僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
僕の部屋
ユーリ「あー、退屈退屈ー！」
僕「人の部屋に遊びに来ておいて、退屈を連発するのはないよなあ」
ユーリ「だって、退屈だもん。ねー、お兄ちゃん。なんかおもしろいことないの？ クイズとかパズルとか」
僕「そんなこと急に言われてもね」
ユーリ「あっ！ それじゃゲームしよゲーム！ オセロとか」
僕「オセロねえ……あんまり」
ユーリ「お兄ちゃん、なにげに弱いもんね（数列の広場参照）」
僕「それに、ほら、オセロは登録商標だし」
ユーリ「理由になってなーい！」
僕「うん、じゃあ、こんなゲームをしようか。単純だけどおもしろいよ」
ユーリ「なになに、どんなの？」
ゲーム
僕「うん、まず最初にジャンケンで先攻後攻を決めよう。ジャンケン……」
ユーリ「ポン！」
僕「ユーリがチョキで僕がパーだから、ユーリが先攻だね」
ユーリ「そんでそんで？」
僕「ちょっと待って、準備するから」
ユーリ「ふむふむ？」
僕「このマルを交互に消していくんだ。何個消すかは自分で選べるけど、必ず$1$個は消さなくちゃいけない。それから、$4$個以上消しちゃだめ」
ユーリ「消す数は$1,2,3$個のどれかってこと？」
僕「そういうこと。かわりばんこに消していって、最後のマルを消した人の負け」
ユーリ「オッケー、わかった！ 何個消そうかな……」
僕「それから、何個消すかを決めるのに時間を掛けちゃだめ」
ユーリ「時間？」
僕「相手が$10,9,8,\ldots$とカウントダウンしていって、$0$になるまでに消すこと。もたもたしちゃだめだよ。じゃあ、スタート！ $10,9,8,\ldots$」
ユーリ「えっ、ええええっ……えーっと！」
僕「$3$個消したんだね。じゃ、今度は僕が消す番だ」
ユーリ「急にカウントダウン始めるの、ずるいよー。$10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0$ はい時間！はい時間！」
僕「ずるいと言いながら、そんなに早口でカウントダウンするなよ、ユーリ」
ユーリ「へへー」
僕「じゃ、ユーリの番だよ。$10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0$ はい、消した？」
ユーリ「お兄ちゃんだって、早口じゃん！ いま消す！」
僕「消したね」
ユーリ「$10,9,8$」
僕「消したよ」
ユーリ「え？ もー消したの？」
僕「$10,9,8,7,6,5$」
ユーリ「待って待って！……残りが少ない！ はい、消した！」
僕「はい、消したよ」
ユーリ「あっ……最後の$1$個……」
僕「ということで、最後に$1$個残ったマルを消したユーリの負け！ 今回の勝負は僕の勝ち！」
ユーリ「なんだそりゃー！！」
ユーリ「うー！ スリルあっておもしろいけど、負けたのはくやしー！ だいたい、ルール説明直後すぐにカウントダウン始めるのってずるくない？」
僕「でも、もう様子はわかっただろ？」
ユーリ「わかった。もっかいやる！」
第2回戦
僕「じゃあ、もう一回、先攻後攻決めるジャンケンしようか。公平にね」
ユーリ「お兄ちゃんが先に消すんだね」
僕「ちょっと待って、準備するから」
ユーリ「じゃ、いっくよー！ $10,9,\ldots$」
僕「はい、消した」
ユーリ「早っ！」
僕「$10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0$ 消した？」
ユーリ「消したよん」
僕「はい消した」
ユーリ「何でそんなに早いの？ まだカウントダウンしてないよっ！」
僕「ということで、ユーリの負け」
ユーリ「……」
僕「第3回戦、やる？ もう飽きた？」
ユーリ「……むー。もっかいやる」
僕「じゃ、また、先攻後攻をジャンケンで決めようか。公平に……」
ユーリ「ダウト」
僕「何がダウト？」
ユーリ「お兄ちゃん！ ユーリの目はごまかせませんぜ。なんだか変！ お兄ちゃんが必ず勝つようなトリックがある！」
僕「ジャンケンにトリック？」
ユーリ「ちがう……そうじゃなくて、お兄ちゃんは、ジャンケンして先攻後攻を決めた後になってから、マルを書いてるよね。二回とも」
僕「ぎく」
ユーリ「さっきの紙、もっかい見せて！」
僕「……」
ユーリ「ねー、お兄ちゃん。ユーリ先攻のときはマルが$13$個でスタートしたけど、ユーリ後攻のときはマルが$14$個でスタートしてるよねー。これは？」
僕「よく気がついたなあ」
ユーリ「……待って待って。し・か・も、ユーリ後攻の第2回戦で、お兄ちゃんはさっさとマルを$1$個消したよね。ってことは、ユーリの番でマルは$13$個になってる。これって第1回戦と同じ状態じゃん！ さー、正直に言っちまいな。何を企んだのかね？」
僕「はいはい、正直に説明しますよ。ユーリ探偵。このゲームは《残り$13$個で相手の番にしたら必ず勝てる》んだよ。つまり、必勝法が存在するってことだね」
ユーリ「ひっしょうほう！ 必ず勝つ方法！ 何それひどーい！ いたいけな乙女を惑わすなんてしくしく……」
僕「探偵じゃなかったのか」
ユーリ「乙女な探偵なの！ ……でも、なんで《残り$13$個で相手の番にしたら必ず勝てる》の？ $13$ってそんな不思議な数なの？」
僕「それが問題になる」
このゲームでは、残り$13$個で相手の番にしたら必ず自分が勝てる。それはなぜだろうか。
ユーリ「わかった！ $13$だけじゃないね、お兄ちゃん！」
僕「わかった？」
ユーリ「わかった。$$ 1,5,9,13 $$ なんでしょ？」
僕「その通りだね。名探偵ユーリは、謎をすべて解いたのかな？」
ユーリ「解いたよん！」
僕「『名探偵、皆を集めてさてと言い』」
ユーリ「何それ……あのね、最初に、最後を考えたの」
僕「最初に最後を考える？」
ユーリ「最後にどうなったら勝つかを考えるの。最後の$1$個を消した人が負けるんだから、《最後の$1$個を相手に消させたら勝つ》わけでしょ？ 相手の番で、残りが$1$個なら、自分が勝つ」
僕「うん、そうなるね」
ユーリ「てことは、自分の番で残りが$2$個、$3$個、$4$個のどれかになってれば、勝てる。だって、自分の番で残りが$2$個なら$1$個消す、$3$個なら$2$個消す、$4$個なら$3$個消せばいいもん。 そーすれば、相手に最後の$1$個を押しつけられる」
- 残りが$2$個なら$1$個消す。
- 残りが$3$個なら$2$個消す。
- 残りが$4$個なら$3$個消す。
僕「いいねえ」
ユーリ「自分の番で残りが$2,3,4$個になってれば勝てるんだから、《相手の番で$5$個にすれば勝つ》わけでしょ」
僕「それはどうして？」
ユーリ「だって、相手の番で残り$5$個だったら、相手が$1$個消したら残り$4$個、$2$個消したら残り$3$個、$3$個消したら残り$2$個だけど、残り$4,3,2$個のどれでも、自分の番で残り$1$個にできるから」
- 相手が$1$個消したら$4$個残る。
- 相手が$2$個消したら$3$個残る。
- 相手が$3$個消したら$2$個残る。
僕「いいねえ。ユーリの推理はすばらしいな！」
ユーリ「えへへ。あとはその繰り返しでしょ。$4$個ずつ増やしていけばいい！」
- 相手の番で残り$1$個なら、自分が勝つ。
- 相手の番で残り$5$個なら、自分が勝てる。
- 相手の番で残り$9$個なら、自分が勝てる。
- 相手の番で残り$13$個なら、自分が勝てる。
僕「……」
ユーリ「ジャンケンで公平に見せかけておいて、ユーリが先攻になったら、$13$個のマルを書く。 ユーリが後攻になったら、$14$個のマルを書いておいて、お兄ちゃんはすぐに$1$個消す！」
僕「……」
ユーリ「お兄ちゃんは、$1,5,9,13$ってゆー数を覚えてたんでしょ！ユーリの番に回すときに、必ず$1,5,9,13$になるよーに毎回残りの個数を数えてたんだ！ 謎はすべて解けた！ 反論はあるかね？」
僕「すばらしい名推理！ その通りなんだけど、一点だけ違うことがある」
ユーリ「何？」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 （毎週金曜日更新）
