第201回　最初に最後を考えて（前編）

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僕の部屋

ユーリ「あー、退屈退屈ー！」

僕「人の部屋に遊びに来ておいて、退屈を連発するのはないよなあ」

ユーリ「だって、退屈だもん。ねー、お兄ちゃん。なんかおもしろいことないの？　クイズとかパズルとか」

僕「そんなこと急に言われてもね」

ユーリ「あっ！　それじゃゲームしよゲーム！　オセロとか」

僕「オセロねえ……あんまり」

ユーリ「お兄ちゃん、なにげに弱いもんね（数列の広場参照）」

僕「それに、ほら、オセロは登録商標だし」

ユーリ「理由になってなーい！」

僕「うん、じゃあ、こんなゲームをしようか。単純だけどおもしろいよ」

ユーリ「なになに、どんなの？」

ゲーム

僕「うん、まず最初にジャンケンで先攻後攻を決めよう。ジャンケン……」

ユーリ「ポン！」

僕「ユーリがチョキで僕がパーだから、ユーリが先攻だね」

ユーリ「そんでそんで？」

僕「ちょっと待って、準備するから」

ユーリ「ふむふむ？」

僕「このマルを交互に消していくんだ。何個消すかは自分で選べるけど、必ず$1$個は消さなくちゃいけない。それから、$4$個以上消しちゃだめ」

ユーリ「消す数は$1,2,3$個のどれかってこと？」

僕「そういうこと。かわりばんこに消していって、最後のマルを消した人の負け」

ユーリ「オッケー、わかった！　何個消そうかな……」

僕「それから、何個消すかを決めるのに時間を掛けちゃだめ」

ユーリ「時間？」

僕「相手が$10,9,8,\ldots$とカウントダウンしていって、$0$になるまでに消すこと。もたもたしちゃだめだよ。じゃあ、スタート！　$10,9,8,\ldots$」

ユーリ「えっ、ええええっ……えーっと！」

僕「$3$個消したんだね。じゃ、今度は僕が消す番だ」

ユーリ「急にカウントダウン始めるの、ずるいよー。$10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0$　はい時間！はい時間！」

僕「ずるいと言いながら、そんなに早口でカウントダウンするなよ、ユーリ」

ユーリ「へへー」

僕「じゃ、ユーリの番だよ。$10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0$　はい、消した？」

ユーリ「お兄ちゃんだって、早口じゃん！　いま消す！」

僕「消したね」

ユーリ「$10,9,8$」

僕「消したよ」

ユーリ「え？　もー消したの？」

僕「$10,9,8,7,6,5$」

ユーリ「待って待って！……残りが少ない！　はい、消した！」

僕「はい、消したよ」

ユーリ「あっ……最後の$1$個……」

僕「ということで、最後に$1$個残ったマルを消したユーリの負け！　今回の勝負は僕の勝ち！」

ユーリ「なんだそりゃー！！」

ユーリ「うー！　スリルあっておもしろいけど、負けたのはくやしー！　だいたい、ルール説明直後すぐにカウントダウン始めるのってずるくない？」

僕「でも、もう様子はわかっただろ？」

ユーリ「わかった。もっかいやる！」

第2回戦

僕「じゃあ、もう一回、先攻後攻決めるジャンケンしようか。公平にね」

ユーリ「お兄ちゃんが先に消すんだね」

僕「ちょっと待って、準備するから」

ユーリ「じゃ、いっくよー！　$10,9,\ldots$」

僕「はい、消した」

ユーリ「早っ！」

僕「$10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0$　消した？」

ユーリ「消したよん」

僕「はい消した」

ユーリ「何でそんなに早いの？　まだカウントダウンしてないよっ！」

僕「ということで、ユーリの負け」

ユーリ「……」

僕「第3回戦、やる？　もう飽きた？」

ユーリ「……むー。もっかいやる」

僕「じゃ、また、先攻後攻をジャンケンで決めようか。公平に……」

ユーリ「ダウト」

僕「何がダウト？」

ユーリ「お兄ちゃん！　ユーリの目はごまかせませんぜ。なんだか変！　お兄ちゃんが必ず勝つようなトリックがある！」

僕「ジャンケンにトリック？」

ユーリ「ちがう……そうじゃなくて、お兄ちゃんは、ジャンケンして先攻後攻を決めた後になってから、マルを書いてるよね。二回とも」

僕「ぎく」

ユーリ「さっきの紙、もっかい見せて！」

僕「……」

ユーリ「ねー、お兄ちゃん。ユーリ先攻のときはマルが$13$個でスタートしたけど、ユーリ後攻のときはマルが$14$個でスタートしてるよねー。これは？」

僕「よく気がついたなあ」

ユーリ「……待って待って。し・か・も、ユーリ後攻の第2回戦で、お兄ちゃんはさっさとマルを$1$個消したよね。ってことは、ユーリの番でマルは$13$個になってる。これって第1回戦と同じ状態じゃん！　さー、正直に言っちまいな。何を企んだのかね？」

僕「はいはい、正直に説明しますよ。ユーリ探偵。このゲームは《残り$13$個で相手の番にしたら必ず勝てる》んだよ。つまり、必勝法が存在するってことだね」

ユーリ「ひっしょうほう！　必ず勝つ方法！　何それひどーい！　いたいけな乙女を惑わすなんてしくしく……」

僕「探偵じゃなかったのか」

ユーリ「乙女な探偵なの！　……でも、なんで《残り$13$個で相手の番にしたら必ず勝てる》の？　$13$ってそんな不思議な数なの？」

僕「それが問題になる」

ユーリ「わかった！　$13$だけじゃないね、お兄ちゃん！」

僕「わかった？」

ユーリ「わかった。$$ 1,5,9,13 $$ なんでしょ？」

僕「その通りだね。名探偵ユーリは、謎をすべて解いたのかな？」

ユーリ「解いたよん！」

僕「『名探偵、皆を集めてさてと言い』」

ユーリ「何それ……あのね、最初に、最後を考えたの」

僕「最初に最後を考える？」

ユーリ「最後にどうなったら勝つかを考えるの。最後の$1$個を消した人が負けるんだから、《最後の$1$個を相手に消させたら勝つ》わけでしょ？　相手の番で、残りが$1$個なら、自分が勝つ」

僕「うん、そうなるね」

ユーリ「てことは、自分の番で残りが$2$個、$3$個、$4$個のどれかになってれば、勝てる。だって、自分の番で残りが$2$個なら$1$個消す、$3$個なら$2$個消す、$4$個なら$3$個消せばいいもん。 そーすれば、相手に最後の$1$個を押しつけられる」

僕「いいねえ」

ユーリ「自分の番で残りが$2,3,4$個になってれば勝てるんだから、《相手の番で$5$個にすれば勝つ》わけでしょ」

僕「それはどうして？」

ユーリ「だって、相手の番で残り$5$個だったら、相手が$1$個消したら残り$4$個、$2$個消したら残り$3$個、$3$個消したら残り$2$個だけど、残り$4,3,2$個のどれでも、自分の番で残り$1$個にできるから」

僕「いいねえ。ユーリの推理はすばらしいな！」

ユーリ「えへへ。あとはその繰り返しでしょ。$4$個ずつ増やしていけばいい！」

• 相手の番で残り$1$個なら、自分が勝つ。
• 相手の番で残り$5$個なら、自分が勝てる。
• 相手の番で残り$9$個なら、自分が勝てる。
• 相手の番で残り$13$個なら、自分が勝てる。

僕「……」

ユーリ「ジャンケンで公平に見せかけておいて、ユーリが先攻になったら、$13$個のマルを書く。 ユーリが後攻になったら、$14$個のマルを書いておいて、お兄ちゃんはすぐに$1$個消す！」

僕「……」

ユーリ「お兄ちゃんは、$1,5,9,13$ってゆー数を覚えてたんでしょ！ユーリの番に回すときに、必ず$1,5,9,13$になるよーに毎回残りの個数を数えてたんだ！　謎はすべて解けた！　反論はあるかね？」

僕「すばらしい名推理！　その通りなんだけど、一点だけ違うことがある」

ユーリ「何？」