僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
ユーリ
ユーリ「はー、からくておいしい……からうま！だにゃ」
僕「ユーリ、すごい勢いで食べてないか？」
（※イラストは「いらすとや」さんから）
ユーリ「だって、おいしいんだもん。あー、ちょっと待った！そーゆーの、いまどき問題発言なんだよ」
僕「何が？」
ユーリ「そんな勢いで食べていたら体重がアーだとか、体型がドーだとか、そーゆーのはダメ！」
僕「そんなこと、何も言ってないじゃないか」
ユーリ「言ってからでは遅いのじゃ……はー、おいしい……あれ、もう無くなった？！」
僕「食べたからね」
ユーリ「ぐぬぬ……はー、無限ポテチほしい」
僕「なんだそれ」
ユーリ「んー、だから、いくら食べても無くならないポテチ。無限に食べ続けられるし、いくら食べても（ピ——）にならないの」
僕「都合がいいなあ。いくらおいしいポテトチップスでも、食べ続けていたらおいしくなくなると思うんだけどね」
ユーリ「またまた、そんなマジレスすんだから。想像して楽しんでるだけなんだしさ。 それに、《無限ポテチ》では、ちゃんとリセットされるんだよ」
僕「リセット？」
ユーリ「一枚取り出して食べるじゃん？ おいしく感じるじゃん？ 飲み込んだら、その味覚がリセットされるの。まるで一枚も食べてなかったみたいに。 そしたら、食べ続けてもぜんぜん飽きない！ サイコー！」
僕「都合よすぎじゃないか、それ……」
無限のイメージ
僕「ユーリは無限というとどんなイメージがあるんだろう。無限に食べ続けられるポテチ以外で」
ユーリ「宇宙！」
僕「へえ……宇宙」
ユーリ「どこまでも広がってて、どこまでも行ける宇宙！」
僕「なるほどね」
ユーリ「お兄ちゃんは？ 無限ってどんなの？」
僕「そうだなあ。イメージとは違うけど、大きい数の勝負を思い出すかな」
ユーリ「大きい数の勝負？」
僕「小学校のとき、よく言い合いになったよ。どっちが大きな数を言えるかって勝負で言い合い」
ユーリ「なにそれ。なぜにそんな勝負になるの？」
僕「いや、大した理由はないんだよ。たとえば『そんなこと100年前からわかってたぞ』みたいに言う。 それに対して『違うぞ、200年前からわかってた』と言い返す。 あとは数のインフレ。 『千年前！』『一万年前！』『一億年前！』『百億年前！』『千億年前！』 ……みたいに、言い合いが続くんだ」
ユーリ「何という小学生男子。千億年前って人類存在したっけ？」
僕「宇宙も存在してないよ。とにかく、そんなふうにして『どちらの方が大きい数をいえるか競争』 になることがよくあったんだ。ロボットの身長とか、 宇宙船に乗せられる人数とか、題材は何でもいいんだけどね。 『そんなのどこにもないー！』『作ればあるー！』みたいな」
ユーリ「はあ……お兄ちゃんにも、そんな時代が」
僕「言い合いはなかなか終わらない。そのうち、数の表現がめちゃくちゃになってくる。 『千億兆兆兆兆年前！』みたいにね」
ユーリ「あはは！ 前前前世みたい」
僕「そんなときに無限を感じたことがあったよ」
ユーリ「言い合いで？」
僕「うん、そうだね。お兄ちゃんじゃないけど、誰かが『足す$1$』っていう言い返しを導入したんだ」
ユーリ「たすいち」
僕「『百億』に対して『足す$1$』って言い返す。つまり『百億一』っていう主張。 どんなときでも『足す$1$』って言えば、 相手よりも大きな数を作れることになるよね」
ユーリ「あー、そりゃそーだね」
僕「その『足す$1$』っていう一言は、どこまでも続くとか、 いくらでも繰り返せるとか、 そんな感じがする」
ユーリ「だからそこに無限を感じる？」
僕「そうだね。でも、『足す$1$』が出始めると、 言い合いも立ち消えになっちゃうんだ。 それまで勢いよく百億！千億！といってたのがひゅんとしぼむみたいに」
ユーリ「あー、それわかるかもー」
正の整数
僕「数学を勉強していくと、あの『足す$1$』っていうのはなかなか深い話だったんだなあ、 と思うよ」
ユーリ「なんで？」
僕「たとえば、正の整数は無数にあるよね。$1,2,3,4,\ldots$というように」
$$ 1, 2, 3, 4, \ldots $$
ユーリ「あー、無限個あるってこと？」
僕「そうだね。数学だと無限個という言い方をすることは少ないけど、 そういうこと」
ユーリ「$1,2,3,4,\ldots$ってどこまで数えていっても、限りが無いから、無限。終わりがない」
僕「うん、そうだね。正の整数$1$に『足す$1$』した$2$も、正の整数になっているし、$2$に『足す$1$』した$3$も、 正の整数になっている。 どんな正の整数$n$を選んだとしても、 『足す$1$』したものはまた正の整数になってる。 しかも、$n$に『足す$1$』したものは、 $1$から$n$までの正の整数のどれよりも、必ず大きくなってる。 だから、正の整数は無数にあることになる」
ユーリ「ほほー……それって《無限ポテチ》とおんなじだ！」
僕「何が？」
ユーリ「『足す$1$』は、いくらでも繰り返せるんでしょ？ 一枚食べても食欲がリセットされるのと同じじゃん」
僕「それって同じなのかなあ……」
ユーリ「えー、同じだよー！」
僕「『ユーリはなぜ同じかを説明する』」
ユーリ「ミルカさまの真似しないで！ こっち指ささないで！ ……あのね、同じだと思うのは、 いつでも繰り返せるから。必ず繰り返せるから。 ちゃんと繰り返せるから。だから無限に……うー、説明できにゃい！」
僕「こういうことかなあ。《無限ポテチ》……無限に食べられるポテトチップスがあったとする。それは、$n$枚食べても『もう$1$枚』食べられるという保証がある」
ユーリ「うんうん！」
僕「$n$が正の整数なら、$n+1$も正の整数になるという保証がある。それは確かに似てるかな」
ユーリ「でしょでしょ？ その保証があるから、無限にできるんだよ」
僕「……」
ユーリ「どしたの？」
僕「いや、その保証ってどこから来るのかなと思ってたんだ。『足す$1$』できるということも保証になっているし、 そもそも、$n$という文字自体が繰り返しを作り出す保証になっているよね」
ユーリ「？」
僕「だって、$1$は正の整数、$2$は正の整数、$3$は正の整数、とずっと言い続けることはできない。それこそ無限の時間と無限の手間を掛けなくちゃいけないから。 でも《どんな正の整数$n$についても成り立つ》みたいに、 $n$という文字を使った主張が作れれば違う。 無限の時間がなくても、無限の手間を掛けなくても、 無限を含んだ主張ができるんだな、と思ったんだ」
ユーリ「ほほー？」
僕「うん、だから、数学で《文字を使う》というのは超絶に強力なことなんだね」
無限大の探求
ユーリ「ねえ、お兄ちゃん。数学で無限大って出てくるでしょ。$\infty$のこと」
僕「うん、出てくるね」
ユーリ「あれって、数？」
僕「いや、普通は$\infty$は数としては扱わないね。$\infty$を数のようにして扱う理論もあるけれど」
ユーリ「でも、正の整数$1,2,3,\ldots$っていくらでも大きくなるよ。だったら、無限大$\infty$も正の整数の仲間じゃないの？ $1,2,3,\ldots,\infty$みたいに」
僕「ユーリは鋭いなあ！ でも、そうは考えられないよ」
ユーリ「なんで？」
僕「$n$が正の整数のひとつだとするよね。そうしたら、必ず$n < n + 1$になる」
ユーリ「そだね。『足す$1$』したら大きくなる」
僕「じゃあ、もしも$\infty$が正の整数の一つだとしたら、$\infty + 1$も正の整数で、しかも、 $\infty < \infty + 1$にならないとおかしいよね？」
ユーリ「う。……そだね。そんで？」
僕「だとしたら、$\infty$よりも大きな正の整数が存在することになってしまうよ。 それはおかしいよね」
ユーリ「えーと……」
僕「話がごちゃごちゃしてきたなあ。何が問題になっているか、少し整理してみよう」
ユーリ「わくわく！」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
