第212回 無限ポテチ(後編)

ユーリがしつこく《無限》について問い詰める! 「無限を探そう」シーズン第1章後編。
登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
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無限のイメージ

と、いとこのユーリ無限についてのおしゃべりをしている(第211回の続き)。

ユーリ「文字$n$にどんな数でもいれられるっていうのも、無限のイメージ?」

「ああ、そうかも。そうだね。あまり無限とは意識してないけど、 確かに、無限の一つの側面を表してるなあ」

ユーリ「そっか、大きくなくてもいーんだね。大きいかどーか、は無限の一つのイメージ」

「そうだと思うよ。そして、いったん誰かの心に浮かんだものを、 数学的に表現できれば、 そこについては数学で考えられるし、 議論できる。 だから、自分の心に浮かんだものを、 言葉にしようとすることは、とっても大切なことなんだ」

ユーリ「わーった。《先生トーク》炸裂だね!」

「茶化すなって」

ユーリ「そんで? 結局、$\infty$って何になるの?」

「何って?」

ユーリ「無限大って結局、何?」

「いままでその話をしてたんじゃないか。ユーリは$1,2,3,\ldots$の先にある無限大をイメージしたかった。 だから、 《どんな正の整数$n$に対しても$n < \infty$が成り立つもの》とした。 $\infty$はそういう性質を持つもの、とね。 そうすると、$\infty$は正の整数じゃないってことが証明できた (第211回参照)」

ユーリ「ふんふん。まるで読者のために書かれた《先週のあらすじ》みたい」

「メタ発言自重よろしく」

ユーリ「でもね、それって、$\infty$は正の整数ではないっていってるだけじゃん? $\infty$はナントカである じゃないもん。結局、無限大って何?」

「なるほど。確かにユーリの主張は一理あるな。そもそも、無限って言葉がそうだよね」

ユーリ「なに?」

「無限って言葉の作り方は、《限りが無い》になってる。 《限り》とか《限界》とかいう概念を否定して初めて表現できてる。 だから、$\infty$は正の整数じゃないとか、 有理数じゃないとか、実数じゃないとか、 なになにじゃないという表現は、とてもしっくりくる」

ユーリ「はあ」

「そういえば、英語のインフィニット(infinite)という単語も同じ作り方だ。 有限という意味のファイナイト(finite)をイン(in)で否定してる。 英語でも無限は《有限ではない》と否定的に表現してるんだね」

ユーリ「へえ」

「気の抜けた返事」

ユーリ「ユーリが聞いてるのは、そーゆーんじゃなくって、数学の話なんだもん。$\infty$って、数じゃないとしたら、 何?」

「そして話はまたループに入る。ユーリは$\infty$をどんな性質を持つものだと考えているの? さっきは、 どんな正の整数についても$n < \infty$を満たすものとして考えた。 でも、ユーリはそれじゃ納得できないという」

ユーリ「納得してるよ! でも、まだ、$1,2,3,\ldots$の先にある……もの? 先に……先には何があるの?」

「正の整数を並べた$1,2,3,\ldots$の先には正の整数しかないよね。だからユーリが知りたい$\infty$はそこにはない。 でも無限や無限大と呼べるような《何か》はないのか、ってことかなあ。 ユーリの知りたい《感じ》を言葉にしないと、 ユーリの知りたい《無限大$\infty$》はわからないかも」

ユーリ「ぐぬぬ……どーしてもユーリが考えなくちゃならんのか。困ったもんじゃ」

「年齢不詳のいとこ殿」

ユーリ「あのね、$1,2,3,\ldots$でヤなのは、ずっと逃げてくからなの。遠くに。このテンテンって、 ずっと続くでしょ。 $$ 1,2,3,\ldots\ldots\ldots\ldots $$ ずっと続くから、逃げられた感じがするの。それがヤ」

「なるほど。確かにそれはわかるよ。逃げられた感じ。つかまえていない感じ。 いくらつかまえても、まだ次がいるから、 逃げられている。だから《わかった感じ》がしない。 すごくよくわかる」

ユーリ「んー、だから……だから……わかんなくなった。パタリ」

「倒れるなよ。そうだなあ、お兄ちゃんは、漸近線を初めて習ったときに似たような感じを受けたかなあ」

ユーリ「ぜんきんせん」

「うん、ユーリも知ってるよね。いちばん簡単なのは、反比例のグラフ。$x$を正の実数として、 $$ y = \frac{1}{x} \qquad (x > 0) $$ の関数のグラフを考えるんだ。$x > 0$の範囲で描くと、 グラフは双曲線を描いて、すううっと$x$軸に近づいていく。 $x$軸と$y$軸はこのグラフの漸近線になってる。 グラフは、いくらでも$x$軸に近づいていくんだけど、 決して$x$軸に接したり交わったりすることはない」

ユーリ「そだね」

「限りなく近づくともいえる。《限り》が《ない》んだから、また無限だ」

ユーリ「ほんとだ。限りなく近づく……うーん、でも、ユーリはあんまりそれ、無限って感じしない。 だって、$x$軸を越えてくことはないじゃん。だったら《限りある》もん」

「なるほどね。確かにそれはそうだ。そのユーリの感覚はわかるよ。この、 $$ y = \frac{1}{x} $$ というグラフに対してお兄ちゃんが無限を感じるのは、 こういうところ。 いくら小さな正の数$\epsilon$を持ってきて、 $\frac{1}{x}$の減少を食い止めようとしても、 $x$をじゅうぶん大きくしてやれば、$\frac{1}{x} < \epsilon$にできちゃうってところ」

ユーリ「えっ? もっかい言って?」

「あ、うん。言い換えると」

ユーリ「違う! 言い換えないでいいから、もっかい同じこと言って」

「いくら小さな正の数$\epsilon$を持ってきて……」

ユーリ「イプシロン」

「$\frac{1}{x}$の減少を食い止めようとしても……」

ユーリ「ふんふんふん」

「$x$をじゅうぶん大きくしてやれば、$\frac{1}{x} < \epsilon$にできちゃう」

ユーリ「ふんふんふんふん!」

$x$を大きくすれば、$\frac{1}{x} < \epsilon$にできる

「ユーリは、なにを興奮しているんだろうか」

ユーリ「こないだお兄ちゃん、極限の話をしてくれたじゃん。《はさみうち》の話。あの話を思い出したの」

《CM》

ユーリ「ユーリといっしょに積分を見つめよう! 『数学ガールの秘密ノート/積分を見つめて』好評発売中!」

「そのキャッチコピーはどうなんだろう」

ユーリ「《はさみうち》の話は第2章に!」

「ああ、区分求積法でなぜ面積が求められるかという話題か。確かに同じ話題。極限は、無限と密接に絡んでいるから」

ユーリ「$x$をいくら大きくしても、$\frac{1}{x}$は絶対に絶対に絶対に絶対に$0$になんない。 でも、$0$にいくらでも近づける。 確かにそう言われると無限っぽいかも。キラリーン!☆」

「それはユーリのひらめきの音」

ユーリ「無限、つかまえられそう!」

「急にどうした」

ユーリ「あのね、逆数を考えるの」

「逆数?」

逆数で無限をつかまえる

ユーリ「まー、お兄ちゃん、聞きたまえ。あのね、正の整数ってこーゆーものじゃん?」

正の整数

$$ 1, 2, 3, \ldots $$

「そうだね」

ユーリ「正の整数って、だんだん大きくなるじゃん?」

正の整数は大きくなる

$$ 1 < 2 < 3 < \ldots $$

「でも、ユーリは右側のテンテンが気にくわないんだろ?」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

qavion_ |結城浩 @hyuki |数学ガールの秘密ノート 今回の終わり方、最高に好き https://t.co/GfDs2DGPnP 10ヶ月前 replyretweetfavorite

sky_y “無限って言葉の作り方は、《限りが無い》になってる。 《限り》とか《限界》とかいう概念を否定して初めて表現できてる。” 10ヶ月前 replyretweetfavorite

MQ_null 新章が来て2週間、ユーリとの対話を楽しみながら、「高校生組の登場はいつかな」と毎度心待ちにしている 次に進むか、前に戻るか…… 10ヶ月前 replyretweetfavorite

heliac_arc ポテチがなかったからポッキーを食べながら読んでた 10ヶ月前 replyretweetfavorite