第175回　どう見つけたのかは問わないで（前編）

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図書室にて

テトラ「ユーリちゃんの気持ち、よくわかりますっ！」

僕「というと？」

テトラ「《すべて》や《任意の》が省略されているのは困るというお話ですよね。《実数を$2$乗したら$0$以上になるか？》と聞かれたとき、 正確には《任意の実数を$2$乗したら……》と聞かれているわけですから」

僕「そうだね。ユーリからも言われたよ。『省略するなー！』って。でも、話しているときにいちいち《任意の》を付けていると長くなってしまって、 何をいってるかわかりにくくなることもあるから……もちろん、 証明するときにはそこはきちんと理解しておかないとまずいけど」

テトラ「そういえば、あたしも《すべて》で迷ったことがありました。いつでしたか、$2$次方程式を学んだときのことです。 問題集にこんな問いがありました」

僕「これは、満たすよね。$x^2 - 3x + 2$の$x$に$1$を代入すれば、値は$0$になるから。$1^2 - 3\cdot1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$で」

テトラ「はい。それはよかったんですが、その後、こんな問題が……」

僕「なるほど？」

テトラ「$x = 1$だ！　とあたしは思いました。だって直前に$x = 1$はこの方程式を満たすことを確かめましたから。 でも解答を見ると、$x = 1, 2$と書いてあったんです」

僕「そうだね。$x = 1$も$x = 2$もこの方程式を満たす数だから」

テトラ「でも、それって、何だか引っ掛けられたような気がしました。《方程式$x^2 - 3x + 2 = 0$の解をすべて求めよ》 だったら気付いたんですけれど」

僕「うんうん、テトラちゃんの考えはもっともだと思うよ。『方程式$x^2 - 3x + 2 = 0$の解を求めよ』 って問題はまちがいとは言いにくいけど、不親切だよね。 もっとちゃんというなら、 『$x$に関する$2$次方程式$x^2 - 3x + 2 = 0$の解をすべて求めよ』 とする方がいいと思うなあ」

テトラ「はい……」

僕「別の問い方で『$x$に関する$2$次方程式$x^2 - 3x + 2 = 0$を解け』というのもあるよね。これも《すべて》という言葉は出てきていないけど、《解をすべて求めよ》の意味になる」

テトラ「はい。もっとも……あたしは、答えが一つだけ見つかったときに《他にはないかな？》と考えないのはまずかったと思いました。 《すべて》を問われているかどうかを意識するのは大事ですよね」

僕「そういえば、さっきテトラちゃんが言ってた『解は$x = 1,2$』というのも、省略した言い方だよ」

テトラ「といいますと？」

僕「$x = 1,2$のコンマ（$,$）って何だろうという話。これは『$x = 1$または$x = 2$』という意味で使っていると思うんだけど」

テトラ「ああ、確かにそうですね。《または》の意味に……ええ？　《または》なんですか？　だって、この方程式の解は$x = 1$と$x = 2$の両方ですよね。 両方だったら《かつ》ではないんでしょうか」

僕「ええと……ああ、いやいや、《または》でいいよ。$x = 1$と$x = 2$の両方が解なんだけど、その《両方》の意味は、 $x = 1$でもいいし、$x = 2$でもいいってことだよね。 だって、$x$に$1$を代入しても方程式を満たすし、 $x$に$2$を代入しても方程式を満たすんだから」

テトラ「ははあ」

僕「《かつ》にしてしまうと変なことになるよ。だって、$x = 1$と$x = 2$を同時に満たす$x$は存在しないから」

テトラ「ああ、確かにそうですね。納得です。《または》なんですね……なかなか難しいです」

僕「うん。だったら《論理》の世界から《集合》の世界に移ると、もっとわかりやすくなると思うよ」

集合の世界へ

テトラ「集合の……世界ですか」

僕「うん、そうだよ。話を簡単にするために《実数全体の集合》の範囲で考えることにするね」

テトラ「はい」

僕「それで、さっきの方程式を実数$x$に関する述語だと考えるんだよ。述語は条件ともいうけど」

$$ \begin{align*} x^2 - 3x + 2 &= 0 && \text{$x$に関する$2$次方程式} \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 && \text{$x$に関する述語（条件といってもいい）} \\ \end{align*} $$

テトラ「はい……」

僕「それで、この述語に$P(x)$と名前を付ける」

テトラ「$P(x)$」

僕「ここで、$P(x)$の$x$に実数を何か代入すると、$P(x)$は真になったり偽になったりするわけだよね？　たとえば、 $P(1)$は真になる」

テトラ「それはそうですね。$P(1)$は$x^2 - 3x + 2 = 0$の$x$に$1$を代入したわけですから。 真になります……それから、$P(2)$も真になります。 方程式を解いたのと同じですね？」

僕「《解いた》というよりも、$x = 1$や$x = 2$が《解であることを確かめた》 という方が正しいかな。$x = 1$や$x = 2$というのが与えられて、 $P(x)$の真偽を確かめたわけだから」

テトラ「ははあ」

僕「それで……たとえば円周率$\pi$を$x$に代入したら、$P(x)$は偽になる。つまり$P(\pi)$は偽」

テトラ「はい、わかります……あの、これは何をやっていらっしゃるんでしょうか」

僕「話が回りくどくなっちゃったね。$x$に関する述語$P(x)$を考えたとき、《$P(x)$を真にする実数全体の集合》というものを考えることができる、 っていいたかったんだ」

テトラ「$P(x)$を真にする実数……全体の集合」

僕「具体的に書くと、こういう集合」

テトラ「……」

僕「$1$と$2$だけを要素にする集合だね。こんなふうに、《与えられた述語を真にする要素全体の集合》のことを、 その述語の真理集合（しんりしゅうごう）っていうんだよ」

テトラ「ということは、$\SETL 1, 2 \SETR$は、$P(x)$の《真理集合》ということですか？」

僕「その通り。その確認はさすがテトラちゃんだね」

テトラ「は、はい。恐縮です……でも、これってSo what?（だから、なに？）ですよね。ち、違いますか？」

僕「そうだね。方程式の解を集合で表しただけの話だから。でも、これで集合の世界に移ったから、さっきの話の確認ができるよ」

テトラ「さっきの話……とは？　すみません」

僕「ほら、方程式$x^2 - 3x + 2 = 0$の解は$x = 1 \LOR x = 2$であるという話。こんなふうに二つの式を並べてみれば《論理の世界》と《集合の世界》 に対応関係があることがよくわかるよね」

テトラ「ははあ……わかってきました！　$x = 1 \LOR x = 2$は論理の世界の言葉で、 $\SETL 1 \SETR \cup \SETL 2 \SETR$は集合の言葉ということですね！」

僕「そう！　それでその両方がきれいに対応しているんだ。

• $x = 1$という述語は$\SETL 1 \SETR$という集合に、
• $x = 2$という述語は$\SETL 2 \SETR$という集合に、
• $\LOR$という論理演算は$\cup$という集合演算に、

それぞれ対応しているのがわかる。 それでね、 《$2$次方程式$x^2 - 3x + 2 = 0$を解け》という代数の問いかけは、 《$x = 1 \LOR x = 2$》という述語を求めているともいえるし、 《$\SETL 1 \SETR \cup \SETL 2 \SETR$》という集合を求めているともいえるんだね」

テトラ「うわわっ……なんだかいろんなものが繋がりますっ！」

僕「だよね」

テトラ「ちょ、ちょっとすみません。いまさらですけれど、$\cup$というのは和集合……でいいんですよね？」

僕「うん、そうだよ。二つの集合の要素をすべて集めて作った集合になるね」

$$ \SETL 1 \SETR \cup \SETL 2 \SETR = \SETL 1, 2 \SETR $$

テトラ「はい、わかりました」

同値変形

僕「$2$次方程式を因数分解で解くときには、こんな論理の流れを使って解いていることになるよ。 最初の条件を、 同値な別の条件にどんどん変形していくんだね」

テトラ「同値な条件に……する」

僕「何か引っかかる？　同値変形ってよくやるよね？」

テトラ「いえ、はい、よくわかります。あのですね。引っかかっていたわけではなく、 同値変形というのをしっかりとは意識してなかったな、 と思っていたんです。たとえば、 $$ x - 1 = 0 $$ という式を $$ x = 1 $$ のようにするのはよくやります。 $1$を左辺から右辺に移項していますよね。 それは計算として無意識にやっていますけど、 《条件を同値変形させている》とは意識してなくて……」

僕「ああ、そこか。そうだね。計算としてささっとやるから、 確かに意識しないことは多いかも。 でも$x - 1 = 0$という条件が成り立てば、$x = 1$は成り立つし、 逆に$x = 1$が成り立つなら$x - 1 = 0$が成り立つわけだから、同値な条件を作っているんだね」

テトラ「そうですね」

僕「そこが気になるなら、$(x - 1)(x - 2) = 0$から$x - 1 = 0 \LOR x - 2 = 0$という 同値変形も意識するとおもしろいよ。 《$2$個の実数の積が$0$に等しかったら、 少なくともどちらか一方は$0$に等しい》というのを論理的に式で書いていることになるから」

テトラ「そうですね……因数分解して方程式を解くというのは、当たり前のように計算してますけど、 論理的に考えると、条件を同値変形していることになるんですね」

集合の言葉で

僕「さっき、条件$P(x)$を真にする要素の集合として、《真理集合》という話をしたけど、それって、こんなふうに書くことができるよ」

テトラ「これは？」