第22回 まるい三角形(後編)

【記事の最後にプチ数学アニメあり!?】僕がテトラちゃんにsinを教えていると、才媛ミルカさんが割り込んできてサインカーブの話を始めた。三角関数は円からできる?(※プチ数学アニメは、アニメGIF表示可能環境のみで閲覧可能です)
放課後の図書室。 高校二年生のは、後輩のテトラちゃんに $\sin$ と $\cos$ について話している。

第21回からの続き)

テトラちゃん

「 $\sin$ (サイン)の覚え方として有名なのはこれだよね。筆記体のsを使って《 $c$ 分の $b$ 》という順に分数を作る。sは $\sin$ のsだよ。《 $\sin$ は、 $\theta$ から $\dfrac{b}{c}$ を求める関数》といえるんだ」

$\sin \theta$ の覚え方

テトラ「ここまで、よくわかりましたっ!」

「そして、次にやることは $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ の制限を外すことだ」

テトラ「制限を……外す?」

「そうだよ。ほら角度 $\theta$ に制限がついているとやっかいだから」

テトラ「あたし、よくそういう制限や条件を忘れるんです……」

「角度 $\theta$ (シータ)に、 $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ という制限がついちゃった理由はわかるよね。直角三角形を使って $\sin$ を定義したから」

テトラ「はい」

「だからね、僕たちはこれからえんを使って $\sin$ を定義する」

テトラ「円で三角関数を定義するんですか?」

「そうだよ」

テトラ「……ということは、 $\sin$ には二種類あるんですか?」

「二種類って?」

テトラ「直角三角形で定義する $\sin$ と、円で定義する $\sin$ と……」

「あ、いやいや、そういうわけじゃないよ。円で定義した $\sin$ も、 $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ の範囲では 直角三角形で定義したものとまったく一致するから」

テトラ「はあ……なんだか難しそうです」

「いやいや、そんなに難しくはないから大丈夫。このように決めましょうという約束の話だけだよ」

テトラ「はい……」

「じゃ、最初に復習しておこうか。これまで僕たちは $\sin$ を直角三角形の二辺の比で定義していた。分数だね」

直角三角形の辺の比で $\sin \theta$ を定義する( $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ )
$$ \sin \theta = \dfrac{b}{c} $$

テトラ「はい、そうでした」

「ここでは二辺の比、つまり $\dfrac{b}{c}$ の値が重要なんだから、 $c$ の長さを $1$ として考えることにしよう。直角三角形の各辺を $c$ 分の $1$ にしたと思ってもいいよ」

テトラ「どうしてそういうことをするんですか?」

「そうすると、 $\sin \theta = \dfrac{b}{c} = \dfrac{b}{1} = b$ だから、式が簡単になるよね」

テトラ「あ、はい。そうですね」

「それに、 $\sin \theta = b$ ということは三角形の一辺がちょうど $\sin$ の値になるし」

直角三角形の辺の比で $\sin \theta$ を定義する( $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ )
$$ \sin \theta = b \qquad \text{( $c = 1$ とした場合)} $$

「直角三角形の $\theta$ がある頂点を、座標平面の原点の上に置いて、直角は $x$ 軸の上。そして、残った頂点に $P$ という名前をつけるよ」

テトラ「……」

「このとき、 $c = 1$ と決めているから、頂点 $P$ の《高さ》が $\sin \theta$ になるよね」

テトラ「高さ?」

「うん、座標平面で、 $x$ 軸からどれだけ上にあるかということ」

テトラ「あ、はいはい。わかりました」

「じゃあ、クイズを出すね。この図で $\theta$ を変化させると、頂点 $P$ はどんな図形を描くかわかる?」

クイズ
角 $\theta$ を変化させると、頂点 $P$ はどんな図形を描くか。 ただし、点 $O$ と点 $P$ の距離は常に $1$ に等しいとする。

テトラ「どんな図形を描くか? ……すみません。あの、まるい、ですか?」

「そうだよ、円だね。 $O$ と $P$ の距離が $1$ で固定されているから、 $\theta$ を変化させると、コンパスでぐるっと円を描くような感じになるね」

テトラ「そうですね」

「ところで、テトラちゃん……別に《すみません》なんて、あやまる必要はないんだよ」

テトラ「あ、はい!」

クイズの答え
角 $\theta$ を変化させると、頂点 $P$ は円を描く。

「この円のような、半径が $1$ の円のことを単位円たんいえんっていうんだよ。この図は特に、原点を中心にした単位円になるね」

テトラ「単位円……と」

テトラちゃんは《秘密ノート》に用語をメモする。

「円が出てきたところで、僕たちは直角三角形に縛られるのをやめる」

テトラ「あたしたち、直角三角形に縛られてたんですか?」

「そうだよ。だって、僕たちは $\sin \theta$ を直角三角形で定義してたからね。たとえば、 $\theta = 0^\circ$ になったら、直角三角形は作れないから困ってしまう」

テトラ「あ! 角度が $0^\circ$ だと、直角三角形がぺちゃんとつぶれちゃうからですか」

「そうそう。そういうこと。円を使って $\sin \theta$ を定義するときは、《 $\sin \theta$ は点 $P$ の $y$ 座標である》と定める」

テトラ「点 $P$ の $y$ 座標……」

「図で見ればすぐわかると思うよ」

単位円上の点 $P$ の $y$ 座標で $\sin \theta$ を定義する

テトラ「……」

「この定義だと、 $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ の範囲での $\sin \theta$ の値は、直角三角形で定義したものとまったく一致するのはわかるよね」

テトラ「は、はい。だって、直角三角形が《見え》ますし!」

「そうそう」

テトラ「ははあ……やっと先輩のおっしゃる《高さ》というのがわかってきました」

「点 $P$ の位置によってはその《高さ》はマイナスになるから、ちょっと注意が必要だけどね」

テトラ「マイナスですか?」

「うん、そうだよ。 $\theta$ の値によっては、 $\sin \theta < 0$ になることがあるということ。たとえばこの例のように」

$\sin \theta < 0$ になる例

テトラ「なるほど! 下にこう……もぐっちゃうんですね」

「 $\theta$ の値を少しずつ大きくしたグラフを描いてみればよくわかるよ」

$\theta = 0^\circ, 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$

$\theta = 90^\circ, 120^\circ, 150^\circ, 180^\circ$

$\theta = 180^\circ, 210^\circ, 240^\circ, 270^\circ$

$\theta = 270^\circ, 300^\circ, 330^\circ, 360^\circ$

単位円の円周上、点を $30^\circ$ ずつ回転させた

テトラ「なるほど……あっ! 先輩! あの、もしかして、こういう式って、成り立ちますか?」

$$ -1 \leq \sin \theta \leq 1 $$

「いいね、テトラちゃん! その通りだよ。どうしてそう思ったの?」

テトラ「だって、この円は半径が $1$ ですから、円のいちばん《上》の $y$ 座標は $1$ で、いちばん《下》の $y$ 座標は $-1$ ですよね。 そして、点 $P$ の $y$ 座標が $\sin \theta$ なので、 $\sin \theta$ は、 $-1$ 以上で $1$ 以下の範囲に入っているはずですっ!」

「そうそう、その発見はいいなあ、テトラちゃん! どんな角度 $\theta$ に対しても、 $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ が成り立つ。これは $\sin \theta$ の定義からわかる $\sin \theta$ の性質だね」

テトラ「はいっ!」

ミルカさんとサインカーブ

ミルカ「楽しそうだな」

テトラ「あ、ミルカさん! いま先輩から $\sin$ について教わっていたんです!」

ミルカさんさんは長い黒髪、メタルフレームの眼鏡をした才媛だ。 放課後にはテトラちゃんといっしょに数学トークをする。

ミルカ「ふうん……サインカーブはこれからか」

テトラ「サインカーブ……といいますと?」

ミルカさんは、テトラちゃんの隣に座る。 の手からナチュラルにシャーペンを奪い、 テトラちゃんに説明を始めた。 クールな様子をしているけれど、 にはわかる。 ミルカさんは、サインカーブの説明をしたくてうずうずしているんだ。

ミルカ「テトラ、単位円を置いている座標平面の横軸は何?」

テトラ「横軸は……えっと、 $x$ 軸ですか?」

ミルカ「そう。だから、この単位円上の点の座標を $(x, y)$ とおくと、この円というグラフは $x$ と $y$ が満たす関係を表現している」

「制約だね」

テトラ「あ、はい、そうですね。以前、 $2$ 次関数で放物線を描いたときもそうでした」

ミルカ「この座標平面の右に《横軸を $\theta$ 軸にしたグラフ》を描く。縦軸は $y$ 軸のままだ」

テトラ「横軸を $\theta$ 軸にしたグラフ……」

「グラフでは縦軸と横軸が大切だからね、ミルカさん」

ミルカさんは軽く頷いてすぐに話を続ける。ほんとに楽しそうだ。

Photo by Hiroshi Yuki.

この続きは有料会員登録をすると
読むことができます。
cakes・note会員の方はここからログイン

1週間無料のお試し購読する

cakesは定額読み放題のコンテンツ配信サイトです。簡単なお手続きで、サイト内のすべての記事を読むことができます。cakesには他にも以下のような記事があります。

人気の連載

おすすめ記事

ケイクス

この連載について

初回を読む
数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

この連載の人気記事

関連記事

関連キーワード

コメント

hyuki 昨日更新された『数学ガールの秘密ノート』の「まるい三角形(後編)」はケイクスのデイリーランキングで三位でした。たくさんのご愛読ありがとうございます! m(_ _)m https://t.co/3zOIsfjznA 5年以上前 replyretweetfavorite

toki_62 一度習ったことなのに、より深く理解できた気分。動きのある教材は分かりやすいなー。 5年以上前 replyretweetfavorite

panypony 物語サイドの勝手な希望。椅子を蹴飛ばすミルカさんが見たい。ツンツンしてるミルカさんに蹴られたい。テトラちゃんといつのまに仲良くなったのか知りたい。: 5年以上前 replyretweetfavorite

hilbert_d 【はてブ新着ゲーム・アニメ】 5年以上前 replyretweetfavorite