僕:数学が好きな高校生。
ユーリ:僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
リサ:自在にプログラミングを行う無口な女子。赤い髪の《コンピュータ少女》。
双倉図書館にて
(第183回の続き)
このイベントでは、さまざまな国の、古い時代の数学についてパネルが展示されている。
僕とユーリはバビロニアの数の表し方を学んだところ(第183回参照)。
ただし、この記号は数字の末尾に使われることはありませんでした。
僕「なるほどね……ちゃんと対処されたんだ」
ユーリ「対処されてないじゃん! 数字の末尾に使われないんでしょ? だったら、やっぱり、$1$と$60$は区別つかない!」
僕「確かに。$1=1\times60^0$と$60=1\times60^1+0\times60^0$の区別が付かないな。うーん、どうするんだろう」
ユーリ「パネルに解説ついてるみたい」
僕「なになに……『適切なスケールファクタ、すなわち$60$の冪指数は、文脈によって補うことになっており、 たとえば$2, 120, 7200, \frac1{30}$などが、どれも同じ表記になっていた』そうだよ。 クヌース『The Art of Computer Programming Vol.2』より、と」
ユーリ「なにそれひどい! それで複雑な問題解けるの? 足し算とか掛け算とかめちゃくちゃになるじゃん!」
僕「いや、そうでもないんじゃないかな。二つの数を足すときには両方の桁が《そろっている》ことが大事だよね。桁をずらして足しちゃまずいけど、そろっていれば大丈夫」
ユーリ「ちょっと待ってよー。だって、バビロニアだと$1$と$60$が同じなんだよ? だったら、同じもの同士を足して$1+1=2$と$60+60=120$が同じなの? $2$と$120$が同じ?」
僕「同じだね。さっきの解説にも書いてあった。$2,120,7200,\frac1{30}$は同じ表記だって」
ユーリ「む……そっか、$2, 120, 7200, \frac1{30}$ってゆーのは、$60$倍や$60$分の$1$を繰り返したってことか……」
僕「そうだね。ほら、僕たちだって似たようなことやるよ」
ユーリ「やんないよー」
僕「やるって。たとえば、$3000$と$4000$を足すとき、両方のスケールファクタが$1000$で同じだから、$3+4=7$という計算をして$7000$という答えを出すよね。 $3+4=7$の計算をするときには$1000$をいったん忘れていたわけだ。 両方のスケールファクタがそろっているなら、うまく計算できる。 もちろん最後に実際のスケールファクタを思い出さなくちゃいけないけどね」
ユーリ「掛け算も?」
僕「うん、そうだね。僕たちが$1.23 \times 4.5$のような掛け算をするときのことを考えればわかるよ。いったん小数点のことを忘れて筆算をして、 最後に正しい位置に小数点をつけるよね。 だから掛け算途中では、$123\times45$なのか、$1.23\times4.5$なのか、$12.3\times0.45$なのかは気にしてないはず」
あとから正しい位置に小数点をつける
ユーリ「むー……確かにそーだけど」
僕「そろそろ、次のパネルに行ってみよう」
ユーリ「あ、クイズっぽいよ」
これはバビロニア人が計算で利用した数表の一部です。 いったい何の数表でしょうか。
僕「これは……」
ユーリ「またまた暗号解読!」
僕「まずは、僕たちの表記に直さないと」
ユーリ「まかせた」
僕「おいおい」
ユーリ「にゃるほど……わかったよん」
僕「早いな」
ユーリ「ユーリさまをナメないでよー。だって《$2$と$30$》《$3$と$20$》《$4$と$15$》《$5$と$12$》と見てきたら、すぐにわかるもん。これって、《掛けたら$60$になる数表》ってことでしょ?」
$$ \begin{align*} 2 \times 30 &= 60 \\ 3 \times 20 &= 60 \\ 4 \times 15 &= 60 \\ 5 \times 12 &= 60 \\ \end{align*} $$僕「うーん……僕もそう思ったんだけど……」
ユーリ「ぜんぶそーなってるもん! 《$6$と$10$》も掛けたら$60$だし、$8$と……あれ? $730$?」
僕「いや、$730$じゃないよ。ほら、バビロニアは《六十進法》なんだから、上の位の$7$は$60$倍しないと、$(7,30)_{60} = 7 \times 60 + 30 = 450$ということだね」
ユーリ「$450$でもだめじゃん。《掛けたら$60$になる数表》だと思ったのになー! $8$と$450$掛けても$60$にならない……」
僕「掛けたらどうなるだろう」
$$ 8 \times 450 = 3600 $$ユーリ「$3600$……って、$60\times60$だよね?」
僕「そうか、この数表は《掛けたら$60$になる数表》じゃない。《掛けたら$60^n$になる数表》なんだ!」
ユーリ「えー? じゃ、次の試してみる。$9$と$6,40$でしょ。$(6,40)_{60} = 6 \times 60 + 40 = 400$になる。それで、$9\times400$を計算すると……」
$$ 9 \times 400 = 3600 $$僕「ほらね? $3600=60^2$になった。やっぱり$60^n$になる」
ユーリ「へー! 表の残りにある組は、掛けると$60$になるよ。《$10$と$6$》と《$12$と$5$》だから。このクイズの答えは《掛けると$60$や$3600$になる数表》じゃないの? お兄ちゃんは$60^n$だっていったけど、 結局$60$と$3600$しかないじゃん? 一般化しすぎだよー」
僕「そうかな……」
ユーリ「でも、なんで《掛けると$60$や$3600$になる数表》がいるんだろ? 計算に使ったって書いてあるけど」
僕「わかった! わかったよ、ユーリ。僕たちはバビロニアの気持ちになってなかった。ユーリがいったように$1$と$60$は同じ書き方なんだ。だから、なるほどなあ!」
ユーリ「どーどー。ひとりで興奮しないで」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)