僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。 僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
僕の部屋
ユーリ「ねーお兄ちゃん。退屈なんだけど」
僕「もう、本は読み終わったの？」
ユーリ「本は飽きちゃった。ねー、退屈退屈！」
僕「ユーリは退屈であることを表明している」
ユーリ「なにそれ」
僕「いや、客観的事実を文章で描写することによる状況分析」
ユーリ「……それ、楽しい？」
僕「特に楽しくはないけど」
ユーリ「どっと疲れた。何かおもしろい話ないの？」
僕「ユーリはおもしろい話を求めている」
ユーリ「ねー、ちょっと叩いてもいい？」
僕「わかった、わかったよ。そうだなあ……ユーリは、こんなクイズを知ってるかなあ」
ユーリ「なになに？」
片面に整数が書いてあり、 その裏側に動物が書いてあるカードがたくさんある。
その中から取り出した四枚のカードが机の上に並べてある。
［$13$］と［$40$］の裏側には動物が書いてあり、 ［猫］と［犬］の裏側には整数が書いてある。 同じ動物や同じ整数が書いてあるかもしれないが、 カードをめくらなければ裏側はわからない。
ここに並べられている四枚のカードが、 以下のルールを満たしていることを確かめるには、 どのカードをめくらなければならないか。 めくらなければならないカードをすべて選べ。
ルール：片面が［猫］ならば、その裏側は奇数である。
（※イラストは「いらすとや」さんから）
僕「クイズの意味はわかるよね？ カードが……」
ユーリ「わかるわかる！ カードがあって、猫とか犬とか書いてあって、めくると整数が書いてあるんでしょ？ で、猫の裏側は奇数か？」
僕「そうそう。ざっくり言うとそうだね」
ユーリ「猫の裏側が奇数かどうかを確かめるんだから、奇数の［$13$］と［猫］をめくればいーんじゃないの？」
僕「そう思うよね。でも……」
ユーリ「待った！ 待って待って！ お兄ちゃんが《そう思うよね》と言ったときはヤバい」
僕「ヤバいとは？」
ユーリ「何か《引っ掛け》が混じってるってこと！ も少し考える！」
僕「はいはい」
ユーリ「……このクイズ、おもしろいね」
僕「そう？」
ユーリ「ユーリわかったよ！ あのね、めくらなくちゃいけないのは、［猫］と［$40$］でしょ？」
僕「はい、正解です」
ユーリ「やたっ！」
《片面が［猫］ならば、その反対面は奇数である》というルールを満たしていることを確かめるには、 ［猫］と［$40$］の二枚をめくらなければならない。
僕「そのようすだと、理由もちゃんとわかっているみたいだね」
ユーリ「わかってるよん。［猫］の裏側が奇数なんだから、［猫］はめくる必要あるじゃん。 でも［$13$］はもともと奇数だからどーでもよくて、 偶数の［$40$］はチェックがいる。［犬］はどーでもいい」
僕「うん、わかっている人が聞いたら、その答え方でユーリがわかっていることはわかるだろうね」
ユーリ「なにその言い方」
僕「順序立てて確かめてみようか。［$13$］をめくらなくてもいい理由は？」
ユーリ「奇数はどーでもいいから！」
僕「どうでもいいというのは？」
ユーリ「えーとね、いま知りたいのは［猫］の裏側が奇数かどうかでしょ？」
僕「そうだね」
ユーリ「［猫］の裏側が奇数かどうかを知りたい。もしも、奇数である［$13$］の裏側が［猫］だったら、 それで問題ないでしょ？」
僕「問題ないね。［猫］の裏側は奇数であるというルールは破られない」
ユーリ「でも、もしも［$13$］の裏側が［犬］でも［ライオン］でも、そんなのは［猫］とは関係ないじゃん？」
僕「そうそう。［$13$］の裏側が［猫］以外だったら、［猫］の裏側は奇数であるというルールはやっぱり破られない」
ユーリ「だから結局、［$13$］の裏側が何であるかなんて、確かめる必要はぜーんぜんない。影響ないもん」
僕「その通り！ じゃ、次のカード。［猫］をめくる必要があるのはなぜ？」
ユーリ「これはめくる必要あるよー。あったりまえじゃん。だって［猫］の裏側が奇数だったらいーけど、 偶数だったらアウト！だもん」
僕「そうなるね。［猫］の裏側は奇数であるというルールは、［猫］の裏側が偶数だったら破られた。 でも［猫］の裏側が奇数だったら破られない。 だから、めくって確かめる必要がある」
ユーリ「そだね」
僕「じゃあ、その次のカード。［$40$］をめくる必要があるのはなぜ？」
ユーリ「これ！これがおもしろかった！だって、［$40$］って偶数だから、めくって［猫］ならアウトだもん！」
僕「そうだね。［猫］の裏側は奇数であるというルールは、偶数である［$40$］の裏側がもしも［猫］だったら破られる。 だって、［$40$］の裏側が［猫］になってるカードは、 ［猫］の裏側が偶数になってるカードってことだからね」
ユーリ「［$40$］をめくって［イルカ］だったらセーフ」
僕「なぜにイルカ？ でも、その通り。［$40$］をめくって、［猫］以外が出れば問題はない。だって、そのカードは、 ［猫］の裏側が奇数というルールとは無関係だから」
ユーリ「最後のカードの［犬］も無関係だから、めくらなくていい」
僕「その通り。［猫］の裏側は奇数であるという主張を確かめるのに、［犬］のカードは関係がない。［犬］の裏側が偶数でも奇数でも、 主張に影響しないからね」
ユーリ「あのね、ユーリがおもしろい！って思ったのは、［$40$］のカードなの。これって偶数なのにめくる必要があるじゃん？ 《［猫］の裏側は奇数である》の中に偶数は出てこない。 だから偶数のカードは無関係かと思わせといて、 実はそれをめくる必要があるの。それがおもしろかった！」
僕「いいね！ お兄ちゃんもそう思うよ。でもね、いまユーリは《［猫］の裏側は奇数である》の中に偶数は出てこないから、 偶数のカードは無関係って言ったけど、 論理的にいえば、無関係じゃないよね」
ユーリ「へ？」
僕「だって、整数は偶数か奇数かのどちらかなんだから、《奇数である》は《偶数ではない》と言い換えられる。 だから無関係じゃないんだ」
ユーリ「あー……ま、そだね」
僕「論理的な話をするとき、的確に言い換えるのは大事なんだよ。たとえば、《［猫］の裏側は奇数である》は、 《［猫］の裏側は偶数ではない》と言い換えても問題がおきないよね？」
ユーリ「おおー、確かに！ そっか……《［猫］の裏側は偶数ではない》を確かめるって考えると、 偶数の［$40$］をめくるのはそんなにおかしくないね」
僕「でも……よく考えてみると、確かにこのクイズはおもしろいな」
ユーリ「なにいまさら」
僕「いや、お兄ちゃんはこのクイズ、何かの本で見かけたんだけど、そのときはあまり気にしてなかったんだ。 でも改めてユーリに出題してみると、このクイズのおもしろさがわかったような気がする」
ユーリ「そなの？」
僕「たとえばね、この二つのルールって、同じことをいってると思う？」
- （Ａ）［猫］の裏側は、偶数である。
- （Ｂ）偶数の裏側は、［猫］である。
ユーリ「えーと？ うん。同じこと……んにゃっ！ 違うにゃっ！」
僕「ユーリは猫にならなくていいから。この（Ａ）と（Ｂ）は違うこといってるよね。 ［猫と$40$］［犬と$40$］［イルカと$13$］という三枚のカードがあったとしたら、 ルール（Ａ）は正しいけれど、ルール（Ｂ）はまちがっている。 だって、偶数の［$40$］の裏側が［犬］になっているカードがあるから」
ユーリ「そーだね！ 順番が入れ替わっただけなのに、意味がちがっちゃうんだ！」
僕「じゃあね、今度はこの二つのルールって同じことをいってると思う？」
- （Ｃ）［猫］の裏側は、偶数である。
- （Ｄ）奇数の裏側は、［猫］ではない。
ユーリ「うー……たぶん。たぶん、同じこといってると思う」
僕「同じこといってるって断言はできない？」
ユーリ「……断言できる。できる！ だってね、［猫］の裏側が必ず偶数だとしたら、奇数の裏側が［猫］になるはずないもん！」
僕「おお。そうだね。そして……」
ユーリ「そして、［猫］の裏側が偶数でないカードがあるとしたら、そのとき、奇数の裏側が［猫］になってるカードがあるってことだから！」
僕「すごいすごい」
ユーリ「へへ……これって、お兄ちゃん教えてくれたことあるよね」
僕「そうだね。よく覚えてたね。論理の話だ」
ユーリ「もう忘れちゃったけど」
僕「がく」
ユーリ「ややこしーんだもん」
僕「いやいや、論理っていうのはもともと《ややこしいものを解きほぐして、整理して、まちがいがないように考える》ためのものだよ。 ひとつひとつはあたりまえのように見えることだけど、 それを積み重ねていくと、うっかりミスを防いだり、 誤解しないようにできる。数学の問題を考えるときも、 論理を使っていることを意識した方がいい」
ユーリ「おー！ 《先生トーク》……」
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この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
