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『数学ガールの秘密ノート／式とグラフ』 - （達人出版会）
僕：数学が好きな高校生。
テトラちゃん：僕の後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。
ミルカさん：数学が好きな高校生。僕のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。
僕の部屋
ミルカさんは、村木先生のカードから連想して《フーリエ展開》の話をちらっとしてくれた。周期関数$f(x)$を《三角関数の和》で表現するという話だ。ええと、式の形は……
$$ f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (a_k\cos kx + b_k\sin kx) $$
きっと、ネットで検索すれば《フーリエ展開》というキーワードから、
たくさんの情報が得られるだろう。それはよくわかる。
でも、ここはしばしの我慢だ。
経験上、僕はわかっている。
ネットで検索して情報を得ると、
簡単に《わかった気持ち》になってしまうんだ。
そして同時に、目の前の数式を読まなくなる。
ミルカさんは上の数式をスケッチしてくれた。
ここから十分考える材料は見つかる。
明日、きっと図書室でテトラちゃんとミルカさんと《フーリエ展開》の話になるに違いない。
それに備えて、自分なりに考えを進めておこう。
いま、僕の手元にあるのはこの式だけ。
そして《関数$f(x)$を三角関数で表す》という発想だけ。
そこから、何をどう考えていくか。それは僕の自由だ。
うん、そうだ。まずは……
図書室にて
僕がいつものように図書室に行くと……
テトラ「あ、先輩！」
僕「あれ？ ミルカさんはまだ来てないの？」
テトラ「そうですね。まだのようです。先輩、昨日の《フーリエ展開》はわかりました？」
僕「いや、自分なりには考えたんだけど、まだはっきりはわからないね」
テトラ「定積分で《波を見つける》というのは、いったいどういう意味なんでしょう。『村木先生は思わせぶり』とおっしゃいますけれど、 ミルカさんも十分思わせぶりですよね」
僕「ええと……あれ？ ねえ、テトラちゃんは、どんな問題を立てたの？」
テトラ「問題？ 問題といいますと？」
僕「問題を立てて、それを考えていたんじゃないの？ ミルカさんが《フーリエ展開》の式を見せてくれたよね。$f(x)$を三角関数で表す式として」
テトラ「はい、そうでした。ミルカさんは、あたしが計算していた定積分で《波を見つける》とおっしゃっていたので、 あたしはそのことを……あの……何となく考えていたのでしたが。どんなこと、だろうかと」
僕「あ、そうなんだ。あのね、フーリエ展開の式を見ながら、僕はこんなふうに考えたんだよ。 《与えられているものは何か》ってね」
テトラ「あっ、ポリア先生の問いかけ、ですか？」
僕「そうそう。フーリエ展開として複雑な式が提示された。特に数学の問題として提示されたわけではない。 でも、何かここにおもしろい問題……考える問題がありそうだと思ったから」
テトラ「はい……」
僕「だから、まず《与えられているものは何か》と、それから《求めるものは何か》を考えようと思ったんだ。 自分の数学としてね」
テトラ「それは、このフーリエ展開の式を使って……？」
$$ f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (a_k\cos kx + b_k\sin kx) $$僕「そう。でも、その答えはすぐに見つかるよ。与えられているものは……」
テトラ「お待ちください。テトラに答えさせていただけませんか。このフーリエ展開の式で《与えられているもの》は関数$f(x)$で、 《求めるもの》は$a_0,a_1,a_2,\ldots$と$b_0,b_1,b_2,\ldots$ではないでしょうか」
僕「うん、そうだね。僕もそう考えた。もしかしたら、別の考え方もあるかもしれない。 でも、まずそうやって考えを進めてみようと思ったんだ。 おもしろそうな材料、考える材料が来たんだから、 たっぷり楽しまないとね。 僕たちは自由に考えることができるんだし。 つまり、$f(x)$から二つの数列を求める問題が作れるんだね」
テトラ「……」
僕「あれ？」
テトラ「先輩、あたしって……何というか、まぬけですね」
僕「え？ テトラちゃんはぜんぜんそんなことないよ」
テトラ「いえ、やっぱり大まぬけです。先輩は、フーリエ展開の式を《考える材料》と考えて、 きちんと問題を立てようとなさいました」
僕「うん……」
テトラ「でも、あたしは、そんなふうにきちんと考えようとしませんでした。ミルカさんがおっしゃった《波を見つける》という言葉をぼんやりと考えて、 何となく、自分の定積分の検算をしたりして、でも、それだけでした。 一日という長い時間があったのに……」
僕「いや、でも、何をどう考えるかは自由だよ」
テトラ「違うんです。もしも、とっても難しい問題だったら、未知の概念だったら、 あたしも、しょうがない、と思います。あたし、知らないことばかりですから。 でも、今回の《フーリエ展開》は違うんです。 だって、あたし、先輩から《テイラー展開》のお話を聞いていたからです。 テイラー展開は、与えられた$f(x)$から、微分を使って係数の数列$a_n$を求めました。 今回のフーリエ展開も、その類似として考えることができたはずです！ あたしでも！ 与えられた$f(x)$から係数の数列$a_n,b_n$を求める問題を立てて……」
僕「なるほど……」
テトラ「だから、あたしって、まぬけです。考えるチャンスが目の前にあったのに……」
僕「テトラちゃん、テトラちゃん。過去形にしないでほしいな。 だって、僕たちはいま、まさに考えているところじゃないか。 《元気少女》テトラちゃんの名が泣くよ。問題を考えようよ」
テトラ「あっ、はい、そ、そうですね。すみません、ぐちぐちと……」
問題
僕「僕はまず、こんなふうに問題を立てたんだよ」
関数$f(x)$が与えられたとする。 このとき、数列$a_n$と$b_n$をどのように定めたら、 $$ f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (a_k\cos kx + b_k\sin kx) $$ が成り立つか。
テトラ「は、はい……でも、これは、とても難しいです。だって、$f(x)$が何なのか、どんな関数なのかわかっていませんから！」
僕「だよね。僕も同じように考えた。だから《例示は理解の試金石》を使おうと思ったんだ。 つまり、具体的で簡単な$f(x)$を自分で用意して、それを解くということ。 理解を確かめるためにね」
テトラ「ははあ……なるほどです。確かに、具体的な$f(x)$だったら、何とかなるかも？」
僕「それにね、自分で$f(x)$を選べるわけだから、とっても簡単なものはすぐに作れるんだよ。たとえば、$$ f(x) = \sin x $$ としてみる。 つまり、こういう問題になるんだね」
数列$a_n$と$b_n$がどのような値をとれば、 $$ \sin x = \sum_{k = 0}^{\infty} (a_k\cos kx + b_k\sin kx) $$ が成り立つか。
テトラ「なるほど！ これならテトラでも解けます。だって、すでに$\sin x$という三角関数になってるんですから」
僕「そうそう、《これなら解ける》とすぐ言えるってことは、ちゃんとテトラちゃんはフーリエ展開の式を読んでるってことだね。 まさに、理解の試金石だ」
テトラ「はい。$\cos$の係数になってる$a_n$はすべて$0$です。そして、$b_n$は$b_1$だけが$1$で、残りの$b_n$はすべて$0$ですね？」
僕「その通りだね」
$$ a_n = 0 $$ および $$ b_n = \left\{\begin{array}{llll} 1 & (n = 1) \\ 0 & (n \neq 1) \\ \end{array}\right. $$ のとき、 $$ \sin x = \sum_{k = 0}^{\infty} (a_k\cos kx + b_k\sin kx) $$ という式が成り立つ。
テトラ「あっ、それなら他にもたくさん考えることができますね。たとえば、$f(x) = \cos x$の場合や、$f(x) = \sin 2x$の場合、 あるいは、$f(x) = \sin x + \cos 2x$の場合、それに……」
僕「うん、そうだね。つまり最初から《三角関数の和》になっていることがわかっている関数なら、 簡単にフーリエ展開の$a_n,b_n$はわかるわけだね。 自分で決めてるわけだから、わかるのは当たり前だけど」
テトラ「はい」
僕「それでね、この簡単な問題を自分で作って解いているうちに、気付いたことがあるんだよ」
テトラ「気付いたこと？」
僕「うん。フーリエ展開は《三角関数の和》といったけど、フーリエ展開に出てくるのは$\sin nx$と$\cos nx$という関数だけだということ。 たとえば、$\sin \frac{x}{2}$は出てこない」
テトラ「それは確かにそうですね」
僕「それから、$\cos nx$という形は出てくるけれど、$\cos^2 nx$という形は出てこない」
テトラ「……なるほどです。そういえば、そうですね。それは、フーリエ展開で使う関数は決まっているということですね？」
僕「うん。そうなんだ。決まった関数を決まった使い方で使ってる。それを考えているときに《発見》したんだよ」
テトラ「発見？」
僕「うん。僕の発見は、こういう問題から出てきたんだ。さっきは$f(x) = \sin x$という単純な関数をフーリエ展開した。 では、今度は$f(x) = \cos^2 x$を展開してみようってね」
数列$a_n$と$b_n$がどのような値をとれば、 $$ \cos^2 x = \sum_{k = 0}^{\infty} (a_k\cos kx + b_k\sin kx) $$ が成り立つか。
テトラ「これは、$\cos^2 x$をフーリエ展開していることになるんですよね。でも、そもそもこんなふうに書けるんでしょうか。 いま先輩おっしゃったばかりじゃないですか。 フーリエ展開に$\cos^2 nx$という形は出てこないって」
僕「テトラちゃんは$\cos(\alpha + \beta)$に加法定理を使える？」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
