やしていった」

ユーリ「うん、そーだね。エル字っていうか、うえした逆だけど」

僕「そこでね、こんなふうに石のまとまりを見直してみよう」

僕は盤面の上に置かれた石に向かって、指で正方形を描く。

ユーリ「えっと、それは四角にまとめるってこと？」

僕「ただの四角じゃなくて、正方形だね。辺の長さが全部等しくて、角の大きさがすべて等しい」

ユーリ「正方形……まー確かに、そーともゆー」

僕「そしてその正方形の中に何個の石があるかを数えてみよう」

ユーリ「ほーほー」

僕「今度はどんな規則性があるか、わかる？」

ユーリ「規則性って……見たらわかんじゃん！　 $1,4,9,16,25,\ldots$ って増えてく」

僕「そうだね。確かに見たらわかる。でね、いまユーリが言った $1,4,9,16,25,\ldots$ というのは、平方数（へいほうすう）っていうんだ」

ユーリ「へいほーすう？」

僕「だから、 $1,4,9,16,25,\ldots$ は平方数の列といえる」

僕「正方形の一辺の長さが $1,2,3,4,5,\ldots$ のように増えていくから、正方形の中に置いた石の個数は $1 \times 1 = 1,$ $2 \times 2 = 4,$ $3 \times 3 = 9,$ $4 \times 4 = 16,$ $5 \times 5 = 25, \ldots$ のように増えていくんだね」

ユーリ「正方形……石 $1$ 個でも正方形？」

僕「そうだよ。縦が $1$ で横が $1$ の正方形。 $1 \times 1$ だね」

ユーリ「あそっか」

僕「ねえユーリ、オセロの盤で別のゲームをやってるみたいじゃない？」

ユーリ「えー、でも、別に勝ち負けないじゃん。石を並べるだけなら」

僕「まあそうか」

ユーリ「あ、ひらめいたよ！」

僕「何が？」

ユーリ「こーゆーの！」

ユーリ「ほらできたよ！　うずまき！」

僕「え……うずまきなんて、どこにある？」

Photo by Hiroshi Yuki.

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