第220回　有限と無限のはざまで（後編）

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$\EPSLN \DLT$論法へ

テトラ「……以前、$\EPSLN{}N$論法や$\EPSLN{}\delta$論法を学んだときは、極限と収束のことを《論理》の話だと強く思いました。 それはそうなんですが、今日あたしは極限というのは《大きさを評価する不等式》の話なんだと思ったんです」

僕「うんうん、おもしろいなあ。もちろんその両方が出てくるけどね」

テトラ「はい。先輩の証明（第219回参照）を読んでいて、《論理に注意しながら、不等式で大きさを評価している》 と感じたんです。そして気がつくと、証明の中には《無限》や《無数》という言葉は出てきません。 《有限》は出てきました。十分大きな$M$を使って$A_1 + A_2 + \cdots + A_{N_A}$をやっつけるところです。 でもそこでも、《無限》を使ってやっつけたわけじゃありません。 《有限》の$M$でやっつけました。 そういうことを考えていたんです」

僕「確かにそうだね。《無限》は表には出てこないけど、《十分大きな$M$を選ぶことができる保証》に隠れているといえそうだね」

テトラ「なるほどです！　……あたしがおもしろいと思ったのは、

　　《無限》をきちんと扱うのに、《無限》という言葉が出てこない

という点でした」

僕「それは自然なことじゃないかなあ」

テトラ「何がですか？」

僕「うん、だからね、

　　《無限》をきちんと扱うのに、《無限》という言葉が出てきてはいけない

と思うんだ。よくわかっている別のことで言い換えるからこそ、きちんと扱えるんだから」

テトラ「あっ……深いですね」

僕「それにしても、平均の極限値はおもったより手強かったなあ」

テトラ「そうですね。でもあたし、$\EPSLN N$論法のことちょっぴりわかったように思います。 《評価する》という感覚のことです」

僕「それはすごい！　じゃ、$\EPSLN\DLT$論法もやってみようか。テトラちゃん、以前いっしょに読んだのを覚えているよね」

テトラ「は、はい。$\EPSLN N$論法は数列の極限で、$\EPSLN\DLT$論法は関数の極限で出てきました」

僕「そうそう。$\EPSLN N$論法と、$\EPSLN\DLT$論法を比べてみよう」

テトラ「はい……これは先輩に何回か教えていただきました。文字がいっぱい出てくるので、毎回あせってしまうんですが」

僕「うん、でもわかっているよね。正の数$\EPSLN$が与えられて、$\ABS{f(x) - A} < \EPSLN$ を満たすほど、$f(x)$は$A$という値に近付けるかな……と挑戦を受ける」

テトラ「は、はい。大丈夫です。その$\ABS{f(x) - A} < \EPSLN$という式は、《$f(x)$は$A$から$\EPSLN$以上は離れない》と読めばいいんですよね？」

僕「そうだね。そしてこの関数の極限に出てくる《条件》がとても重要」

テトラ「はい……実数$x$が$a$の《そば》にいるならば、$f(x)$は$A$の《そば》にいる」

僕「その通り。ただしその《そば》の度合いがちゃんと評価されていることに注意するんだよ」

テトラ「あっ、ここでも《評価》が出てくるんですねっ！」

僕「そうだね。実数$x$は$a$の《そば》にいる……このときの《そば》は$\DLT$で制限がかかっている。そのときには絶対に、実数$f(x)$は$A$の《そば》にいる……こちらの《そば》は$\EPSLN$で制限がかかっている。 というのがこの条件だね」

テトラ「いつもそこでひっかかるんですが、この条件を満たすような$\DLT$が存在するというところが大事なんですよね？」

僕「そうそう。どんな正の$\EPSLN$が与えられたとしても、この条件を満たすような$\DLT$が存在するといえるかな？　ということ。どんな正の$\EPSLN$に対してもそのような$\DLT$が存在するならば、$x \to a$のとき$f(x) \to A$だといえるし、 そんな$\DLT$が存在するとは限らないならば、$x \to a$のとき$f(x) \to A$だとはいえない。 《関数の極限》は、そういう定義になっているね。何がひっかかるの？」

テトラ「いえ、$a$と$A$と$\DLT$と$\EPSLN$が出てきて、$\EPSLN$が先に与えられて$\DLT$が存在するかどうかを調べるんですが、 条件のほうでは$\DLT$の方が先に出てくるので、そこで頭がごちゃごちゃと……」

僕「ああ、なるほどね。$y = f(x)$のグラフを描くともっとすっきりするよ。$a$と$\DLT$は《$x$の側》で、$A$と$\EPSLN$は《$y$の側》ってことだね。 二つの軸でそれぞれに大きさ比べをしているんだ」

テトラ「ははあ……そういえば、以前もこの図を描いていただいた記憶があります（『数学ガール／ゲーデルの不完全性定理』）」

僕「そうそう。このグラフでいうと、$0 < \ABS{x - a} < \DLT$を満たす$x$に対して、$f(x)$がすっぽりと$\ABS{f(x) - A} < \EPSLN$の範囲に入っているかどうかということだね。 $\EPSLN$は正ならばいくら小さくてもいい。 $\EPSLN$をどれだけ$0$に近付けようとも、その$\EPSLN$に対して十分小さい$\DLT$を選べば必ずすっぽり入る。 それが関数の極限」

テトラ「はあ……」

僕「難しい？」

テトラ「い、いえ。難しいといいますか、易しいといいますか……あのですね。あたしの頭の中をお話しします」

僕「頭の中？」

テトラ「関数の極限というのはイメージとしてはよくわかります。$x$が$a$に限りなく近づくと、$f(x)$は$A$に限りなく近づく」

僕「うん」

テトラ「でも、それだと数学的な議論としてはあいまいなので、$\EPSLN\DLT$論法がある……ですよね？」

僕「そうだね」

テトラ「先ほどの《関数の極限》では$\EPSLN$と$\DLT$が出てきて大小関係をあれこれ調べます。でも、それで《ああ、なるほど》と納得するときには、あたしの頭の中では、 結局その大小関係を《限りなく近づく》というイメージで納得しているように思うんです」

僕「というと？」

テトラ「数式で納得するのではなく、結局イメージで納得しているといいますか……あたし、説明へたですね」

僕「いやいや、すごく微妙な話をしているんだと思うけど」

テトラ「何といいますか……結局のところ、あたしの理解は深まっていないんです。関数の極限を数式で表しても、あたしの頭の中には《限りなく近づく》という一言しか残ってないといいますか」

僕「わかった。じゃあね、《例示は理解の試金石》でいこう。《関数の極限》の定義を使って簡単な関数の極限値を求めてみようよ」

テトラ「と、いいますと？」

僕「ちょっとした思いつきなんだけど、僕たちがふだん《あたりまえ》で済ませることが、 $\EPSLN\DLT$論法できちんと証明できることを確認してみるのはどう？」

テトラ「なるほどです……でも、どんな問題でしょうか」

僕「うん、例だからすごく簡単なものにしよう。たとえば……」

テトラ「え……これは、あたりまえじゃないでしょうか。だって$x = 2$のとき、$x^2 = 4$ですから」

僕「そうだね。ここでは$f(x) = x^2$として考えていて、このとき関数$f(x)$は連続だから、代入するだけで極限値が求められる。それはそうなんだけど、$\EPSLN\DLT$論法で定義された関数の極限を使って本当に$x \to 2$のとき$x^2 \to 4$になることが証明できるかな？…… という問題」

テトラ「ははあ……」

僕「僕もこれは考えたことないから、それぞれ考えてみようよ」

テトラ「あっ、ちょっ、ちょっとお待ちください。その前に確認だけさせてください。証明すべきことはこうですよね？」

僕「その通り！　テトラちゃんはちゃんとわかっているね」

テトラ「これは、《定義にかえれ》をやっただけですから……でも、これ、証明できるんでしょうか」

僕「じゃあ、ここからそれぞれ考えよう」

テトラ「はい……」