第220回 有限と無限のはざまで(後編)

εN論法からいよいよεδ論法へ。テトラちゃんが計算に挑戦したところ……「無限を探そう」シーズン第5章後編。
【お休みの予告】

結城浩です。いつもご愛読ありがとうございます。 おかげさまでこのWeb連載も今回で第220回を迎えることになりました!

みなさまの応援に感謝します。

さて、たいへん恐れ入りますが、さらなるパワーアップをはかるため、 このWeb連載の更新を2018年4月20日までお休みさせてください。

日程は以下の通りです。ご迷惑をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

Web連載「数学ガールの秘密ノート」予定

・2018年3月16日(金)第220回更新
・2018年3月23日(金)お休み
・2018年3月30日(金)お休み
・2018年4月6日(金)お休み
・2018年4月13日(金)お休み
・2018年4月20日(金)第221回更新
・(以後、毎週金曜日更新)
登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

テトラちゃんの後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。
$ \newcommand{\SQRT}[1]{\sqrt{\mathstrut #1}} \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} \newcommand{\UL}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\FBOX}[1]{\fbox{$#1$}} \newcommand{\GEQ}{\geqq} \newcommand{\LEQ}{\leqq} \newcommand{\LL}{\left\langle\,} \newcommand{\RR}{\,\right\rangle} \newcommand{\ABS}[1]{\left|\mathstrut #1\right|} \newcommand{\EPSLN}{\varepsilon} \newcommand{\DLT}{\delta} $

$\EPSLN \DLT$論法へ

ここは高校の図書室。いまは放課後。

は後輩のテトラちゃんと数列の極限を考えていた。

第219回の続き)

テトラ「……以前、$\EPSLN{}N$論法や$\EPSLN{}\delta$論法を学んだときは、極限と収束のことを《論理》の話だと強く思いました。 それはそうなんですが、今日あたしは極限というのは《大きさを評価する不等式》の話なんだと思ったんです」

「うんうん、おもしろいなあ。もちろんその両方が出てくるけどね」

テトラ「はい。先輩の証明(第219回参照)を読んでいて、《論理に注意しながら、不等式で大きさを評価している》 と感じたんです。そして気がつくと、証明の中には《無限》や《無数》という言葉は出てきません。 《有限》は出てきました。十分大きな$M$を使って$A_1 + A_2 + \cdots + A_{N_A}$をやっつけるところです。 でもそこでも、《無限》を使ってやっつけたわけじゃありません。 《有限》の$M$でやっつけました。 そういうことを考えていたんです」

「確かにそうだね。《無限》は表には出てこないけど、《十分大きな$M$を選ぶことができる保証》に隠れているといえそうだね」

テトラ「なるほどです! ……あたしがおもしろいと思ったのは、

  《無限》をきちんと扱うのに、《無限》という言葉が出てこない

という点でした」

「それは自然なことじゃないかなあ」

テトラ「何がですか?」

「うん、だからね、

  《無限》をきちんと扱うのに、《無限》という言葉が出てきてはいけない

と思うんだ。よくわかっている別のことで言い換えるからこそ、きちんと扱えるんだから」

テトラ「あっ……深いですね」

「それにしても、平均の極限値はおもったより手強かったなあ」

テトラ「そうですね。でもあたし、$\EPSLN N$論法のことちょっぴりわかったように思います。 《評価する》という感覚のことです」

「それはすごい! じゃ、$\EPSLN\DLT$論法もやってみようか。テトラちゃん、以前いっしょに読んだのを覚えているよね」

テトラ「は、はい。$\EPSLN N$論法は数列の極限で、$\EPSLN\DLT$論法は関数の極限で出てきました」

「そうそう。$\EPSLN N$論法と、$\EPSLN\DLT$論法を比べてみよう」

数列の極限(極限値$A$に収束する数列)

数列$\LL a_n \RR$を考える。また、$A$を実数とする。

どんな正の数$\EPSLN$に対しても、次の条件を満たす正の整数$N$が存在するとしよう。

条件:$n > N$であるすべての整数$n$について$\ABS{a_n - A} < \EPSLN$

このとき、 $$ n \to \infty \quad\text{で}\quad a_n \to A $$ と書き、数列の一般項$a_n$は極限値$A$に収束するという。
関数の極限(極限値$A$に収束する関数)

実数全体から実数全体への関数$f(x)$を考える。 また、$A$を実数とする。

どんな正の数$\EPSLN$に対しても、次の条件を満たす正の数$\DLT$が存在するとしよう。

条件:$0 < \ABS{x - a} < \DLT$であるすべての実数$x$について$\ABS{f(x) - A} < \EPSLN$

このとき、 $$ x \to a \quad\text{で}\quad f(x) \to A $$ と書き、関数$f(x)$は$x \to a$で極限値$A$に収束するという。

テトラ「はい……これは先輩に何回か教えていただきました。文字がいっぱい出てくるので、毎回あせってしまうんですが」

「うん、でもわかっているよね。正の数$\EPSLN$が与えられて、$\ABS{f(x) - A} < \EPSLN$ を満たすほど、$f(x)$は$A$という値に近付けるかな……と挑戦を受ける」

テトラ「は、はい。大丈夫です。その$\ABS{f(x) - A} < \EPSLN$という式は、《$f(x)$は$A$から$\EPSLN$以上は離れない》と読めばいいんですよね?」

「そうだね。そしてこの関数の極限に出てくる《条件》がとても重要」

条件:$0 < \ABS{x - a} < \DLT$であるすべての実数$x$について$\ABS{f(x) - A} < \EPSLN$

テトラ「はい……実数$x$が$a$の《そば》にいるならば、$f(x)$は$A$の《そば》にいる」

「その通り。ただしその《そば》の度合いがちゃんと評価されていることに注意するんだよ」

テトラ「あっ、ここでも《評価》が出てくるんですねっ!」

「そうだね。実数$x$は$a$の《そば》にいる……このときの《そば》は$\DLT$で制限がかかっている。そのときには絶対に、実数$f(x)$は$A$の《そば》にいる……こちらの《そば》は$\EPSLN$で制限がかかっている。 というのがこの条件だね」

テトラ「いつもそこでひっかかるんですが、この条件を満たすような$\DLT$が存在するというところが大事なんですよね?」

「そうそう。どんな正の$\EPSLN$が与えられたとしても、この条件を満たすような$\DLT$が存在するといえるかな? ということ。どんな正の$\EPSLN$に対してもそのような$\DLT$が存在するならば、$x \to a$のとき$f(x) \to A$だといえるし、 そんな$\DLT$が存在するとは限らないならば、$x \to a$のとき$f(x) \to A$だとはいえない。 《関数の極限》は、そういう定義になっているね。何がひっかかるの?」

テトラ「いえ、$a$と$A$と$\DLT$と$\EPSLN$が出てきて、$\EPSLN$が先に与えられて$\DLT$が存在するかどうかを調べるんですが、 条件のほうでは$\DLT$の方が先に出てくるので、そこで頭がごちゃごちゃと……」

「ああ、なるほどね。$y = f(x)$のグラフを描くともっとすっきりするよ。$a$と$\DLT$は《$x$の側》で、$A$と$\EPSLN$は《$y$の側》ってことだね。 二つの軸でそれぞれに大きさ比べをしているんだ」

《関数の極限》の説明図

テトラ「ははあ……そういえば、以前もこの図を描いていただいた記憶があります(『数学ガール/ゲーデルの不完全性定理』)」

「そうそう。このグラフでいうと、$0 < \ABS{x - a} < \DLT$を満たす$x$に対して、$f(x)$がすっぽりと$\ABS{f(x) - A} < \EPSLN$の範囲に入っているかどうかということだね。 $\EPSLN$は正ならばいくら小さくてもいい。 $\EPSLN$をどれだけ$0$に近付けようとも、その$\EPSLN$に対して十分小さい$\DLT$を選べば必ずすっぽり入る。 それが関数の極限」

テトラ「はあ……」

「難しい?」

テトラ「い、いえ。難しいといいますか、易しいといいますか……あのですね。あたしの頭の中をお話しします」

「頭の中?」

テトラ「関数の極限というのはイメージとしてはよくわかります。$x$が$a$に限りなく近づくと、$f(x)$は$A$に限りなく近づく」

「うん」

テトラ「でも、それだと数学的な議論としてはあいまいなので、$\EPSLN\DLT$論法がある……ですよね?」

「そうだね」

テトラ「先ほどの《関数の極限》では$\EPSLN$と$\DLT$が出てきて大小関係をあれこれ調べます。でも、それで《ああ、なるほど》と納得するときには、あたしの頭の中では、 結局その大小関係を《限りなく近づく》というイメージで納得しているように思うんです」

「というと?」

テトラ「数式で納得するのではなく、結局イメージで納得しているといいますか……あたし、説明へたですね」

「いやいや、すごく微妙な話をしているんだと思うけど」

テトラ「何といいますか……結局のところ、あたしの理解は深まっていないんです。関数の極限を数式で表しても、あたしの頭の中には《限りなく近づく》という一言しか残ってないといいますか」

「わかった。じゃあね、《例示は理解の試金石》でいこう。《関数の極限》の定義を使って簡単な関数の極限値を求めてみようよ」

テトラ「と、いいますと?」

「ちょっとした思いつきなんだけど、僕たちがふだん《あたりまえ》で済ませることが、 $\EPSLN\DLT$論法できちんと証明できることを確認してみるのはどう?」

テトラ「なるほどです……でも、どんな問題でしょうか」

「うん、例だからすごく簡単なものにしよう。たとえば……」

問題(関数の極限)

$x \to 2$で、$x^2 \to 4$になることを$\EPSLN\DLT$論法で証明せよ。

テトラ「え……これは、あたりまえじゃないでしょうか。だって$x = 2$のとき、$x^2 = 4$ですから」

「そうだね。ここでは$f(x) = x^2$として考えていて、このとき関数$f(x)$は連続だから、代入するだけで極限値が求められる。それはそうなんだけど、$\EPSLN\DLT$論法で定義された関数の極限を使って本当に$x \to 2$のとき$x^2 \to 4$になることが証明できるかな?…… という問題」

テトラ「ははあ……」

「僕もこれは考えたことないから、それぞれ考えてみようよ」

テトラ「あっ、ちょっ、ちょっとお待ちください。その前に確認だけさせてください。証明すべきことはこうですよね?」

問題(テトラちゃんの言い換え)(関数の極限)

どんな正の数$\EPSLN$に対しても、次の条件を満たす正の数$\DLT$が存在することを証明してください。

条件:$0 < \ABS{x - 2} < \DLT$であるすべての実数$x$について$\ABS{x^2 - 4} < \EPSLN$

「その通り! テトラちゃんはちゃんとわかっているね」

テトラ「これは、《定義にかえれ》をやっただけですから……でも、これ、証明できるんでしょうか」

「じゃあ、ここからそれぞれ考えよう」

テトラ「はい……」

テトラちゃんは図書室で少し離れた席に移り、それぞれの思考モードに入った。

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに11巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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hyuki 金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。最新回は今回お休みですが、過去記事の無料リンクをツイートします。 公式 1年以上前 replyretweetfavorite

chibio6 基本的な「僕」の証明を理解したところ、ミルカさんが出てきてもっと簡単な方法を披露し、論理的… https://t.co/D0KU7O7Ksw 1年以上前 replyretweetfavorite

Jelly_in_a_tank 添付の画像のところで二次式の連続性を使ってしまっていませんか? |結城浩 @hyuki |数学ガールの秘密ノート https://t.co/JEamnNYaok https://t.co/0NGZuQAYwE 1年以上前 replyretweetfavorite

inaba_darkfox   考えてみた。δ作るの楽しい。 https://t.co/1YFvrNIZJo 2年弱前 replyretweetfavorite