第184回 バビロニアの数学(後編)

「1, 24, 51, 10 に意味なんてあるの?」とユーリは言った。「いにしえの数学」第2章後編。
登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

リサ:自在にプログラミングを行う無口な女子。赤い髪の《コンピュータ少女》。
$ \newcommand{\SQRT}[1]{\sqrt{\mathstrut #1}} $

双倉図書館にて

第183回の続き)

ユーリは双倉図書館(ならびくらとしょかん)で開催されているイベント《いにしえの数学》を見学中。

このイベントでは、さまざまな国の、古い時代の数学についてパネルが展示されている。

ユーリはバビロニアの数の表し方を学んだところ(第183回参照)。
バビロニアの記数法をそのまま使うと、$3601$と$61$が紛らわしくなります。 そのため、アレクサンダー大王征服の時代までには、 空位を表す新しい記号が考案されました。



ただし、この記号は数字の末尾に使われることはありませんでした。

「なるほどね……ちゃんと対処されたんだ」

ユーリ「対処されてないじゃん! 数字の末尾に使われないんでしょ? だったら、やっぱり、$1$と$60$は区別つかない!」

バビロニアの記数法、$1$と$60$

「確かに。$1=1\times60^0$と$60=1\times60^1+0\times60^0$の区別が付かないな。うーん、どうするんだろう」

ユーリ「パネルに解説ついてるみたい」

「なになに……『適切なスケールファクタ、すなわち$60$の冪指数は、文脈によって補うことになっており、 たとえば$2, 120, 7200, \frac1{30}$などが、どれも同じ表記になっていた』そうだよ。 クヌース『The Art of Computer Programming Vol.2』より、と」

ユーリ「なにそれひどい! それで複雑な問題解けるの? 足し算とか掛け算とかめちゃくちゃになるじゃん!」

「いや、そうでもないんじゃないかな。二つの数を足すときには両方の桁が《そろっている》ことが大事だよね。桁をずらして足しちゃまずいけど、そろっていれば大丈夫」

ユーリ「ちょっと待ってよー。だって、バビロニアだと$1$と$60$が同じなんだよ? だったら、同じもの同士を足して$1+1=2$と$60+60=120$が同じなの? $2$と$120$が同じ?」

「同じだね。さっきの解説にも書いてあった。$2,120,7200,\frac1{30}$は同じ表記だって」

ユーリ「む……そっか、$2, 120, 7200, \frac1{30}$ってゆーのは、$60$倍や$60$分の$1$を繰り返したってことか……」

「そうだね。ほら、僕たちだって似たようなことやるよ」

ユーリ「やんないよー」

「やるって。たとえば、$3000$と$4000$を足すとき、両方のスケールファクタが$1000$で同じだから、$3+4=7$という計算をして$7000$という答えを出すよね。 $3+4=7$の計算をするときには$1000$をいったん忘れていたわけだ。 両方のスケールファクタがそろっているなら、うまく計算できる。 もちろん最後に実際のスケールファクタを思い出さなくちゃいけないけどね」

ユーリ「掛け算も?」

「うん、そうだね。僕たちが$1.23 \times 4.5$のような掛け算をするときのことを考えればわかるよ。いったん小数点のことを忘れて筆算をして、 最後に正しい位置に小数点をつけるよね。 だから掛け算途中では、$123\times45$なのか、$1.23\times4.5$なのか、$12.3\times0.45$なのかは気にしてないはず」

いったん小数点のことを忘れて筆算する



あとから正しい位置に小数点をつける

ユーリ「むー……確かにそーだけど」

「そろそろ、次のパネルに行ってみよう」

ユーリ「あ、クイズっぽいよ」

クイズ

これはバビロニア人が計算で利用した数表の一部です。 いったい何の数表でしょうか。

「これは……」

ユーリ「またまた暗号解読!」

「まずは、僕たちの表記に直さないと」

ユーリ「まかせた」

「おいおい」

ユーリ「にゃるほど……わかったよん」

「早いな」

ユーリ「ユーリさまをナメないでよー。だって《$2$と$30$》《$3$と$20$》《$4$と$15$》《$5$と$12$》と見てきたら、すぐにわかるもん。これって、《掛けたら$60$になる数表》ってことでしょ?」

$$ \begin{align*} 2 \times 30 &= 60 \\ 3 \times 20 &= 60 \\ 4 \times 15 &= 60 \\ 5 \times 12 &= 60 \\ \end{align*} $$

「うーん……僕もそう思ったんだけど……」

ユーリ「ぜんぶそーなってるもん! 《$6$と$10$》も掛けたら$60$だし、$8$と……あれ? $730$?」

「いや、$730$じゃないよ。ほら、バビロニアは《六十進法》なんだから、上の位の$7$は$60$倍しないと、$(7,30)_{60} = 7 \times 60 + 30 = 450$ということだね」

ユーリ「$450$でもだめじゃん。《掛けたら$60$になる数表》だと思ったのになー! $8$と$450$掛けても$60$にならない……」

「掛けたらどうなるだろう」

$$ 8 \times 450 = 3600 $$

ユーリ「$3600$……って、$60\times60$だよね?」

「そうか、この数表は《掛けたら$60$になる数表》じゃない。《掛けたら$60^n$になる数表》なんだ!」

ユーリ「えー? じゃ、次の試してみる。$9$と$6,40$でしょ。$(6,40)_{60} = 6 \times 60 + 40 = 400$になる。それで、$9\times400$を計算すると……」

$$ 9 \times 400 = 3600 $$

「ほらね? $3600=60^2$になった。やっぱり$60^n$になる」

ユーリ「へー! 表の残りにある組は、掛けると$60$になるよ。《$10$と$6$》と《$12$と$5$》だから。このクイズの答えは《掛けると$60$や$3600$になる数表》じゃないの? お兄ちゃんは$60^n$だっていったけど、 結局$60$と$3600$しかないじゃん? 一般化しすぎだよー」

「そうかな……」

ユーリ「でも、なんで《掛けると$60$や$3600$になる数表》がいるんだろ? 計算に使ったって書いてあるけど」

「わかった! わかったよ、ユーリ。僕たちはバビロニアの気持ちになってなかった。ユーリがいったように$1$と$60$は同じ書き方なんだ。だから、なるほどなあ!」

ユーリ「どーどー。ひとりで興奮しないで」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

wed7931 分数を1/60の累乗の和で表したり、√2の近似値を求めたり、古代の数学って想像以上に発達してたという印象。我々は10進数に縛られすぎなのかな。 1年以上前 replyretweetfavorite

chibio6 バビロニアの数学、√2の近似値が出てくるなんて高度だと思った。最後の√2の求め方、どうしてあの手順を繰り返すと求まるのか、じっくり考えたい。 1年以上前 replyretweetfavorite

alex_sherias ナナ・ゼロ・ナナちゃん懐かしい 1年以上前 replyretweetfavorite

0921Az |結城浩 @hyuki |数学ガールの秘密ノート ほうほう···なるほどー···ふむふむ···む!!アルゴリズムキタァァァァァァ!!https://t.co/JJdZ3xuyE4 1年以上前 replyretweetfavorite