第16回　数当てマジックと31の謎（後編）

（前編から続く）

僕の部屋

僕「ユーリの数当てマジックで《数を当てる方法》は簡単だよね」

ユーリ「そーだね」

僕「数を当てるには、表になったカードの左上の数を足すんだろ？」

ユーリ「そーそー、それだけで思い浮かべた数を当てられるんだよー」

相手が $21$ を選んだときのようす

相手が $12$ を選んだときのようす

僕「そうだね。《数を当てる方法》はそれでいい。理屈はわからなくてもマジックはできる。 でも、《数が当たる理由》がわからないとつまらない」

ユーリ「まーね」

僕「こんなふうに対応表を作れば、《 $5$ 枚のカードの置き方》と《 $0$ ～ $31$ の整数》とを対応づけられる」

《 $5$ 枚のカードの置き方》と《 $0$ ～ $31$ の整数》の対応表（×は裏、○は表）

ユーリ「うん」

僕「対応表が作れるんだから、 $0$ ～ $31$ の範囲のどんな整数でも《 $5$ 枚のカードの表裏の置き方》で表せる」

ユーリ「そーだね。この対応表に書いてあるもん」

僕「実は、理屈がわかってしまえば、対応表を見なくても、 $0$ ～ $31$ の範囲の整数がどんな表裏の置き方になるかはわかるんだ」

ユーリ「カード見ればわかるよ」

僕「カードを見なくてもわかる。そのためにはカードの《左上の数》を研究すればいい。《数を当てるときに足す数》がこれなんだから」

ユーリ「数を研究するってかっこいいにゃ！」

数当てマジックで《数を当てるときに足す数》

僕「さあ、この数が何なのか、わかるかな？」

$$ 16 \qquad 8 \qquad 4 \qquad 2 \qquad 1 $$

ユーリ「わかるよ。偶数だ！……んにゃ、ちがう。 $1$ があるか」

僕「でも、いいセンいってる。これはね《 $2$ の冪乗（べきじょう）》というんだよ」

ユーリ「 $2$ のべきじょう？」

Photo by sean_hickin.

$2$ の冪乗

僕「そう。 $2$ の冪乗（べきじょう）は、 $2$ を何個か掛けてできる数だね。 $2$ の累乗（るいじょう）ということもあるよ。 $2$ を $n$ 個掛けるなら、 $2^n$ と書く」

ユーリ「あれ？　でも $1$ は？　 $1$ は $2$ を掛けてできてるわけじゃないよ？」

僕「《 $2$ の $0$ 乗》は $1$ に等しいと定義する」

ユーリ「てーぎ？」

僕「こう決めたってこと」

$$ 1 = 2^0 $$

ユーリ「 $0$ 乗……？」

僕「 $2^0$ は $1$ と定義されてる。これは指数法則のため。まあ、むりやり《 $0$ 個掛ける》と見なすこともできるけどね。 こんなふうに頭に $1$ を掛けて考えれば」

$$ \begin{array}{rclll} 16 &=& 1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 & = 2^4 & \text{（ $2$ を $4$ 個掛けた）} \\ 8 &=& 1 \times 2 \times 2 \times 2 & = 2^3 & \text{（ $2$ を $3$ 個掛けた）} \\ 4 &=& 1 \times 2 \times 2 & = 2^2 & \text{（ $2$ を $2$ 個掛けた）} \\ 2 &=& 1 \times 2 & = 2^1 & \text{（ $2$ を $1$ 個掛けた）} \\ 1 &=& 1 & = 2^0 & \text{（ $2$ を $0$ 個掛けた）} \\ \end{array} $$

ユーリ「ほほー」

僕「さて、改めて……この数当てマジックの鍵になる数は《 $2$ の冪乗》だ」

ユーリ「うん」

僕「数当てマジックをするためには、《 $16, 8, 4, 2, 1$ のどれかを足し合わせれば、 $0$ ～ $31$ のどんな整数でも作れる》ことがポイントになる。 でないと《 $5$ 枚のカードで、 $0$ ～ $31$ の整数を表す》ことができない」

ユーリ「ふんふん」

僕「実は、与えられた $0$ ～ $31$ から、どのカードを表（おもて）にすればいいのかは、《計算》すればわかる」

ユーリ「けーさん？」

計算で、どのカードが表にすればいいかがわかる

僕「たとえば $21$ をカードで表すとしよう。そのために《割ってあまりを求める》という計算を繰り返すんだ」

ユーリ「割り算するってこと？」

僕「うん。繰り返して割り算する。 $21$ で具体的にやってみよう。 $21$ を $2^4$ つまり $16$ で割ると「商（しょう）は $1$ 」で「あまりは $5$ 」だね」

ユーリ「商って何だっけ」

僕「割り算の答えだよ。 $21$ を $16$ で割ると、「 $1$ あまり $5$ 」になる」

$$ 21 \div 16 = 1 \text{あまり} 5 $$

ユーリ「うん」

僕「次に《あまりの $5$ 》を今度は $2^3$ つまり $8$ で割る。そんなふうに、《割ってあまりを求める》という計算を繰り返すんだ。そして商に注目する」

$$ \begin{array}{rcll} 21 \div 16 &=& \underline{1} \text{あまり} 5 & \qquad \text{ $21$ を $16$ で割ると「商は $1$ 」で「あまりは $5$ 」だ。} \\ 5 \div 8 &=& \underline{0} \text{あまり} 5 & \qquad \text{ $5$ を $8$ で割ると「商は $0$ 」で、「あまりは $5$ 」だ。} \\ 5 \div 4 &=& \underline{1} \text{あまり} 1 & \qquad \text{ $5$ を $4$ で割ると「商は $1$ 」で、「あまりは $1$ 」だ。} \\ 1 \div 2 &=& \underline{0} \text{あまり} 1 & \qquad \text{ $1$ を $2$ で割ると「商は $0$ 」で、「あまりは $1$ 」だ。} \\ 1 \div 1 &=& \underline{1} \text{あまり} 0 & \qquad \text{ $1$ を $1$ で割ると「商は $1$ 」で、「あまりは $0$ 」だ。} \\ \end{array} $$

ユーリ「うん？　ややこしーなー」

僕「商を上から読んでごらん」

ユーリ「 $1, 0, 1, 0, 1$ だけど？」

僕「 $21$ をカードで表すと、表、裏、表、裏、表になる。ちょうどこれは $1, 0, 1, 0, 1$ というパターンに対応する」

《カードの表裏》と《 $1$ と $0$ 》の対応（ $21$ の例）

ユーリ「おおっ！　計算すればわかるって、そーゆーことか！　ユーリ、他の数でやってみる！」

僕「 $12$ でやってごらんよ」

ユーリ「うん！」

$$ \begin{array}{rcll} 12 \div 16 &=& 0 \ldots 12 & \qquad \text{ $12$ を $16$ で割ると「商は $0$ 」で、「あまりは $12$ 」だにゃ。} \\ 12 \div 8 &=& 1 \ldots 4 & \qquad \text{ $12$ を $8$ で割ると「商は $1$ 」で、「あまりは $4$ 」だにゃ。} \\ 4 \div 4 &=& 1 \ldots 0 & \qquad \text{ $4$ を $4$ で割ると「商は $1$ 」で、「あまりは $0$ 」だにゃ。} \\ 0 \div 2 &=& 0 \ldots 0 & \qquad \text{ $0$ を $2$ で割ると「商は $0$ 」で、「あまりは $0$ 」だにゃ。} \\ 0 \div 1 &=& 0 \ldots 0 & \qquad \text{ $0$ を $1$ で割ると「商は $0$ 」で、「あまりは $0$ 」だにゃ。} \\ \end{array} $$

僕「どう？」

ユーリ「うんっ！　商は $0, 1, 1, 0, 0$ になって、カードの裏、表、表、裏、裏とぴったりだ」

《カードの表裏》と《 $1$ と $0$ 》の対応（ $12$ の例）

僕「おもしろいだろ？」

ユーリ「うん、おもしろい！　けど……なんで商が $1$ になるカードを表（おもて）にすればいいの？」

僕「たとえば $16$ で割ったときに商が $1$ になるというのはどういうことかを考えればいい。商が $1$ になるというのは $16$ を $1$ 回だけ引き算できるくらいの大きさだってことだね」

ユーリ「えーと、 $21$ から $16$ は $1$ 回だけ引ける大きさだってこと？」

僕「そうそう。でね、《あまり》っていうのは、これより引き算したらマイナスになっちゃうという残りの数だ」

ユーリ「……」

僕「だから、 $16, 8, 4, 2, 1$ の順番に数を割っていくとき、商が $1$ になるところは、それぞれ $16, 8, 4, 2, 1$ の数以上だよ、といってるんだ。だから……」

ユーリ「ねえ、お兄ちゃん！　説明とちゅーで悪いんだけど、ユーリ、わかっちゃった」

僕「そう？」

ユーリ「ワニが出てくるんだ！」

僕「ワニ？」