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『数学ガールの秘密ノート／式とグラフ』 - （達人出版会）
僕：数学が好きな高校生。
テトラちゃん：僕の後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。
図書室にて
僕はいつものように数学の問題に取り組んでいた。 少しの式変形で解答にたどりついたので、ちょっと一息。
そこに、テトラちゃんがやってきた。何かを手に持っている。
僕「テトラちゃん、何を見てるの？」
テトラ「あ、先輩！ ……はい、村木先生からの《カード》です」
僕「今日は、どんなの？」
テトラ「これですね」
$m$と$n$は$1$以上の整数とする。以下の定積分を求めよ。
$$ \int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \,dx $$
僕「おっと、問題の形になってる」
テトラ「そういえばそうですね。《定積分を求めよ》という問題の形になっています」
僕「それで？ テトラちゃんはもう解けたの？」
テトラ「いえいえいえっ！ あたしはミルカさんや先輩のように、歩きながら積分の計算なんてできません。 この《カード》も、先ほど職員室で先生からいただいたばかりですし」
僕「そうなんだ」
テトラ「でも……今回はいつものようにテトラはトロくありませんよ。もう《テトロ》とは呼ばせません」
僕「いや、テトラちゃんをそんなふうに呼ぶ人はいないと思うけど」
テトラ「実はですね、積分の計算そのものはできていませんが、解法の作戦は見通しが立っているのですっ！」
僕「鼻息が荒いね」
テトラ「先日、先輩から積分のお話をお聞きしましたよね。あれを思い出したんです（第137回参照）」
僕「そういえば、積分について、いろいろおしゃべりしたよね」
テトラ「はい。《積分の線型性》というお話がありました。つまり、《和の積分は積分の和》を考えるのはよい方法だというお話です」
僕「うんうん、いいねえ！」
テトラ「言い換えますと、積分は《和》で考えると考えやすいけれど、《積》の形になっていると考えにくいというわけですよね？ そして、 この村木先生のカードに出てきた積分は、 ま・さ・に《積》の形になっているのです！」
$$ \int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \,dx $$僕「うん、僕もこのカードを見たとき、同じことを考えたよ。$\sin mx$と$\sin nx$の《積》だから。テトラちゃん、やるね！」
テトラ「はいっ！ そこでポリア先生の《問いかけ》が浮かびました。《似ている問題を知らないか》という問いかけです。 似ている問題、似ている問題……と考えて思い出しました。 あたしは《積》の形の積分を解いたことがあります。 正確には解き方を教えていただいたんですけれど」
僕「おお？」
テトラ「その作戦を使えば、$\sin mx$と$\sin nx$の《積》の形も解けるんじゃないか、と、そういういうところまで考えたんです」
僕「作戦？」
テトラ「はい。《部分積分》です。二つの関数があって、その積の形の積分があるとき、 それを求めるための方法ですよね！」
僕「え……」
テトラ「大丈夫です。部分積分の公式は暗記はしていないのですが、導出方法は何回か練習しました。《積の微分》を使えば出てきます。 そして、$\sin x$や$\cos x$の微分と積分はわかりますし、 $x$が$mx$や$nx$になっていても、それは《合成関数の微分》 を考えれば大丈夫、ですよね！」
僕「それはそうなんだけど……」
テトラ「だったら、パーティのメンバーは集まったようなものです！ あとは、作戦決行あるのみ！ これで問題を撃破できます！ ……ということで、 これよりテトラ、計算の旅に出発いたします！」
$m$と$n$は$1$以上の整数とする。以下の定積分を求めよ。
$$ \int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \,dx $$
僕「計算できた？ テトラちゃんの作戦で、うまく行けた？」
テトラ「……い、いえ。どうもおかしな具合になってしまいまして。あたしはまず、部分積分の公式の導出から入ったんです。 試しに$\sin mx \cdot \sin nx$という積を微分するところから始めました。 こうです」
$$ \begin{align*} & (\sin mx \cdot \sin nx)' \\ &= (\sin mx)'\cdot \sin nx + \sin mx \cdot (\sin nx)' && \text{積$\HIRANO$微分} \\ &= (\cos mx) \cdot (mx)' \cdot \sin nx + \sin mx \cdot (\cos nx) \cdot (nx)' && \text{合成関数$\HIRANO$微分} \\ &= m\cos mx\sin nx + n\sin mx\cos nx \\ \end{align*} $$僕「うん、積の微分と合成関数の微分だね。これは正しいけど」
テトラ「はい、でもこれでは右辺の方に$\sin mx\sin nx$が出てきません。それであたしは別の積を微分することにしました。 $\sin$を出すために$\sin mx\cdot \cos nx$を微分すればいいのではないかと思ったんです」
$$ \begin{align*} & (\sin mx \cdot \cos nx)' \\ &= (\sin mx)' \cdot \cos nx + \sin mx \cdot (\cos nx)' && \text{積$\HIRANO$微分} \\ &= (\cos mx)\cdot (mx)'\cdot \cos nx + \sin mx \cdot (-\sin nx) \cdot (nx)' && \text{合成関数の微分} \\ &= m\cos mx\cos nx - n\underline{\sin mx\sin nx} \\ \end{align*} $$僕「うん、出てきたね」
テトラ「はい。これが出てくれば、あとは移項して、この部分を左辺に持ってきて、積分します！」
$$ \begin{align*} n\sin mx\sin nx &= m\cos mx\cos nx - (\sin mx\cos nx)' \\ \sin mx\sin nx &= \frac{m}{n}\cos mx\cos nx - \frac{1}{n}(\sin mx\cos nx)' \\ \int_{0}^{2\pi} \sin mx\sin nx \,dx &= \frac{m}{n} \int_{0}^{2\pi} \cos mx\cos nx \,dx - \frac{1}{n} \int_{0}^{2\pi} (\sin mx\cos nx)' \,dx \\ \int_{0}^{2\pi} \sin mx\sin nx \,dx &= \frac{m}{n} \int_{0}^{2\pi} \cos mx\cos nx \,dx - \frac{1}{n} \left[\sin mx\cos nx \right]_{0}^{2\pi} \\ \end{align*} $$僕「うん、確かに部分積分を使っていることにはなる……けど」
テトラ「はい……そうなんです。$\sin mx\sin nx$の定積分が左辺に来たのですが、右辺には今度は、$\cos mx\cos nx$の定積分が来てしまいました！」
僕「そうだね」
テトラ「作戦失敗です……」
僕「最初の部分はよかったんだけどね……」
テトラ「最初の部分といいますと」
僕「うん。テトラちゃんが言ってた《積分の線型性》や、《和の積分は積分の和》はとてもいい。 そして《積》の形が出てきたら要注意というのも正しい視点だと思うよ。 《似ている問題を知らないか》というのも大事だし……」
テトラ「……」
僕「テトラちゃんはそこで《部分積分》のことを考えてしまったんだけど、部分積分がうまく使えるのは、 積の片方を微分したときに《うまい形》になるときなんだよ。 たとえば、こんな場合だよね。これは不定積分だけど」
$$ \int\, xe^x \,dx $$テトラ「あ」
僕「思い出した？ $xe^x$は$x$と$e^x$の積なんだけど、$x$の方は$(x)' = 1$と定数になるし、 $e^x$の方は$(e^x)' = e^x$のように形が変わらない。 だから部分積分がいい感じに使えるんだよ」
テトラ「思い出しました……そうでしたね」
僕「一般的に書くと、部分積分は、$$ \int\, f(x)g'(x) \,dx = f(x)g(x) - \int\, f'(x)g(x) \,dx + C $$ という形だから、$f(x) = x$で$g(x) = e^x$にすると、$f'(x) = 1$で$g'(x) = e^x$になって、 $$ \begin{align*} \int\, xe^x \,dx &= xe^x - \int\, 1e^x \,dx + C \\ &= xe^x - e^x + C \\ \end{align*} $$ というふうに解けた」
テトラ「そうでした……」
僕「$\sin mx\sin nx$は積の形になっているから、このまま積分しにくい。でも、部分積分に進むんじゃなくて、 もっと直接的に《積》を《和》に持ち込む方法があるんだよ」
テトラ「直接的に？」
僕「忘れちゃったかなあ。三角関数の《和積公式》をこのあいだいっしょに計算したよね（第143回参照）」
テトラ「……！！」
僕「あのときは、$\sin\alpha + \sin\beta$を計算したんじゃなかったっけ」
テトラ「……」
僕「和積公式は《和》を《積》に直すわけだけど、それは左辺を右辺に変形したと考えた場合。逆に使ってもまったく問題ないよね。つまり右辺の《積》を左辺の《和》にすることになる」
テトラ「先輩……あたしって、なんて応用力がないんでしょう！」
僕「いやいや、応用力というか、少し練習すればすぐにできるようになるよ」
テトラ「そうなんでしょうか」
僕「とりあえずは、この和積公式を使いやすいように積和の形に変えてみようよ。 $$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2} $$ つまり、これを$\sin\alpha\cos\beta = \cdots$という形にするということだね。 練習練習」
テトラ「あ、はい。これはできます。まず、$X = \frac{\alpha + \beta}{2}$と$Y = \frac{\alpha - \beta}{2}$にするんですね。 そうすると、$X + Y = \alpha$で$X - Y = \beta$になります。それで……」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに13巻以上も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
