僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
無限のイメージ
ユーリ「文字$n$にどんな数でもいれられるっていうのも、無限のイメージ？」
僕「ああ、そうかも。そうだね。あまり無限とは意識してないけど、 確かに、無限の一つの側面を表してるなあ」
ユーリ「そっか、大きくなくてもいーんだね。大きいかどーか、は無限の一つのイメージ」
僕「そうだと思うよ。そして、いったん誰かの心に浮かんだものを、 数学的に表現できれば、 そこについては数学で考えられるし、 議論できる。 だから、自分の心に浮かんだものを、 言葉にしようとすることは、とっても大切なことなんだ」
ユーリ「わーった。《先生トーク》炸裂だね！」
僕「茶化すなって」
ユーリ「そんで？ 結局、$\infty$って何になるの？」
僕「何って？」
ユーリ「無限大って結局、何？」
僕「いままでその話をしてたんじゃないか。ユーリは$1,2,3,\ldots$の先にある無限大をイメージしたかった。 だから、 《どんな正の整数$n$に対しても$n < \infty$が成り立つもの》とした。 $\infty$はそういう性質を持つもの、とね。 そうすると、$\infty$は正の整数じゃないってことが証明できた （第211回参照）」
ユーリ「ふんふん。まるで読者のために書かれた《先週のあらすじ》みたい」
僕「メタ発言自重よろしく」
ユーリ「でもね、それって、$\infty$は正の整数ではないっていってるだけじゃん？ $\infty$はナントカである じゃないもん。結局、無限大って何？」
僕「なるほど。確かにユーリの主張は一理あるな。そもそも、無限って言葉がそうだよね」
ユーリ「なに？」
僕「無限って言葉の作り方は、《限りが無い》になってる。 《限り》とか《限界》とかいう概念を否定して初めて表現できてる。 だから、$\infty$は正の整数じゃないとか、 有理数じゃないとか、実数じゃないとか、 なになにじゃないという表現は、とてもしっくりくる」
ユーリ「はあ」
僕「そういえば、英語のインフィニット（infinite）という単語も同じ作り方だ。 有限という意味のファイナイト（finite）をイン（in）で否定してる。 英語でも無限は《有限ではない》と否定的に表現してるんだね」
ユーリ「へえ」
僕「気の抜けた返事」
ユーリ「ユーリが聞いてるのは、そーゆーんじゃなくって、数学の話なんだもん。$\infty$って、数じゃないとしたら、 何？」
僕「そして話はまたループに入る。ユーリは$\infty$をどんな性質を持つものだと考えているの？ さっきは、 どんな正の整数についても$n < \infty$を満たすものとして考えた。 でも、ユーリはそれじゃ納得できないという」
ユーリ「納得してるよ！ でも、まだ、$1,2,3,\ldots$の先にある……もの？ 先に……先には何があるの？」
僕「正の整数を並べた$1,2,3,\ldots$の先には正の整数しかないよね。だからユーリが知りたい$\infty$はそこにはない。 でも無限や無限大と呼べるような《何か》はないのか、ってことかなあ。 ユーリの知りたい《感じ》を言葉にしないと、 ユーリの知りたい《無限大$\infty$》はわからないかも」
ユーリ「ぐぬぬ……どーしてもユーリが考えなくちゃならんのか。困ったもんじゃ」
僕「年齢不詳のいとこ殿」
ユーリ「あのね、$1,2,3,\ldots$でヤなのは、ずっと逃げてくからなの。遠くに。このテンテンって、 ずっと続くでしょ。 $$ 1,2,3,\ldots\ldots\ldots\ldots $$ ずっと続くから、逃げられた感じがするの。それがヤ」
僕「なるほど。確かにそれはわかるよ。逃げられた感じ。つかまえていない感じ。 いくらつかまえても、まだ次がいるから、 逃げられている。だから《わかった感じ》がしない。 すごくよくわかる」
ユーリ「んー、だから……だから……わかんなくなった。パタリ」
僕「倒れるなよ。そうだなあ、お兄ちゃんは、漸近線を初めて習ったときに似たような感じを受けたかなあ」
ユーリ「ぜんきんせん」
僕「うん、ユーリも知ってるよね。いちばん簡単なのは、反比例のグラフ。$x$を正の実数として、 $$ y = \frac{1}{x} \qquad (x > 0) $$ の関数のグラフを考えるんだ。$x > 0$の範囲で描くと、 グラフは双曲線を描いて、すううっと$x$軸に近づいていく。 $x$軸と$y$軸はこのグラフの漸近線になってる。 グラフは、いくらでも$x$軸に近づいていくんだけど、 決して$x$軸に接したり交わったりすることはない」
ユーリ「そだね」
僕「限りなく近づくともいえる。《限り》が《ない》んだから、また無限だ」
ユーリ「ほんとだ。限りなく近づく……うーん、でも、ユーリはあんまりそれ、無限って感じしない。 だって、$x$軸を越えてくことはないじゃん。だったら《限りある》もん」
僕「なるほどね。確かにそれはそうだ。そのユーリの感覚はわかるよ。この、 $$ y = \frac{1}{x} $$ というグラフに対してお兄ちゃんが無限を感じるのは、 こういうところ。 いくら小さな正の数$\epsilon$を持ってきて、 $\frac{1}{x}$の減少を食い止めようとしても、 $x$をじゅうぶん大きくしてやれば、$\frac{1}{x} < \epsilon$にできちゃうってところ」
ユーリ「えっ？ もっかい言って？」
僕「あ、うん。言い換えると」
ユーリ「違う！ 言い換えないでいいから、もっかい同じこと言って」
僕「いくら小さな正の数$\epsilon$を持ってきて……」
ユーリ「イプシロン」
僕「$\frac{1}{x}$の減少を食い止めようとしても……」
ユーリ「ふんふんふん」
僕「$x$をじゅうぶん大きくしてやれば、$\frac{1}{x} < \epsilon$にできちゃう」
ユーリ「ふんふんふんふん！」
僕「ユーリは、なにを興奮しているんだろうか」
ユーリ「こないだお兄ちゃん、極限の話をしてくれたじゃん。《はさみうち》の話。あの話を思い出したの」
僕「ああ、区分求積法でなぜ面積が求められるかという話題か。確かに同じ話題。極限は、無限と密接に絡んでいるから」
ユーリ「$x$をいくら大きくしても、$\frac{1}{x}$は絶対に絶対に絶対に絶対に$0$になんない。 でも、$0$にいくらでも近づける。 確かにそう言われると無限っぽいかも。キラリーン！☆」
僕「それはユーリのひらめきの音」
ユーリ「無限、つかまえられそう！」
僕「急にどうした」
ユーリ「あのね、逆数を考えるの」
僕「逆数？」
逆数で無限をつかまえる
ユーリ「まー、お兄ちゃん、聞きたまえ。あのね、正の整数ってこーゆーものじゃん？」
$$ 1, 2, 3, \ldots $$
僕「そうだね」
ユーリ「正の整数って、だんだん大きくなるじゃん？」
$$ 1 < 2 < 3 < \ldots $$
僕「でも、ユーリは右側のテンテンが気にくわないんだろ？」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 （毎週金曜日更新）
