僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
僕の部屋
僕「うん、だからね。$1,-1,1,-1,\ldots$のように$1$と$-1$が交互に現れる数列は、 $(-1)^n$と表すこともできるし、 $(-1)^{n+2}$と表すこともできるし、 $\cos n\pi$と表すこともできるし、 $\sin \left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right)$と表すこともできる。 どれが正しいなんてことはないんだよ」
ユーリ「えー、でもいきなりコサインで書く人はいないんじゃない？」
僕「確かにね。$(-1)^n$はシンプルでわかりやすいから」
ユーリ「そーだよ。わざわざ三角関数で……」
僕「ああ、でも、ミルカさんがおもしろいこと言ってたなあ。『数列も関数だよ』って」
ユーリ「いまの、ミルカさまのモノマネのつもり？ あんま似てない」
僕「いや……そういうわけじゃないよ。ともかく、数列は関数と考えることができる。数列は関数の一種だという話をしてたんだ」
ユーリ「数列って、関数なの？」
僕「納得いかない？」
ユーリ「だって、数列って数が並んでるものじゃん？ でも、関数は……関数は……」
僕「関数は？」
ユーリ「関数は、わかんないけど、もっとヒュンとしてる。ギュインって」
僕「なんだそりゃ」
ユーリ「だって、関数ってグラフみたいなものじゃん？ ヒュンと直線だったり」
僕「ギュインって放物線だったり？」
ユーリ「そーそー、そゆこと」
僕「確かに、関数をグラフで表すというのはよくやることだね。 そして関数をグラフで表したときに直線や放物線になることも、もちろんある。 そこまではユーリは正しいよ」
ユーリ「うんうん。そーだ！ 関数って$f(x)$みたいなの！」
僕「そうだね。$x$の関数のことを$f(x)$と表すこともある。それも正しい。でもね、《関数とは何か？》って改めて聞かれたら、 ユーリはなんて答える？」
ユーリ「関数とは、何か……」
僕「そうだね。つまり、関数の定義を聞かれていることになる」
ユーリ「関数の定義！ 関数に定義なんてあるの？」
僕「そりゃあるよ。そうでなくちゃ、関数についてきちんと考えることは難しいよね。 どんなものなら関数と呼ぶことができるか。 どんなものは関数と呼べないか。 それをはっきりさせてくれるのが定義だからね」
ユーリ「関数の定義なんて考えたこともなかったよー」
僕「だったら、いまが考えるチャンスだね」
ユーリ「『いまでしょ！』とか言わないの？」
僕「言わない」
$y = x + 1$を考える
僕「関数を定義する前に、関数の例を見てみようか。さっきユーリは直線とか放物線とかいってたよね」
ユーリ「うん。グラフ」
僕「たとえば、これは$y = x + 1$という式で表されるグラフだよね」
ユーリ「そーそー、こーゆーの。これは直線でしょ？」
僕「そうだね。このグラフは直線になっていて、$y = x + 1$という式で表されている。 このグラフで$x$の値が$0$のとき、$y$の値は何になる？」
ユーリ「$x$が$0$なら、$y$は$1$でしょ？ $x$に$1$足せば$y$だもん」
僕「そうだね、正解。じゃあ、$x$の値が$5$のとき、$y$の値は何になる？」
ユーリ「$1$足すから$6$」
僕「うん。それでいいよ。このグラフで$x = 5$のとき$y = 6$だ」
ユーリ「カンタン。そんで？」
僕「だったら、$x = -12345$だったら？」
ユーリ「いきなりマイナス！ えーと、$y = -12344$かにゃ？」
僕「そうだね。$y = x + 1$なんだから、$x = -12345$のときは$y = -12345 + 1 = -12344$」
ユーリ「難しくない」
僕「次は難しいよ。$x$の値がユーリだったら、$y$の値は？」
ユーリ「は？ なに言ってるですか？ $x = \text{ユーリ}$なんてありえないじゃん」
僕「それはどうしてだろう」
ユーリ「ユーリは数じゃないもん！ $\text{ユーリ} + 1$なんて計算できない！」
僕「そうだね。このグラフの$x$軸にユーリは出てこないし、犬も猫も出てこない」
ユーリ「おどろいちゃった」
僕「さっきから、$y = x + 1$というグラフを使って、《$x$の値がナントカのとき、$y$の値はナニになる？》 と聞いたけれど、この質問に答えるのが関数なんだよ」
ユーリ「何それ突然！」
関数の定義
僕「関数の定義をきちんと書くとこうなるよ、ユーリ」
二つの集合$X$と$Y$を考える。
集合$X$のどんな要素$x$に対しても、 集合$Y$の要素$y$がたった一つ定まる規則$f$があるとしよう。
このとき、$x$に$y$を対応付ける規則$f$のことを、集合$X$から$Y$への関数$f$と呼ぶ。
そして、関数$f$が$x$に対応付けている要素のことを、 $$ f(x) $$ と書く。
集合$X$のことを、関数$f$の定義域（ていぎいき）という。
集合$Y$のことを、関数$f$の終域（しゅういき）という。
※これは写像の定義。集合$Y$が数の集合のときを関数ということが多い。関数は写像の一種である。
ユーリ「意味わかんない」
僕「がく。ちゃんと読んだ？」
ユーリ「何となくわかるけど、わざとややこしく書いてない？」
僕「いやいや、抽象的だけど、ややこしくはないよ。イメージがわかりにくいかったら、こんな図はヒントになるよ」
ユーリ「どっちにしても、よくわかんない」
僕「確かに、定義は抽象的に見えることが多いかもね。だからこそ、定義を見たときには具体例を作ることが大事なんだ。 ほら、《例示は理解の試金石》だから」
ユーリ「《例示は理解の試金石》だし《礼儀は社会の潤滑油》だよね」
僕「ちゃかさない。関数の定義を$y = x + 1$に照らし合わせてみよう」
ユーリ「へーい」
僕「さっき僕たちは$y = x + 1$というグラフで、関数のことをぼんやりと考えたけど、 関数の定義に合わせてきちんと表してみよう」
ユーリ「ほほー」
僕「僕たちは$y = x + 1$のグラフを考えるとき、どんな実数$x$に対しても、実数$y$が対応付けられていると考えるよね」
ユーリ「それって、$x$に対して$y$は$x + 1$になるってこと言ってるの？」
僕「そうだよ。実数$x$に対して実数$y$がたった一つ決まる。$y$を決める約束、ルール、対応付け、規則が決まっている。 その規則のことを関数と呼ぶんだ」
ユーリ「はあ」
僕「さっきの《関数の定義》では最初に、《二つの集合$X$と$Y$を考える》 といってたけど、$y = x + 1$のときには集合$X$も$Y$もどちらも《実数全体の集合》としていいよ」
ユーリ「実数全体の集合……」
僕「うん。$y = x + 1$のグラフを考えるとき、$x$軸上のどんな点$x$を選んでも対応する$y$が一つ決まった。 $x$軸上の点を一つ選ぶというのは、 実数を一つ選んでいるということ。 そしてそれに対して$y$が決まるけど、 これは$y$軸上の点つまり実数を一つ決めていることになる」
ユーリ「まわりくどいけど、いーよ」
僕「しかも、$y = x + 1$というグラフでは、実数$x$に対して実数$y$がたった一つだけ決まる。つまり……
- $x$に対して、$y$が決まらないということはない。
- $x$に対して、$y$が二つ以上決まるということもない。
- $x$に対して、決まった$y$が実数以外ということもない。
ユーリ「おー！ あたりまえで、めちゃめちゃくどいけど、確かに」
僕「どんな実数$x$に対しても、実数$y$がたった一つだけ対応して必ず決まる。その対応の規則は、 さっきの例では$y = x + 1$という式で表されていた。 もしもこの規則に$f$という名前を付けるとしたら、 $$ y = x + 1 $$ のことを、 $$ y = f(x) $$ と書ける」
ユーリ「解説、乙。でもにゃあ……あたりまえにわかってることを回りくどく言ってるみたい」
僕「まあね。でも、関数の定義で、集合$X$と集合$Y$をきちんと決めておくことが大事だとわかるよね。 さっきの『$y = x + 1$で$x$の値がユーリだったら$y$の値は何？』 という質問が無意味なのは、ユーリが実数じゃないからなんだよ」
ユーリ「はあ」
僕「関数$f$の定義に出てくる集合$X$のことを定義域というんだ」
ユーリ「ていぎいき」
僕「$f$が関数なら、定義域にある要素$x$を選んだとき、対応する値が一つ定まることが保証される。 それを$f(x)$で表すんだね」
ユーリ「うーん……ねえお兄ちゃん。説明はわかったけど、飽きてきちゃった。だって、何だかぜんぶあたりまえみたいなんだもん」
僕「うん、関数の定義はこのくらいにして、さっきの話に戻ろう」
ユーリ「さっきの話って何だっけ？」
僕「数列も関数だよ、って話」
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この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
