第189回 九章算術の研究、もっと

「このような計算で平方根が求められるのですね……」とテトラちゃんは言った。
登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

テトラちゃんの後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。

リサ:自在にプログラミングを行う無口な女子。赤い髪の《コンピュータ少女》。
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双倉図書館にて

双倉図書館(ならびくらとしょかん)で開催されているイベント《いにしえの数学》では、 さまざまな国の、古い時代の数学についてパネルが展示されている。

僕たちはこれまで、 古代エジプトのヒエログリフ(第181回第182回参照)、 古代バビロニアの楔形文字(第183回第184回参照)、 古代ギリシアのタレスとピタゴラス(第185回第186回参照)などの展示を見てきた。 いや、見てきただけじゃない。パネルに示されているクイズにも挑戦してきた。

いま、ユーリは、 テトラちゃんといっしょに古代中国の数学テキスト『九章算術』に取り組んでいる。 算木を用いた乗算の問題を考えた後(第188回参照)、 僕たちは正の平方根を求める開平に挑戦しているところ。
『九章算術』巻第四【12】より「平方根を求める」

いま面積が五万五千二百二十五平方歩の正方形がある。 問う、一辺はいくらか。

答、二百三十五歩。

※『科学の名著<2>中国天文学・数学集』より

テトラ「算木でルートの計算をするということですね?」

ユーリ「クイズパネルになってる!」

クイズ(算木で開平を行う)

以下は、算木を使って、 $$ \SQRT{55225} = 235 $$ の計算を行う手順を示している。 ヒントをもとにして、 各手順が何を行っているか、想像してみよう。

(r01)

ヒント:$S = 55225$

(r02)

ヒント:《万の位》以上に注目する。

(r03)

ヒント:$a = 2$は、$5 \GEQ a^2$を満たす数として得た。

(r04)

ヒント:$R_1 = 1$は、$5 - a^2$として得た。

(r05)

ヒント:$4$は、$a$に$a$を加えて得た。

(r06)

ヒント:なし。

(r07)

ヒント:《百の位》以上に注目する。

(r08)

ヒント:$b = 3$は、$152 \GEQ b(20a + b)$を満たす数として得た。

(r09)

ヒント:$R_2 = 23$は、$152 - b(20a + b)$として得た。

(r10)

ヒント:$46$は、$20a + b$に$b$を加えて得た。

(r11)

ヒント:なし。

(r12)

ヒント:《一の位》以上に注目する。

(r13)

ヒント:$c = 5$は、$2325 \GEQ c(200a + 20b + c)$を満たす数として得た。

(r14)

ヒント:$R_3 = 0$は、$2325 - c(200a + 20b + c)$として得た。

(一行目に、$\SQRT{55225}$の計算結果である$235$が得られている)

テトラ「これは、手強そうですね……」

ユーリ「なんでこれで、$\SQRT{55225}$が計算できんの?」

「それを考えるクイズみたいだよ」

ユーリ「そーなんだけどさー」

テトラ「順番に根気よく読んでいけばきっとわかるはずですよね?」

僕たちは、 算木を使って$\SQRT{55225} = 235$の計算を行う手順 をいっしょに解読していくことになった。
(r01)

ヒント:$S = 55225$

ユーリ「これは、何やってるかわかる!」

テトラ「これからルートを取る数、$55225$を算木で並べているわけですね」

「そうだろうね。最初に《与えられているものは何か》を明確にしている、と。ヒントにある$S = 55225$を使うなら、これから求めるのは$\SQRT{S}$ということになるね」

(r02)

ヒント:《万の位》以上に注目する。

ユーリ「いっちばん上の位に、$1$という印を置きましたー……ってことだね、これ。ほらほら、乗算のときも上の位から計算したもんね。 ルート取るときも、上の位から調べるんでしょ?」

「なるほど。ユーリのいう通りだろうね」

テトラ「あ、あのう……確かに、算木では上の位から計算をしていましたけれど(第188回参照)、 ここのヒントは《万の位》とわざわざ書いてますよね」

ユーリ「だって、$55225$って、いっちばん上の位は《万の位》だよ、テトラさん」

「ともかく、先を見てみよう」

(r03)

ヒント:$a = 2$は、$5 \GEQ a^2$を満たす数として得た。

「ようやく計算らしいことが始まったよ。ここでは、いま注目している$5$を使って、 $$ 5 \GEQ a^2 $$ を満たす数として$a = 2$を得たと書いてある。つまり、 $$ 5 \GEQ 2^2 = 4 $$ だから、平方して$5$以下になる正整数として$2$を見つけたわけだ。 これは、要するに$\SQRT{5}$を推測で求めていることになるんだね」

テトラ「そうですね」

ユーリ「ダウト! $\SQRT{5} = 2.2360679\cdots$じゃなかったっけ? 《富士山麓オーム鳴く》だし、$2$でいーの?」

「ああ、もちろん、小数以下は切り捨てたわけだよ。だから、正確には、$$ \FLOOR{\SQRT{5}} = a \qquad \text{$\SQRT{5}$以下$\HIRANO$最大整数} $$ となる数として、$a = 2$を求めたということだと思うんだけど」

ユーリ「じゃ、このヒントは不正確だね! 『$a = 2$は、$5 \GEQ a^2$を満たす数として得た』じゃなくて、 『$a = 2$は、$5 \GEQ a^2$を満たす最大整数として得た』にしなくちゃ」

「確かにそうなるな」

テトラ「ところで、この$a = 2$という数は、結局$55225$とどういう関係になるんでしょうか」

「そうか……うん、それは簡単だよ。《万の位》に注目して$\SQRT{5}$を考えるというのは、 結局、$\SQRT{50000}$を考えているのと同じこと。 $\SQRT{5}$の小数以下を切り捨てると$a = 2$になるというのは、 $$ S \GEQ (100a)^2 $$ という$a$を求めたことになるね」

ユーリ「$S$って何だっけ」

「数値を具体的に書くと、$55225$だよ」

$$ S = 55225 \GEQ 50000 \GEQ 40000 = (200)^2 = (100a)^2 $$

テトラ「ははあ……ということは、$100a = 200$ですから、$$ \SQRT{55225} \GEQ 200 $$ という$200$を見つけたという意味ですね!」

「そうなるね。まだ$\SQRT{55225} = 235$まではたどり着いていなくて、$200$というところまで判明したわけだ。 まだ概算ではあるけれど、《百の位》までの詳しさでは正確にわかった、と」

テトラ「はっ! 発見しました!

「何を見つけたの、テトラちゃん?」

テトラ「あのですね。算木での乗算は上の位から計算したじゃないですか(第188回参照)。 あのときも、最初は概算で、次第に正確になっていきましたねっ!」

「なるほど! 確かにそういえるね。算木では$360\times49 = 17836$を求めるのに、$$ \begin{align*} \underline{3}00 \times 49 &= 14700 \\ \underline{36}0 \times 49 &= 17640 \\ \underline{364} \times 49 &= 17836 \\ \end{align*} $$ という順になっていったから」

テトラ「そうです、そうです。上の位から計算するので、早い段階から概算が得られています。でも、筆算では、概算が出てくるのは計算がだいぶ進んでからになりますね」

ユーリ「ねーねー、次を見よーよ」

(r04)

ヒント:$R_1 = 1$は、$5 - a^2$として得た。

「これがよくわからないんだよな」

テトラ「二行目に書いていた$55225$を$15225$に書き換えちゃっていますよね。$5$が$1$に変わりました」

ユーリ「$5 - a^2 = 5 - 2^2 = 1$だから、$1$だよ?」

「それはわかってるんだけど、その意味がピンと来ないんだ。$$ R_1 = 5 - a^2 $$ だね」

テトラ「$10000$倍して考えますと、$$ 10000R_1 = 50000 - (100a)^2 $$ ということですね」

「そうか。そうだね」

ユーリ「これの意味って何になるの?」

テトラ「$50000$というのは、$55225$を《万の位》までで考えた数ですよね? それから、$(100a)^2 = 40000$に出てきた$100a$というのは、$\SQRT{50000}$を《百の位》までで考えた数です。 ということは、$50000 - (100a)^2$というのは……なんて言うんでしょうか、ズレの部分ですよね」

ユーリ「ズレ?」

「うんうん、誤差かな。テトラちゃんはいま一万倍して説明してくれたけど、 $5 - a^2$というのは、$\SQRT{5}$を$2$で近似したときの誤差のようなものだね」

ユーリ「うーん……よくわかんにゃい。あっ、あっちに説明図のパネルがあるよ! きっとヒントだよ! 見に行こーよ」

「えー……見てしまうつもり?」

テトラ「もう少し考えてからにしましょうよ、ユーリちゃん」

ユーリ「総攻撃くらったし」

「だからね。まず、僕たちが求めようとしているのは、$\SQRT{55225}$なんだけど、それを一気に求めるんじゃなくて、どうやら上の位から求めようとしているらしい。 《百の位》は大小関係で$a = 2$だとわかった。$\SQRT{55225}$は$2XX$という形らしい。でも、まだ、正確じゃない」

ユーリ「まだ正確じゃないから、ズレを考えるってこと? そっか、ズレの部分も同じように繰り返して調べればいーんだ」

テトラ「あたしもそう思いました。ですから$55225$を$15225$にしたのもわかります。これって、$5.5225$から$4.0000$を引いて$1.5225$にしたようなものなんですよ」

「それはいいんだけど、問題は、同じように繰り返すというのはどういうことか、だと思う」

リサ「正確な繰り返しはアルゴリズムの基本」

僕たちがあれこれ議論しているところに、背後から一言。 びっくりして振り向くと、真っ赤な髪が目立つリサの去りゆく後ろ姿だけが見えた。

ユーリ「あー、驚いた」

(r05)

ヒント:$4$は、$a$に$a$を加えて得た。

テトラ「$2$が$4$になりました。$4$は、$a$に$a$を加えて得た?」

ユーリ「$2 + 2 = 4$」

「$a + a = 2a$」

テトラ「$2$乗を計算するのに、$2$倍がどう関係するんでしょう」

「これだけじゃ、まだわからないなあ。《$2$倍の謎》とメモしておくか」

ユーリ「どんどん行こーよ」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

brv00 昔習った筆算と同じやり方でした。 8ヶ月前 replyretweetfavorite

tks564bys0000 【コラム】 8ヶ月前 replyretweetfavorite

wol564b =コラム= 8ヶ月前 replyretweetfavorite

pek5845 -コラム- 8ヶ月前 replyretweetfavorite