第158回 3を作って0にする(後編)

「ちょっと待てよ。いま僕たちはすごい《数》を作ってしまったかもしれない!」と僕はユーリに言った。「数を作る」第4章後編。
登場人物紹介
:数学が好きな高校生。
ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
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僕の部屋

ユーリは《整数を$3$で割った余り》が作る数についておしゃべりをしていた。

ユーリ「いろんな種類の数があるんだにゃあ。数から別の数を作ってく……」

「そうだね。《整数》という数から、$3$で割った余りを考えることで《$3$角形の整数$\{0,1,2\}$》を作った……ん? 待てよ、 ということは、もっとおもしろいものが作れそうな……」

ユーリ「なになに? どんなの?」

「うん、きっと《おもしろい数》が出てくるはずだよ。ちょっと待ってくれるかな、ユーリ」

ユーリ「やだ」

「え?」

ユーリ「待つの、やだ。お兄ちゃん、いまから一人で、さっさかさっさか計算しようとしてるでしょ。 そーゆーのやめてほしーな。いっしょに計算しよーよー」

「……わかった。わかったよ。じゃあ、いっしょに計算しよう。途中で行き詰まるかもしれないけどね」

ユーリ「ユーリが助けたげるよ」

「頼もしいな……」

余りを考える

ユーリ「そんで、お兄ちゃんは何を計算しようとしてたの?」

「さっきは《整数を$3$で割った余り》を使って計算をしていたよね」

ユーリ「そだね。$\{0,1,2\}$でしょ?」

「整数を$3$で割ると、その余りは$0,1,2$のどれかになる。そして、$3$で割った余りというのは、掛け算を使って表すことができるよね」

ユーリ「余りを、掛け算を使って表す……?」

「そうだよ。具体的にはこういう式のこと」

《整数を$3$で割った余り》

整数$n$を$3$で割ったときの余りを$r$とすると、次の式が成り立つ。
$$ n = 3q + r $$
ただし、商$q$は整数。また、余り$r$は非負整数で、$3$以上ではない。

ユーリ「えーと。どゆこと?」

「$n$という整数が与えられたとする。その整数$n$を$3$で割って余り$r$を求めたときには、 $n = 3q + r$が成り立つよ、ということ。 言い換えると、 $n$から$3$の倍数$3q$を引き算して、 その結果が$0,1,2$になるようにする。それが余り$r$だという話だけど」

ユーリ「うわ、何そのややこしー言い方!」

「でもそうだろ?」

ユーリ「$n$から$3$の倍数を引いて、残ったのが$0,1,2$になってたら、それが余り。余りは$3$以上ではない。ま、そだね」

「たとえば、$7$を$3$で割るとする。$3$の倍数として、$3\times2 = 6$を選んで、$7 - 6 = 1$を計算して余りが$1$になる。それは、さっきの式、 $$ n = 3q + r $$ で、$n = 7, q = 2, r = 1$にしたことになる」

ユーリ「めちゃめちゃくどいけど、いーよ」

「いまは$3$で割ったけど、一般化することも簡単にできる。《$3$で割る》代わりに《$m$で割る》んだよ」

ユーリ「でたな。お兄ちゃん得意の一般化! でも$3$を$m$にするだけじゃん」

「そうだね」

《整数を$m$で割った余り》

整数$n$を$0$以外の整数$m$で割ったときの余りを$r$とすると、次の式が成り立つ。
$$ n = mq + r $$
ただし、商$q$は整数。 また、余り$r$は非負整数で、$|m|$以上ではない。

ユーリ「ほほー。いま、さりげなーく《$0$以外の》って条件付けたね、$m$に」

「さすがにめざといな。そうしないと《ゼロ割》が起きてしまうからね」

ユーリ「ふふん」

「絶対値は見逃した?」

ユーリ「え?」

「ほら、『余り$r$は非負整数で、$|m|$以上ではない』というところ。$m$じゃなくて$|m|$だよ。 こうしておくと、$m < 0$のときでも余りが定義できる」

ユーリ「なーるほど……って、それでいいの?」

「いいよ。たとえば、$n = 8$を$m = -3$で割ることを考えてみよう。そうすると、 $$ n = mq + r $$ を満たす数として、$n = 8, m = -3, q = -2, r = 2$が得られる。 だから、この定義だと、$8$を$-3$で割った余りは$2$になるね」

別の掛け算へ

ユーリ「ところで、お兄ちゃんがやりたかった計算って、これのこと? 余りをわざわざくどく書くの」

「いやいや、話はここから始まるんだ。僕たちは《掛け算》を使って《余り》を求めるアイディアを式として整理した。さっきの、 $$ n = mq + r $$ という式のことだよ。 そこで今度は、まったく別の《掛け算》を使って、そこでの《余り》を考えてみよう」

ユーリ「なんですって? 別の掛け算……それはどんなものなんですか、センパイ!」

「テトラちゃんの真似しなくていいから」

ユーリ「ちぇ」

「そういう小芝居はいいよ。僕たちがここから考えるのは《多項式の掛け算》だよ。 多項式の掛け算を使って、割り算と余りを考える」

ユーリ「多項式って、$x + 3$や$x^2 + 2x$とか、そーゆーのだよね。掛け算知ってるよ。$2x + 1$と$x + 3$を掛けて、 $$ \begin{align*} (2x+1)(x + 3) & = 2x^2 + 6x + x + 3 \\ & = 2x^2 + 7x + 3 \end{align*} $$ みたいなの」

「そうだね。いまのユーリの計算では、多項式の《加・減》と《乗》を使ったことになる」

ユーリ「《減》は使ってないけどね……そんで?」

「うん。多項式での乗算ができるということは、さっきの《$m$で割った余り》みたいに《多項式で割った余り》 を考えることができるんだ」

ユーリ「ほほー! 掛け算を使って余りを考える……」

「こんなふうに書いてみよう」

《多項式$m(x)$で割った余り》

多項式$n(x)$を$0$以外の多項式$m(x)$で割ったときの余りを多項式$r(x)$とすると、次の式が成り立つ。
$$ n(x) = m(x)q(x) + r(x) $$
ただし、商$q(x)$は多項式。 また、余り$r(x)$は多項式で、$r(x)$の次数が$m(x)$の次数以上ではない。

ユーリ「あっ、おもしろい! さっきと同じ形!」

整数$n$を整数$m$で割ったときの、余りの整数$r$
$$ n = mq + r $$
多項式$n(x)$を多項式$m(x)$で割ったときの、余りの多項式$r(x)$
$$ n(x) = m(x)q(x) + r(x) $$

「そうそう、こうやって式を並べてみると、確かに$r(x)$は《余り》という感じがするよね。整数では、余り$r$に対して《$|m|$以上ではない》という条件が付いた。 多項式では、余り$r(x)$の次数に対して《$m(x)$の次数以上ではない》という条件が付く。 似てるよね」

ユーリ「次数って何だっけ。$x^2 + x + 1$が$2$次式とかゆーアレ?」

「そうだね。$x^2 + x + 1$が$2$次式とかいうソレ。多項式$x^2 + x + 1$の次数は$2$だね。 $x^2 + x + 1$という多項式には$x^2$という$2$次の項と、 $x$という$1$次の項と、$1$という$0$次の項があるから、 最高次数である$2$次をこの多項式の次数と決める。 ちゃんと書くと、 $$ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0 $$ という多項式は$a_n \neq 0$のとき《次数が$n$である》と呼ぶことにするんだよ」

ユーリ「ダウト。それだと、$0$の次数が決まんないね」

「うん? ……おっと、確かにそうだな。$0$を多項式とすると、$a_0 = 0$になるけど、これだと最高次の係数が非ゼロにならないな。特別扱いが必要になるか……」

割り算実行

ユーリ「そんで、お兄ちゃんが計算したかったのは《多項式の余り》なの?」

「そうなんだけど、そうじゃない。$x^2 + 1$という特定の多項式で割った余りを計算したかったんだ」

ユーリ「へー」

「具体的な話をしよう。さっき$7$を$3$で割って余りを$1$にしたように、 具体的な多項式を$x^2 + 1$で割ってみたい。たとえば、何がいいかな……たとえば、簡単な多項式で、 $$ x^3 + x^2 + x + 1 $$ を$x^2 + 1$で割ってみることにしよう」

問題1
多項式$x^3 + x^2 + x + 1$を多項式$x^2 + 1$で割り、余りを求めよ。

ユーリ「ちょっと待って。これってどーやって計算すんの?」

「$7$を$3$で割ったときと同じだよ。$7$から$3$の倍数を引いて、その結果が$0,1,2$に入るようにする。 それと同じように、$x^3 + x^2 + x + 1$から《$x^2 + 1$の倍数》を引くことになるね。 倍数といっても、数じゃなくて多項式だけど」

ユーリ「……」

「$x^2 + 1$は$2$次式だから、次数は$2$になる。だから、$x^3 + x^2 + x + 1$から《$x^2 + 1$の倍数》を引いて、 その結果が$1$次式になるようにしたいわけだね。余りは$Ax + B$という形になる」

ユーリ「さっぱりわかんない」

「それじゃ、多項式の割り算を筆算にして考えよう。そのほうがわかりやすいから。こんなふうに」

$x^3 + x^2 + x + 1$を$x^2 + 1$で割ろう(1)
筆算の形にする。

ユーリ「あ、数の割り算と同じように筆算をするんだね」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

masa_cosmos 実数係数多項式から複素数をつくる話 4年弱前 replyretweetfavorite

aramisakihime 一次式と複素数との構造の類似は私も演習などで話題にしたことがありますが、こういう使い方は初めてでした。 4年弱前 replyretweetfavorite

wed7931 感想その2。多項式の割り算って、高校数学の最初で天下り式に(個人的感想ですが…)習うけど、なんか動機がほしい。それが複素数の構成だと難しいけど、いい動機付けはないものか? 4年弱前 replyretweetfavorite

suzuki_emi こちらを読んでいると、なんとか頭は理解しようとフル回転するんだけど、懐かしい眠気を覚える。整数3をmに置き換えた辺りから眠い!n=mq+rまでは理解した! 4年弱前 replyretweetfavorite