第148回 波を見つける(後編)

テトラちゃんが積分に挑戦!……「波の広がり」第4章後編。
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『数学ガールの秘密ノート/式とグラフ』 - (達人出版会)
登場人物紹介
:数学が好きな高校生。
テトラちゃんの後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。
ミルカさん:数学が好きな高校生。のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。
$ \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} % HIRAGANA LETTER NO (U+306E) $

図書室にて

ここは高校の図書室。いまは放課後。

テトラちゃんは村木先生の《カード》に出された積分の問題に挑戦していた。

テトラちゃんは、かなりいいところまで解いたのだけれど、条件を見逃してしまった。

テトラ「うかつでした……」

「大丈夫。テトラちゃん、まだ名誉挽回できる!」

テトラ「え?」

「あのね、僕は村木先生がなぜこの問題を出したか、気になってたんだ。でも、わかったよ。 ほら、いつもと違って問題形式になっているよね。ここにトリックがありそう。 つまり、この問題を解いて、それだけで終わりにするかが、試されているんだよ」

テトラ「す、すみません。意味がよくわからないのですが」

「この計算は$\sin mx\sin nx$の定積分だったよね(第147回参照)」

テトラ「はい、そうです。場合分けが出てきました」

解答1(村木先生のカード)
$$ \int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \,dx = \left\{ \begin{align*} & 0 && \text{$m \neq n$ $\HIRANO$場合} \\ & \pi && \text{$m = n$ $\HIRANO$場合} \\ \end{align*} \right. $$

「僕たちの手元には$\sin$と$\cos$があるよね。ということは……他の問題も作れるよ!」

テトラ「他の問題!」

「うん。$\cos mx\cos nx$や、$\sin mx\cos nx$を、問題1と同じように$0$から$2\pi$までの範囲で定積分してみたら、いったいどうなるだろう」

テトラ「なるほどです。きっと、場合分けが出てくるんじゃないでしょうか! あたし、今度は間違えません!」

元気少女、テトラちゃんの復活である。

しばらく離れた席で計算を続け、 やがて、テトラちゃんが戻ってきた。

テトラ「先輩! できました。検算もしました。やはり、予想通りに《場合分け》が出てきましたよ!」

ちょうどそこへ、ミルカさんがやってきた。何かを手に持っている。

「あ、ミルカさん。それはもしかして……」

ミルカ「もしかしなくても、《カード》だよ」

「ははーん。わかったぞ。ねえ、ミルカさん。その《カード》に何が書かれているか、 当ててみようか?」

テトラ「あ! あたしもわかりましたよ! 複数の《カード》による波状攻撃ですねっ!」

ミルカ「何の話?」

「いや、村木先生の問題を一つ解いたところで、他のバリエーションができそうだと話していたところなんだ。 ミルカさんがもらった《カード》は、村木先生にしてはめずらしく、 明示的に《問題》の形になっているんじゃない?」

テトラ「そして、その《問題》は定積分ではないでしょうかっ!」

ミルカ「いや、ちがうな。問題の形にはなっていないし、定積分にもなっていない。あいかわらずの思わせぶりな数式だけだ」

テトラ「あれ、あれれ?」

「どんな数式?」

(村木先生のカード)
$$ \left\{\begin{array}{llll} f_0(x) &= \dfrac12\left\{ f(x) + f(-x) \right\} \\ f_1(x) &= \dfrac12\left\{ f(x) - f(-x) \right\} \\ \end{array}\right. $$
僕たち三人はしばらく無言でこの《カード》をながめる。

テトラ「これは……いったい何でしょう」

「何だろう。確かに問題の形じゃないし、定積分でもないね。テトラちゃんがいま解いた定積分の、別パターンが書かれてると思ったんだけど」

テトラ「あ、あたしもそう思いました。ミルカさんが解く前に答えを出すことができたかもっ!……と思ったんでしたが」

ミルカ「さっきから言ってる《定積分》とは?」

テトラ「これです! これが、村木先生からの定積分の問題を解いたものです」

解答1(村木先生のカード)
$$ \int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \,dx = \left\{ \begin{align*} & 0 && \text{$m \neq n$ $\HIRANO$場合} \\ & \pi && \text{$m = n$ $\HIRANO$場合} \\ \end{align*} \right. $$

ミルカ「なるほど、そういうことか」

「そういうこと?」

テトラ「あたしは条件を見落として、この問題そのものは解けなかったのですけれど、これと似て非なる他の問題を作って、そして、解いていたんです。 こういう問題になります」

問題3
$m$と$n$は$1$以上の整数とする。以下の定積分を求めよ。
$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx \,dx &= \cdots && \text{(1)} \\ \int_{0}^{2\pi} \sin mx \cos nx \,dx &= \cdots && \text{(2)} \\ \end{align*} $$
(※問題2は第147回に)

ミルカ「ふむ」

テトラ「村木先生の問題1は$\sin mx \sin nx$の積分でした。なので、$\cos mx \cos nx$と$\sin mx \cos nx$の積分を計算しようと思いました。 $\cos mx \sin nx$は$m$と$n$を入れ換えるだけなので、計算し直す必要はありません」

ミルカ「むろん。では、これを……」

テトラ「ですです。$\sin mx \sin nx$は最後の最後で先輩に助けていただきましたが、$\cos mx \cos nx$と$\sin mx \cos nx$はあたし一人で解くことができました! まず、$\cos mx \cos nx$から行きます」

 * * *

積分をしたいのですから、$\cos mx \cos nx$という《積》を《和》の形に持っていこうと考えます。 そのために、三角関数の積和公式を使います。

$$ \cos mx \cos nx = \dfrac12 \left\{ \cos (m+n)x + \cos (m-n)x \right\} $$

これを使って、求めたい定積分を和の形に直します。

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx \,dx &= \int_{0}^{2\pi} \dfrac12 \left\{ \cos (m+n)x + \cos (m-n)x \right\} \,dx \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \cos (m+n)x + \cos (m-n)x \,dx \\ \end{align*} $$  * * *

ミルカ「……」

テトラ「そして、$m = n$かどうかで《場合分け》を行います。ここが大事ですっ! まず、$m \neq n$の場合は……」

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx \,dx &= \cdots \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \cos (m+n)x + \cos (m-n)x \,dx \\ &= \dfrac12 \left[ \dfrac{\sin(m+n)x}{m+n} + \dfrac{\sin(m-n)x}{m-n} \right]_{0}^{2\pi} \\ &= 0 \\ \end{align*} $$

テトラ「$0$になるのは、$\sin(m+n)x$も、$\sin(m-n)x$も、$x = 0$と$x = 2\pi$で$0$になるからです」

ミルカ「ふむ」

「いいねえ」

テトラ「$m = n$の場合には$\cos (m-n)x = \cos 0 = 1$になりますので、積分すると$x$が出てくるんです」

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx \,dx &= \cdots \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \cos (m+n)x + 1 \,dx \\ &= \dfrac12 \left[ \dfrac{\sin(m+n)x}{m+n} + x \right]_{0}^{2\pi} \\ &= \dfrac12 \left[ \quad x \quad \mathstrut \right]_{0}^{2\pi} \\ &= \dfrac12 (2\pi - 0) \\ &= \pi \\ \end{align*} $$

「同じだ」

テトラ「そうですね。$\sin mx \sin nx$のときと同じになります」

解答3(1)
$$ \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx \,dx = = \left\{ \begin{align*} & 0 && \text{$m \neq n$ $\HIRANO$場合} \\ & \pi && \text{$m = n$ $\HIRANO$場合} \\ \end{align*} \right. $$

ミルカ「なるほど」

テトラ「同じようにして、今度は$\sin mx \cos nx$の定積分ですっ!」

 * * *

今度も先ほどと同じです。 $\sin mx \cos nx$という《積》を《和》の形に持っていきます。 またまた、三角関数の積和公式を使います。

$$ \sin mx \cos nx = \dfrac12 \left\{ \sin (m+n)x + \sin (m-n)x \right\} $$

これを使って、求めたい定積分を和の形に直します。 ここでも$m-n$が出てきますので、まずは$m \neq n$の場合は……

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sin mx \cos nx \,dx &= \int_{0}^{2\pi} \dfrac12 \left\{ \sin (m+n)x + \sin (m-n)x \right\} \,dx \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \sin (m+n)x + \sin (m-n)x \,dx \\ &= \dfrac12 \left[ \dfrac{-\cos(m+n)x}{m+n} + \dfrac{-\cos(m-n)x}{m-n} \right]_{0}^{2\pi} \\ &= -\dfrac12 \left[ \dfrac{\cos(m+n)x}{m+n} + \dfrac{\cos(m-n)x}{m-n} \right]_{0}^{2\pi} \\ &= -\dfrac12 \left\{\underbrace{\dfrac{1}{m+n} + \dfrac{1}{m-n}}_{\text{$x = 2\pi$}} - \underbrace{\left( \dfrac{1}{m+n} + \dfrac{1}{m-n} \right)}_{\text{$x = 0$}} \right\} \\ &= 0 \\ \end{align*} $$  * * *

テトラ「このように、やはり$0$になります。そして$m = n$の場合ですが、今度は$\sin (m-n)x = \sin 0x = \sin 0 = 0$ということで、先ほどのような$1$が出てきません。なので……」

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sin mx \cos nx \,dx &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \sin (m+n)x + \sin (m-n)x \,dx \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \sin (m+n)x + 0 \,dx \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \sin (m+n)x \,dx \\ &= \dfrac12 \left[ \dfrac{-\cos(m+n)x}{m+n} \right]_{0}^{2\pi} \\ &= \dfrac12 \left( \underbrace{\dfrac{-1}{m+n}}_{\text{$x = 2\pi$}} - \underbrace{\dfrac{-1}{m+n}}_{\text{$x = 0$}} \right) \\ &= 0 \\ \end{align*} $$

「へえ」

ミルカ「ふむ」

テトラ「……なので、$\sin mx \cos nx$の場合は、$m$と$n$がどうであれ、定積分は$0$になります! これで答えが出ましたっ!」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

canaan1008 |結城浩 @hyuki |数学ガールの秘密ノート フーリエ扱ってるやんけ! https://t.co/sdpDlln7zv 約3年前 replyretweetfavorite

chibio6 難しかった。サインやコサインの和は積を積分すると求められることを利用すると、フーリエ展開を解けるのだろうか? 4年以上前 replyretweetfavorite

aozr18 結城浩 #数学ガール https://t.co/58G2D81wXt 面白くなってきたとこで終わってしまったぁぁ 4年以上前 replyretweetfavorite

tomatonu33 村木先生は一体何を見ているのだろうか(これいつも気になる フーリエ展開はまだ理解してないのでとても助かる・・・(解析概論むずかしい どうなるかわからないけど 4年以上前 replyretweetfavorite