第154回 -4を作ろう(後編)

「集合の足し算だけど、集合の足し算じゃない?」とユーリは考え込む……「数を作る」第2章後編。
登場人物紹介
:数学が好きな高校生。
ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。
$ \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} \newcommand{\LOOKSLIKE}{\quad\longleftrightarrow\quad} \newcommand{\TR}[1]{\langle#1\rangle} $
ユーリは、《ノイマンの方法》を使って『集合を使って数を作る』ことに挑戦している(第151回第152回)。 いまは、どうやって《引き算》が作れるか考えているところ。

第153回の続き)

ユーリ順序対(じゅんじょつい)というものを使えば、整数が作れる……でも、待ってお兄ちゃん!うっかりナットクしてしまいそーになりましたぜ」

「……」

ユーリ「お兄ちゃんは、$(m, 0)$を$m$だと見なして、$(0, n)$を$-n$と見なしてるわけだよね?」

《順序対と整数の対応付け》
$$ \begin{array}{lcr} & \vdots & \\ (0,5) & \LOOKSLIKE & -5 \\ (0,4) & \LOOKSLIKE & -4 \\ (0,3) & \LOOKSLIKE & -3 \\ (0,2) & \LOOKSLIKE & -2 \\ (0,1) & \LOOKSLIKE & -1 \\ (0,0) & \LOOKSLIKE & 0 \\ (1,0) & \LOOKSLIKE & 1 \\ (2,0) & \LOOKSLIKE & 2 \\ (3,0) & \LOOKSLIKE & 3 \\ (4,0) & \LOOKSLIKE & 4 \\ (5,0) & \LOOKSLIKE & 5 \\ & \vdots & \\ \end{array} $$

ユーリ「確かにこれだと、$2$と$3$を足せば$5$になるし、$-2$と$-3$を足せば$-5$になるけど……」

「……」

《$0$および正の数同士の足し算》
$$ \begin{align*} (m,0) + (n,0) &= (m+n,0) \\ (2,0) + (3,0) &= (2+3,0) = (5,0) \quad \LOOKSLIKE 5 \\ \end{align*} $$
《$0$および負の数同士の足し算》
$$ \begin{align*} (0,m) + (0,n) &= (0,m+n) \\ (0,2) + (0,3) &= (0,2+3) = (0,5) \quad \LOOKSLIKE -5 \\ \end{align*} $$

ユーリ「でもね、$3$と$-3$を足しても、$0$にならないじゃん! $(3,0)$と$(0,3)$はどーやって足すの? $(0,0)$にしなくちゃ!」

「そうだね。ユーリのいう通りだよ。僕たちがここまで考えてきたのはこういうことだったよね」

  • 集合を使って$0,1,2,3,\ldots$という数を作った。
  • $(m,0)$や$(0,n)$という順序対を作って、それを整数に対応付けた。
  • 《$0$および負の数同士の足し算》《$0$および正の数同士の足し算》を作ってきた。

ユーリ「うん」

「でも、ユーリのいう通り、負の数と正の数の《足し算》は定義していないね。まだ」

ユーリ「$(3,0)$を$3$だと思って、$(0,3)$を$-3$だと思うんだから、$$ (3,0) + (0,3) = (0,0) \qquad \text{(?)} $$ になってほしい!」

「うん、ミルカさんから教えてもらったのは、$(m,n)$という順序対はまるでベクトルみたいだ、ということなんだよ」

ユーリ「ベクトル? ここでベクトルが出てくるの?」

「そうだね。でも、ベクトルのことは気にしなくていいよ。ともかく、いまは$(a,b)$と$(c,d)$の足し算、 つまり《順序対の和》を次のように定義してみる」

《順序対の和》
$a,b,c,d$を《ノイマンの方法》で作った数($0,1,2,3,\ldots$)であるとする。
そして、二つの順序対$(a,b)$と$(c,d)$の和$(a,b)+(c,d)$を、
$$ (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) $$ で定義しよう。

ユーリ「なんか、急にややこしくなった」

「そんなことないよ。正の数同士、負の数同士の足し算をちょっと拡張しただけだよね。次の三つの式をよく見比べればわかるよ」

$$ \begin{align*} (a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) && \text{順序対の和} \\ (m,0) + (n,0) &= (m+n,0) && \text{$0$および正$\HIRANO$数同士$\HIRANO$和} \\ (0,m) + (0,n) &= (0,m+n) && \text{$0$および負$\HIRANO$数同士$\HIRANO$和} \\ \end{align*} $$

ユーリ「……あ、まー、そーだね。お兄ちゃんが言いたいのは、こーゆーことでしょ?」

$$ \begin{align*} (a,b) + (c,d) &= (a+c,b+d) && \text{順序対の和} \\ (a,0) + (c,0) &= (a+c,0+0) && \text{$b = 0, d = 0\HIRANO$場合} \\ (0,b) + (0,d) &= (0+0,b+d) && \text{$a = 0, c = 0\HIRANO$場合} \\ \end{align*} $$

「そうそう、そういうこと。《順序対の和》で、$b = 0, d = 0$や$a = 0, c = 0$とすれば、 《$0$および正の数同士の和》にも《$0$および負の数同士の和》にもなる」

ユーリ「にゃるほど。はい、おめでとーございます。これで整数全体の足し算ができましたねー……なんていかないよ! だって、やっぱり、 $$ (3,0) + (0,3) = (3+0,0+3) = (3,3) $$ だから、だめだもん! $(0,0)$にならなきゃいけないのに!」

「そうだね。$3$と$-3$を足したら$0$になってほしい。だから、 《$3$を表している順序対の$(3,0)$》と 《$-3$を表している順序対の$(0,3)$》を足したら、 《$0$を表す順序対である$(0,0)$》 になってほしい。ユーリの気持ちはまったく正しいよ」

ユーリ「ふむー……そんで? どーすんの?」

「そこで、こう考えてみる。《順序対の和》はさっきの定義のままにしておいて、 その上で、$(3,3)$と$(0,0)$は実は仲間だと見なす。 つまり、$(0,0)$だけじゃなくて、仲間である$(3,3)$も、$0$を表している順序対だ!……ということにする」

ユーリ「なにその、いきあたりばったりな考え方。数学とは思えない。テキトーな……んにゃ、それでもダメだよ、お兄ちゃん!  いまユーリは$(3,0)+(0,3)$の話をしたけど、 $(1,0)+(0,1)$はどーすんの?$1$と$-1$を足したら、 これも$0$になってほしーよ? でも$(1,0)+(0,1)=(1,1)$になっちゃうじゃん!」

「そうそう。だから、$(1,1)$も$(0,0)$の仲間であって、$0$を表している順序対だと見なそう!」

ユーリ「だって……だって……そんなことしたら、たくさんルールがいるじゃん。アレとコレは同じと見なす、 アレもコレもなんて、そんなの数学じゃないよー、やめてよー」

「そうでもないんだよ、ユーリ。いまは順番に考えてきたから、例として、$(3,3)$も$(1,1)$も$(0,0)$だと見なすという話になっちゃったけど、 いきあたりばったりに考えているわけじゃない。 $$ (m,m) $$ という形の順序対だけを$(0,0)$の仲間にしようというんだ。 $(a,b)$という順序対のうち、$a = b$を満たすものだけを集めて、 その全体で整数$0$を表すものだと見なそうということ」

ユーリ「……?」

「《$(m,m)$という順序対全体の集合》を《整数$0$》と呼ぼう!」

$$ \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\} \LOOKSLIKE \text{整数$0$} $$

ユーリ「……!」

「整数$0$と同じようにして、整数$1$を作ってみる。順序対$(1,0)$だけを$1$と見なしてしまうと、 ユーリが気にしているようなことがまた起きる。 たとえば、$(2,0)$と$(0,1)$という二つの順序対の和は、 $$ (2+0,0+1) = (2,1) $$ になるけど、 これって整数$2$と整数$-1$の和である整数$1$になってほしい。 だったら、$(2,1)$は$(1,0)$の仲間にしてあげたくなる。 そこでね、こんな順序対の集合を作って、それを改めて整数$1$と呼ぼう!」

$$ \{(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),\ldots\} \LOOKSLIKE \text{整数$1$} \\ $$

ユーリ「うー……」

「いま作った整数$1$は、$$ (m+1, m) $$ という形の順序対すべてからなる集合だよ」

ユーリ「そっか……仲間をぜんぶいれちゃう?」

「もしも《整数$-1$》を作りたかったら、どうする?」

ユーリ「……順序対$(m,m+1)$を仲間にしちゃう?」

「そうだね! $(m,m+1)$という形の順序対をぜんぶ集めて集合にする」

$$ \{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),\ldots\} \LOOKSLIKE \text{整数$-1$} $$

ユーリ「集めて……集合に」

「これで僕たちは、《順序対の集合》を使って、《整数》を作れたことになる」

《順序対の集合》で《整数》を作ろう
$$ \begin{array}{rcl} \text{順序対$\HIRANO$集合} & \LOOKSLIKE & \text{整数} \\ & \vdots & \\ \{(0,n),(1,n+1),(2,n+2),(3,n+3),\ldots\} & \LOOKSLIKE & \text{整数$-n$} \\ & \vdots & \\ \{(0,3),(1,4),(2,5),(3,6),\ldots\} & \LOOKSLIKE & \text{整数$-3$} \\ \{(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),\ldots\} & \LOOKSLIKE & \text{整数$-2$} \\ \{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),\ldots\} & \LOOKSLIKE & \text{整数$-1$} \\ \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\} & \LOOKSLIKE & \text{整数$0$} \\ \{(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),\ldots\} & \LOOKSLIKE & \text{整数$1$} \\ \{(2,0),(3,1),(4,2),(5,3),\ldots\} & \LOOKSLIKE & \text{整数$2$} \\ \{(3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\ldots\} & \LOOKSLIKE & \text{整数$3$} \\ & \vdots & \\ \{(m,0),(m+1,1),(m+2,2),(m+3,3),\ldots\} & \LOOKSLIKE & \text{整数$m$} \\ & \vdots & \\ \end{array} $$

ユーリ「……」

「空集合から始まって、僕たちは《ノイマンの方法》で$0,1,2,3,\ldots$を作ってきたよね。 このときの$0$は、 $$ \{\} $$ という集合に付けた名前だった。集合に名前を付けた」

ユーリ「うん……それはわかってる」

「それと同じように集合に名前を付けてるんだよ。僕たちはいま、順序対の集合を使って整数を作ろうとしている。 このときの整数$0$は、 $$ \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\} $$ という順序対の集合に付けた名前ということになる。 これはかなり頭を柔らかくしないと納得できないと思うけど……」

ユーリ「うー……ちょっと聞きたいことあんだけど」

「何? なんでもいいよ」

ユーリ「ごちゃごちゃしてわかんなくなった。《ノイマンの方法》で作った$0$と、 いまの整数$0$は《違うもの》だよね?」

「ああ、そうだね。違う違う。確かに違うよ。何回も名前を付け直しているから混乱するかもね」

ユーリ「うん……すごく混乱してた。《ノイマンの方法》で$3$を作るときは、 $$ \{ 0, 1, 2 \} $$ を$3$って呼ぶことにしたけど、 このときの$0$は《ノイマンの方法》の$0$だよね?」

「そうだね。その通り。このときの$0$は、集合の言葉で書けば$\{\}$ということになる」

ユーリ「それで、いまは《整数》を作ろうとしていて。そこでは、$$ \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\} $$ を整数$0$と呼ぶことにする?」

「うん、そうだね。だから、ほんとうは整数$0$のことは$[0]$のように別の記号を使った方がわかりやすいかもしれないね。こんなふうに」

《順序対の集合》に名前を付ける
$$ [0] = \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\} $$

ユーリ「ほー……」

「並べてみようか」

《順序対の集合》で《整数》を作ろう
$$ \begin{align*} & \vdots \\ [-n] &= \{(0,n),(1,n+1),(2,n+2),(3,n+3),\ldots\} \\ & \vdots \\ [-3] &= \{(0,3),(1,4),(2,5),(3,6),\ldots\} \\ [-2] &= \{(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),\ldots\} \\ [-1] &= \{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),\ldots\} \\ [0] &= \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\} \\ [1] &= \{(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),\ldots\} \\ [2] &= \{(2,0),(3,1),(4,2),(5,3),\ldots\} \\ [3] &= \{(3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\ldots\} \\ & \vdots \\ [m] &= \{(m,0),(m+1,1),(m+2,2),(m+3,3),\ldots\} \\ & \vdots \\ \end{align*} $$

ユーリ「それはそれでごちゃごちゃするよーな……ま、その名前の話はいーや。整数の足し算はどーなったんだっけ、結局」

「ユーリが気にしていた《$3$と$-3$の和が$0$になってほしい》というのは、だから、 $$ [3] + [-3] = [0] $$ が成り立つようにしたいということなんだね」

ユーリ「えーと……これは、集合の言葉でいうと、

ということ……」

「そうだね。このような等式が成り立つように、《順序対の集合》の和を定義すればいいということ。つまり、

に出てくる$+$という記号を定めましょうと。 さっきユーリは、この集合の要素の中の一つずつ、つまり順序対$(3,0)$と順序対$(0,3)$を足してみて、 $(0,0)$にならない! と苦情をいってたんだね」

ユーリ「だって、順序対の和だったら、$(3,3)$になるんだもん、しょうがないじゃん!」

「確かに$(3,3)$になってしまう。でも、ほら、よく見ると、$(3,3)$は$[0]$の要素ではあるよね? つまり、$(0,0)$の仲間にはなってる」

$$ [0] = \{(0,0),(1,1),(2,2),\underline{(3,3)},\ldots\} $$

ユーリ「そんなの、たまたまでしょ。てか、$(3,3)$が$(0,0)$を仲間にしたのはそのためだもん」

「よくこの式を見てごらんよ」

ユーリ「じー」

「よく見るとわかるけど、$[3]$という集合から順序対を一つ持ってきて、$[-3]$という集合から順序対を一つ持ってきて、 その二つの順序対を足す。 そうすると、その結果となった順序対は、$[0]$という集合の要素になっているんだよ。 順序対をどのように選んでも、そうなる」

ユーリ「え? どれを選んでも? ほんとに?」

「確かめてみればいい。さっきは$(3,0)$と$(0,3)$だけを調べたけど……」

ユーリ「へーっ! おもしろい! お兄ちゃん、これおもしろいよ。なんでそんなにうまくいくの? $[3]$から好きなの選んで、$[-3]$から好きなの選んで、 両方足したら絶対に$[0]$の中に入ってるんだ!」

「そうだよ。だってね、$[3]$に属している順序対は$(m+3,m)$という形をしている。 $[-3]$に属している順序対は$(n,n+3)$という形をしている。 両方を加えると、 $$ \begin{align*} (m+3,m) + (n,n+3) &= ((m+3)+n, m+(n+3)) \\ &= ((m+n)+3, (m+n)+3) \\ \end{align*} $$ ということになる。結果の順序対は、 $$ ((m+n)+3, (m+n)+3) $$ になるから、$[0]$の要素になる。うまく行くわけだね」

ユーリ「おもしろーい」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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hisamesizumaru (承前) まさに「そんなことしていいんだ!?」って感じだけど、「同じものとみなす」ってのもまた「定義の話」だから、そう定義した先でおかしな現象が出てきたらまた戻ってきて定義し直せばいいってことなんだろうなぁ。数学は自由だ(笑)https://t.co/LfJHly3pGD 約4年前 replyretweetfavorite

je6bmq これ「ゲーデルの不完全定理」と関連が深いと途中まで読んで思ってたら見事にCM入ったでござる 約4年前 replyretweetfavorite

chibio6 三角形の数(剰余関数)の使い方がわかってきた。プログラムにも出てきそうな感じ。 約4年前 replyretweetfavorite

wed7931 ノイマンの方法で作った数と同値類の関係がこんがらがってきた…。順序対全体の集合にどのような同値関係を入れるかを考えれば、混乱が解消されるんだろうか? 約4年前 replyretweetfavorite