第23回 行ったり来たりの迷い道(前編)

【プチ数学アニメ付き】僕が円の話をすると、ユーリは「他の図形も描けそーじゃん!」と言い出しました。(※プチ数学アニメは、アニメGIF表示可能環境のみで閲覧可能です)

の部屋

ユーリ「お兄ちゃん、これ何?」

ユーリは、がそのへんに放り出していたルーズリーフを持ってきた。 彼女は中学二年生、従妹いとこだ。 でものことをいつも《お兄ちゃん》と呼ぶ。

「ん? この図のこと?」




ユーリ「なんか、おもしろそーじゃん」

「おもしろいよ。これは単位円を使って……」

ユーリ「たんいえん?」

「単位円っていうのは半径が $1$ の円のことだよ」

ユーリ「ふーん……」

「まず、単位円の円周上に点を置く。それからその点をぐるっと回していくんだよ。こんなふうに、 $30^\circ$ ずつね」

単位円の円周上、点を $30^\circ$ ずつ回転させる

ユーリ「ほーほー。 $360^\circ$ でぐるっと回るんだね」

「そうだね。 $360^\circ$ で $0^\circ$ に戻る」

ユーリ「そんでそんで?」

「単位円を使うと三角関数の定義ができるんだよ」

ユーリ「さんかくかんすー? 難しそー」

「そんなことないよ。単位円の円周上でぐるぐる回る点の《 $x$ 座標がコサイン》で《 $y$ 座標がサイン》なんだよ。それだけのこと」

ユーリ「あ、コサインとか、サインとか、聞いたことある」

「回転させたときの角度を $\theta$ (シータ)とすると……」

ユーリ「『シータ。いい名前だね』」

「?」

ユーリ「ラピュタ、知らないの?」

「アニメは関係ない……いや、あるのかな。まあいいけど、とにかく角度を $\theta$ と書くことにすると、 $x$ 座標のことを $\cos \theta$ (コサイン・シータ)と呼んで、 $y$ 座標のことを $\sin \theta$ (サイン・シータ)と呼ぶんだよ」

単位円の円周上の点
$(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)$

ユーリ「なんで?」

「いや、理由はないよ。これが $\cos \theta$ と $\sin \theta$ の定義なんだから。単位円の円周上の点の座標を使って $\cos \theta$ と $\sin \theta$ を定義したんだ。 よく使うものだから名前を付けたと思ってもいいよ」

ユーリ「《コサインちゃん》と《サインくん》みたいに?」

「まあ、そうだね。三角関数っていうと難しそうだけれど、単位円を描くと定義はすぐに覚えられるよね。コサインとサイン。 角度 $\theta$ を変えて点を回すと $x$ 座標と $y$ 座標もそれぞれ変わる。 それだけのことなんだ。 それだけのことなんだけど、三角関数を使うとおもしろい式がいろいろ……」

ユーリ「でたな数式マニア。でも、数式はもういいや。こっちの図は?」

「ああ、これはお兄ちゃんが落書きしてたんだよ。何となく点を結んでね」

ユーリ「まわりの数字はなに?」

「え? 角度だよ。単位円の円周上の点が回転するとき、 $0^\circ$ だったらどの線になるか、 $30^\circ$ だったらどの線になるかを書き込んだんだ」

ユーリ「ふーん……」

【プチ数学アニメ(その1)】

点 $(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)$ が描く単位円

※プチ数学アニメは、アニメGIF表示可能環境のみで閲覧可能です。

ユーリ「……ところで、お兄ちゃん。これって時計みたい」

「そうだね。角度は時計の進む向きとは逆回りだけどね。たまたま $30^\circ$ ずつに区切ったから、ちょうど $12$ に分かれて、 しかも、中心から回りに広がっている線もあるし」

ユーリ「線を書かなくても時計っぽいよー」

「まあ、そうかな」

ユーリ「お兄ちゃん、タテヨコの交差点を円がビシッと通るの、キモチいいよね」

「そうだね……ねえユーリ、数学では交差点じゃなくて交点こうてんっていうんだよ。確かに道路の交差点と似てるけど」

ユーリ「タテ線とヨコ線のあいだが広くなったり狭くなったりして、こーてんが丸く並ぶの、おもしろいにゃ」

ユーリは図をながめている。 何かを考えているようだ。 しばらくたってから、ユーリは話し出す。

ユーリ「……ねーお兄ちゃん、タテの線とヨコの線って $7$ 本ずつあるじゃん?」

「そうだね。タテに $7$ 本、ヨコに $7$ 本」

ユーリ「んで、 $7 \times 7 = 49$ で、 $49$ 個の交点があるわけじゃん?」

「そうだね」

ユーリ「 $49$ 個も交点があるんだからさ、他の図形も描けそーじゃん!

他の図形を描こう

「ユーリ! それはおもしろい!」

ユーリ「わ、びっくりした! そんなにおもしろい?」

「うん、おもしろいことを思い出した。これから他の図形を作ってみよう」

ユーリ「?」

「さっき、単位円で、 $x$ 座標が $\cos \theta$ で、 $y$ 座標が $\sin \theta$ という話をしたよね」

ユーリ「うん」

「そこでは、両方とも同じ角度 $\theta$ を使っていた」

ユーリ「うん?」

「逆にいえば、 $\cos$ と $\sin$ に同じ角度 $\theta$ を与えると、単位円ができたわけだね」

ユーリ「うん……それで?」

「ではね、 $\cos$ と $\sin$ に渡す角度を $30^\circ$ ずらしてみよう。たとえば $\sin$ の方を $30^\circ$ 先に進める。そうしたら、どんな図形ができるだろうか」

ユーリ「なに言ってるかわかんない。難しーよ」

「簡単な話だよ。図で説明しようか。たとえば、タテとヨコの両方が $0^\circ$ の線のときはこの点になる」

$(x, y) = (\cos 0^\circ, \sin 0^\circ)$

ユーリ「うん」

「この点 $(\cos 0^\circ, \sin 0^\circ)$ からスタートしてぐるっと回れば、単位円ができたわけだ」

ユーリ「うん、それで?」

「これから、 $\sin$ を $30^\circ$ 先に進めたらどんな図形ができるかを考えよう。《 $\sin$ を $30^\circ$ 先に進める》というのは《ヨコ線を一歩先に進める》ってことだよ。 つまりこの点 $(\cos 0^\circ, \sin 30^\circ)$ からスタートするんだ」

$(x, y) = (\cos 0^\circ, \sin 30^\circ)$

ユーリ「ほほー。なるほど。ヨコ線を上げたんだね。そーすると、どーなるの?」

「それが問題だよ。ヨコ線を、タテ線よりいつも $30^\circ$ 進めた状態で、ぐるっと回したらどうなるかな?」

ユーリ「む、むー……」

問題
$(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)$ では単位円ができる。

$(x, y) = (\cos \theta, \sin (\theta + 30^\circ))$ ではどんな図形ができる?

Photo by Hiroshi Yuki.

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結城浩

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コメント

ECpeto  偏光状態の図にしか見えなかったww 約5年前 replyretweetfavorite

tune3orz こんなこと考えたことなかった reading: 約5年前 replyretweetfavorite

hyuki 【4/5 13:00まで無料】金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。僕が円の話をすると、ユーリは「他の図形も描けそー!」と言い出しました。今回も【プチ数学アニメ付き】です。 公式 https://t.co/yMsXzAmeYU 5年以上前 replyretweetfavorite

retweeterjp [0.6rtpm] 58 分間で 34 回計測 @hyuki「【4/5 08:00まで無料】金曜日は『 5年以上前 replyretweetfavorite