第184回　バビロニアの数学（後編）

$ \newcommand{\SQRT}[1]{\sqrt{\mathstrut #1}} $

双倉図書館にて

（第183回の続き）

僕「なるほどね……ちゃんと対処されたんだ」

ユーリ「対処されてないじゃん！　数字の末尾に使われないんでしょ？　だったら、やっぱり、$1$と$60$は区別つかない！」

僕「確かに。$1=1\times60^0$と$60=1\times60^1+0\times60^0$の区別が付かないな。うーん、どうするんだろう」

ユーリ「パネルに解説ついてるみたい」

僕「なになに……『適切なスケールファクタ、すなわち$60$の冪指数は、文脈によって補うことになっており、 たとえば$2, 120, 7200, \frac1{30}$などが、どれも同じ表記になっていた』そうだよ。 クヌース『The Art of Computer Programming Vol.2』より、と」

ユーリ「なにそれひどい！　それで複雑な問題解けるの？　足し算とか掛け算とかめちゃくちゃになるじゃん！」

僕「いや、そうでもないんじゃないかな。二つの数を足すときには両方の桁が《そろっている》ことが大事だよね。桁をずらして足しちゃまずいけど、そろっていれば大丈夫」

ユーリ「ちょっと待ってよー。だって、バビロニアだと$1$と$60$が同じなんだよ？　だったら、同じもの同士を足して$1+1=2$と$60+60=120$が同じなの？　$2$と$120$が同じ？」

僕「同じだね。さっきの解説にも書いてあった。$2,120,7200,\frac1{30}$は同じ表記だって」

ユーリ「む……そっか、$2, 120, 7200, \frac1{30}$ってゆーのは、$60$倍や$60$分の$1$を繰り返したってことか……」

僕「そうだね。ほら、僕たちだって似たようなことやるよ」

ユーリ「やんないよー」

僕「やるって。たとえば、$3000$と$4000$を足すとき、両方のスケールファクタが$1000$で同じだから、$3+4=7$という計算をして$7000$という答えを出すよね。 $3+4=7$の計算をするときには$1000$をいったん忘れていたわけだ。 両方のスケールファクタがそろっているなら、うまく計算できる。 もちろん最後に実際のスケールファクタを思い出さなくちゃいけないけどね」

ユーリ「掛け算も？」

僕「うん、そうだね。僕たちが$1.23 \times 4.5$のような掛け算をするときのことを考えればわかるよ。いったん小数点のことを忘れて筆算をして、 最後に正しい位置に小数点をつけるよね。 だから掛け算途中では、$123\times45$なのか、$1.23\times4.5$なのか、$12.3\times0.45$なのかは気にしてないはず」

ユーリ「むー……確かにそーだけど」

僕「そろそろ、次のパネルに行ってみよう」

ユーリ「あ、クイズっぽいよ」

僕「これは……」

ユーリ「またまた暗号解読！」

僕「まずは、僕たちの表記に直さないと」

ユーリ「まかせた」

僕「おいおい」

ユーリ「にゃるほど……わかったよん」

僕「早いな」

ユーリ「ユーリさまをナメないでよー。だって《$2$と$30$》《$3$と$20$》《$4$と$15$》《$5$と$12$》と見てきたら、すぐにわかるもん。これって、《掛けたら$60$になる数表》ってことでしょ？」

$$ \begin{align*} 2 \times 30 &= 60 \\ 3 \times 20 &= 60 \\ 4 \times 15 &= 60 \\ 5 \times 12 &= 60 \\ \end{align*} $$

僕「うーん……僕もそう思ったんだけど……」

ユーリ「ぜんぶそーなってるもん！　《$6$と$10$》も掛けたら$60$だし、$8$と……あれ？ $730$？」

僕「いや、$730$じゃないよ。ほら、バビロニアは《六十進法》なんだから、上の位の$7$は$60$倍しないと、$(7,30)_{60} = 7 \times 60 + 30 = 450$ということだね」

ユーリ「$450$でもだめじゃん。《掛けたら$60$になる数表》だと思ったのになー！　$8$と$450$掛けても$60$にならない……」

僕「掛けたらどうなるだろう」

$$ 8 \times 450 = 3600 $$

ユーリ「$3600$……って、$60\times60$だよね？」

僕「そうか、この数表は《掛けたら$60$になる数表》じゃない。《掛けたら$60^n$になる数表》なんだ！」

ユーリ「えー？　じゃ、次の試してみる。$9$と$6,40$でしょ。$(6,40)_{60} = 6 \times 60 + 40 = 400$になる。それで、$9\times400$を計算すると……」

$$ 9 \times 400 = 3600 $$

僕「ほらね？　$3600=60^2$になった。やっぱり$60^n$になる」

ユーリ「へー！　表の残りにある組は、掛けると$60$になるよ。《$10$と$6$》と《$12$と$5$》だから。このクイズの答えは《掛けると$60$や$3600$になる数表》じゃないの？　お兄ちゃんは$60^n$だっていったけど、 結局$60$と$3600$しかないじゃん？　一般化しすぎだよー」

僕「そうかな……」

ユーリ「でも、なんで《掛けると$60$や$3600$になる数表》がいるんだろ？　計算に使ったって書いてあるけど」

僕「わかった！　わかったよ、ユーリ。僕たちはバビロニアの気持ちになってなかった。ユーリがいったように$1$と$60$は同じ書き方なんだ。だから、なるほどなあ！」

ユーリ「どーどー。ひとりで興奮しないで」