第202回 最初に最後を考えて(後編)

「どうして数列も関数なの? 関数ってグニャっとしてるじゃん!」とユーリは叫ぶ。「関数を手がかりに」シーズン第1章前編。
登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
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僕の部屋

ここはの部屋。 いとこのユーリは数列についておしゃべりをしている(第201回の続き)。

「うん、だからね。$1,-1,1,-1,\ldots$のように$1$と$-1$が交互に現れる数列は、 $(-1)^n$と表すこともできるし、 $(-1)^{n+2}$と表すこともできるし、 $\cos n\pi$と表すこともできるし、 $\sin \left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right)$と表すこともできる。 どれが正しいなんてことはないんだよ」

ユーリ「えー、でもいきなりコサインで書く人はいないんじゃない?」

「確かにね。$(-1)^n$はシンプルでわかりやすいから」

ユーリ「そーだよ。わざわざ三角関数で……」

「ああ、でも、ミルカさんがおもしろいこと言ってたなあ。『数列も関数だよ』って」

ユーリ「いまの、ミルカさまのモノマネのつもり? あんま似てない」

「いや……そういうわけじゃないよ。ともかく、数列は関数と考えることができる。数列は関数の一種だという話をしてたんだ」

ユーリ「数列って、関数なの?」

「納得いかない?」

ユーリ「だって、数列って数が並んでるものじゃん? でも、関数は……関数は……」

「関数は?」

ユーリ「関数は、わかんないけど、もっとヒュンとしてる。ギュインって」

「なんだそりゃ」

ユーリ「だって、関数ってグラフみたいなものじゃん? ヒュンと直線だったり」

「ギュインって放物線だったり?」

ユーリ「そーそー、そゆこと」

「確かに、関数をグラフで表すというのはよくやることだね。 そして関数をグラフで表したときに直線や放物線になることも、もちろんある。 そこまではユーリは正しいよ」

ユーリ「うんうん。そーだ! 関数って$f(x)$みたいなの!」

「そうだね。$x$の関数のことを$f(x)$と表すこともある。それも正しい。でもね、《関数とは何か?》って改めて聞かれたら、 ユーリはなんて答える?」

ユーリ「関数とは、何か……」

「そうだね。つまり、関数の定義を聞かれていることになる」

ユーリ「関数の定義! 関数に定義なんてあるの?」

「そりゃあるよ。そうでなくちゃ、関数についてきちんと考えることは難しいよね。 どんなものなら関数と呼ぶことができるか。 どんなものは関数と呼べないか。 それをはっきりさせてくれるのが定義だからね」

ユーリ「関数の定義なんて考えたこともなかったよー」

「だったら、いまが考えるチャンスだね」

ユーリ「『いまでしょ!』とか言わないの?」

「言わない」

$y = x + 1$を考える

「関数を定義する前に、関数の例を見てみようか。さっきユーリは直線とか放物線とかいってたよね」

ユーリ「うん。グラフ」

「たとえば、これは$y = x + 1$という式で表されるグラフだよね」

$y = x + 1$で表されるグラフ

ユーリ「そーそー、こーゆーの。これは直線でしょ?」

「そうだね。このグラフは直線になっていて、$y = x + 1$という式で表されている。 このグラフで$x$の値が$0$のとき、$y$の値は何になる?」

ユーリ「$x$が$0$なら、$y$は$1$でしょ? $x$に$1$足せば$y$だもん」

$y = x + 1$では、$x = 0$のとき、$y = 1$になる。

「そうだね、正解。じゃあ、$x$の値が$5$のとき、$y$の値は何になる?」

ユーリ「$1$足すから$6$」

$y = x + 1$では、$x = 5$のとき、$y = 6$になる。

「うん。それでいいよ。このグラフで$x = 5$のとき$y = 6$だ」

ユーリ「カンタン。そんで?」

「だったら、$x = -12345$だったら?」

ユーリ「いきなりマイナス! えーと、$y = -12344$かにゃ?」

「そうだね。$y = x + 1$なんだから、$x = -12345$のときは$y = -12345 + 1 = -12344$」

$y = x + 1$では、$x = -12345$のとき、$y = -12344$になる。

ユーリ「難しくない」

「次は難しいよ。$x$の値がユーリだったら、$y$の値は?」

ユーリ「は? なに言ってるですか? $x = \text{ユーリ}$なんてありえないじゃん」

「それはどうしてだろう」

ユーリ「ユーリは数じゃないもん! $\text{ユーリ} + 1$なんて計算できない!」

「そうだね。このグラフの$x$軸にユーリは出てこないし、犬も猫も出てこない」

ユーリ「おどろいちゃった」

「さっきから、$y = x + 1$というグラフを使って、《$x$の値がナントカのとき、$y$の値はナニになる?》 と聞いたけれど、この質問に答えるのが関数なんだよ」

ユーリ「何それ突然!」

関数の定義

「関数の定義をきちんと書くとこうなるよ、ユーリ」

関数の定義

二つの集合$X$と$Y$を考える。

集合$X$のどんな要素$x$に対しても、 集合$Y$の要素$y$がたった一つ定まる規則$f$があるとしよう。

このとき、$x$に$y$を対応付ける規則$f$のことを、集合$X$から$Y$への関数$f$と呼ぶ。

そして、関数$f$が$x$に対応付けている要素のことを、 $$ f(x) $$ と書く。

集合$X$のことを、関数$f$の定義域(ていぎいき)という。

集合$Y$のことを、関数$f$の終域(しゅういき)という。

※これは写像の定義。集合$Y$が数の集合のときを関数ということが多い。関数は写像の一種である。

ユーリ「意味わかんない」

「がく。ちゃんと読んだ?」

ユーリ「何となくわかるけど、わざとややこしく書いてない?」

「いやいや、抽象的だけど、ややこしくはないよ。イメージがわかりにくいかったら、こんな図はヒントになるよ」

ユーリ「どっちにしても、よくわかんない」

「確かに、定義は抽象的に見えることが多いかもね。だからこそ、定義を見たときには具体例を作ることが大事なんだ。 ほら、《例示は理解の試金石》だから」

ユーリ「《例示は理解の試金石》だし《礼儀は社会の潤滑油》だよね」

「ちゃかさない。関数の定義を$y = x + 1$に照らし合わせてみよう」

ユーリ「へーい」

「さっき僕たちは$y = x + 1$というグラフで、関数のことをぼんやりと考えたけど、 関数の定義に合わせてきちんと表してみよう」

ユーリ「ほほー」

「僕たちは$y = x + 1$のグラフを考えるとき、どんな実数$x$に対しても、実数$y$が対応付けられていると考えるよね」

ユーリ「それって、$x$に対して$y$は$x + 1$になるってこと言ってるの?」

「そうだよ。実数$x$に対して実数$y$がたった一つ決まる。$y$を決める約束、ルール、対応付け、規則が決まっている。 その規則のことを関数と呼ぶんだ」

ユーリ「はあ」

「さっきの《関数の定義》では最初に、《二つの集合$X$と$Y$を考える》 といってたけど、$y = x + 1$のときには集合$X$も$Y$もどちらも《実数全体の集合》としていいよ」

ユーリ「実数全体の集合……」

「うん。$y = x + 1$のグラフを考えるとき、$x$軸上のどんな点$x$を選んでも対応する$y$が一つ決まった。 $x$軸上の点を一つ選ぶというのは、 実数を一つ選んでいるということ。 そしてそれに対して$y$が決まるけど、 これは$y$軸上の点つまり実数を一つ決めていることになる」

ユーリ「まわりくどいけど、いーよ」

「しかも、$y = x + 1$というグラフでは、実数$x$に対して実数$y$がたった一つだけ決まる。つまり……

  • $x$に対して、$y$が決まらないということはない。
  • $x$に対して、$y$が二つ以上決まるということもない。
  • $x$に対して、決まった$y$が実数以外ということもない。
……といえる」

ユーリ「おー! あたりまえで、めちゃめちゃくどいけど、確かに」

「どんな実数$x$に対しても、実数$y$がたった一つだけ対応して必ず決まる。その対応の規則は、 さっきの例では$y = x + 1$という式で表されていた。 もしもこの規則に$f$という名前を付けるとしたら、 $$ y = x + 1 $$ のことを、 $$ y = f(x) $$ と書ける」

ユーリ「解説、乙。でもにゃあ……あたりまえにわかってることを回りくどく言ってるみたい」

「まあね。でも、関数の定義で、集合$X$と集合$Y$をきちんと決めておくことが大事だとわかるよね。 さっきの『$y = x + 1$で$x$の値がユーリだったら$y$の値は何?』 という質問が無意味なのは、ユーリが実数じゃないからなんだよ」

ユーリ「はあ」

「関数$f$の定義に出てくる集合$X$のことを定義域というんだ」

ユーリ「ていぎいき」

「$f$が関数なら、定義域にある要素$x$を選んだとき、対応する値が一つ定まることが保証される。 それを$f(x)$で表すんだね」

ユーリ「うーん……ねえお兄ちゃん。説明はわかったけど、飽きてきちゃった。だって、何だかぜんぶあたりまえみたいなんだもん」

「うん、関数の定義はこのくらいにして、さっきの話に戻ろう」

ユーリ「さっきの話って何だっけ?」

「数列も関数だよ、って話」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

marekingu #スマートニュース 8日前 replyretweetfavorite

chibio6 関数が式で表せなくとも1対1で対応していればいいと知り驚いている。最後のクイズの答えが気になる。メタトークのヒント、リストから答えを見て理解。 9日前 replyretweetfavorite

kazuki_0014 |結城浩 @hyuki |数学ガールの秘密ノート 「むむ......」 「むむむ......」 「わかった」 https://t.co/YMOaaw7aX8 13日前 replyretweetfavorite

akb44yuki 数学の関数と思うと連続性のあるものに思ってしまうけど、 プログラムの関数と考えればそんなことないし、十分に入力と出力の関係性あるなぁ 13日前 replyretweetfavorite