第143回　波を重ねる（前編）

$ \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} % HIRAGANA LETTER NO (U+306E) $

図書室にて

僕「……だから、この式だと時刻$t$の係数にマイナスが付くことになるんだよ。ちょっとわかりにくいかもしれないけど」

テトラ「それは時刻$t$だけ《さかのぼった》ところにあった水位を見ているということになるんですね？」

僕「うん、だから、この波では《位置$x$の係数》と《時刻$t$の係数》は異符号になる。これが《波の高さ》《波の波長》《波の周期》を全部入れた数式になるんだ。いわば《波の式》だね」

テトラ「それにしても、こんな難しい話をユーリちゃんは理解しちゃうんですか……」

僕「そうだね。えらいと思うよ。あ、そういえば、センター試験に、ちょうどこの波の式が出たよね。上下反転してるけど」

テトラ「え！　センター試験の、物理ですか？」

僕「物理の必答問題になってたね。波の基本的理解を試すための問題ということだろうね」

テトラ「基本……これが基本なんですね」

僕「うん。だから、ちゃんと波を考えられるなら、すぐに解けるよ。いっしょに解いてみようか」

テトラ「はい！」

センター試験の物理

僕「まず、このグラフは《時刻と変位のグラフ》になっていることに注意して、波の基本的な情報を集めていくよ」

テトラ「基本的な情報……周期や波長ですね？」

僕「そうそう。波一つ分を見てみると、$2$秒だから、この波の周期は$T = 2$ということになる。これはいいよね。《時刻と変位のグラフ》から読み取れる」

テトラ「はい、そうですね」

僕「それから、波の高さ$A$も読み取れる」

テトラ「はい、$A = 0.2$になっています」

僕「次に、問題文には速さが$2$と書いてある。向きは$x$軸の正の向きなので、速度$v = 2$といえる。 速度$v$と周期$T$がわかっているから、速度と周期と波長の関係式、 $$ v = \dfrac{\lambda}{T} $$ を使って、波長$\lambda$が求められることになる。これも難しくはない」

$$ \begin{align*} \lambda &= vT \\ &= 2 \times 2 && \text{$v = 2, T = 2$だから} \\ &= 4 \\ \end{align*} $$

テトラ「はい、波長は$\lambda = 4$になりました」

僕「あとはさっきの《波の式》に代入すればいいんだけど、注意が一つ要る。それは僕たちの《波の式》を作ったときと、 この入試問題では前提条件が違うということ。 《時刻と変位のグラフ》がちょうど上下反転しているんだよ。 だから$\sin$の符号が反転する」

$$ \begin{align*} y &= -A \sin\left\{ 2\pi\left(\dfrac{x}{\lambda} - \dfrac{t}{T}\right) \right\} && \text{上下反転しているからマイナスをつける} \\ y &= -0.2 \sin\left\{ 2\pi\left(\dfrac{x}{4} - \dfrac{t}{2}\right) \right\} && \text{$\lambda = 4, T = 2$だから} \\ y &= -0.2 \sin\left\{ \pi \left(\dfrac{x}{2} - t\right) \right\} && \text{$2$をカッコに入れて約分した} \\ \end{align*} $$

テトラ「あれ、でも、この式は選択肢にありませんが……」

僕「うん。だから、ここから三角関数の知識を使って式変形するよ。$\sin$は奇関数で$-\sin \theta$は$\sin(-\theta)$に等しい」

テトラ「そうですね」

僕「だから、式の初めのマイナスは、$\sin$の中に入れることができる。角度に移せるんだよ。だから、こうなる」

$$ \begin{align*} y &= -0.2 \sin\left\{ \pi \left(\dfrac{x}{2} - t\right) \right\} \\ y &= 0.2 \sin\left\{ - \pi \left(\dfrac{x}{2} - t\right) \right\} && \text{マイナスを中に入れた} \\ y &= 0.2 \sin\left\{ \pi \left(t - \dfrac{x}{2} \right) \right\} && \text{さらに中に入れた} \\ \end{align*} $$

テトラ「ということは、（4）が正解なのですね！」

僕「うん、そうだね」

テトラ「でも……これは、この《波の式》を暗記していないと難しくないでしょうか」

僕「暗記は必要だけど、条件がちょっと変わったら対処できなくなる丸暗記はだめだよ。式の成り立ちを理解しておかなくちゃ。 全体の式の形が、$y = A \sin \heartsuit$という形になることはわかるよね」

テトラ「あ、はい。これはサインカーブ前提ということですから」

僕「センター試験の問題文でも《正弦波》と書いてあるからね。それで、この$A\sin\heartsuit$のうち、$\heartsuit$の部分……これを《位相》というんだけど、 これを$t$と$x$を使って表現したいわけだ」

テトラ「はい、そうですね」

僕「波一つ分動かすためには、$\heartsuit$を$2\pi$動かすことになるよね。サインカーブの波一つ分。$t$で動かすには、周期との比を考えて$2\pi \cdot \dfrac{t}{T}$を使うし、 $x$で動かすには、波長との比を考えて$2\pi \cdot \dfrac{x}{\lambda}$を使う」

テトラ「あ、はい、それもわかるんですが、でも、あたし、符号をまちがう自信があります！　ぜったいまちがいます！」

僕「テトラちゃん、まちがう自信って……うん、結局ね《波の式》は、$$ y = A \sin\left\{2\pi\left(\pm \dfrac{x}{\lambda} \pm \dfrac{t}{T} \right)\right\} $$ という形になるんだから、あとは試しにちょっと動かしてみればいいんだよ。そうすれば符号のミスはかなり減らせるはず」

テトラ「動かすって、波をですか？」

僕「《時刻と変位のグラフ》が$y = \sin t$のサインカーブと同じ形になるなら、$t$の符号はプラスだし、上下反転したサインカーブなら$t$の符号はマイナスとわかる。 つまり$t$を$0$からちょっと動かしてみて、頭の中でグラフを描くんだよ」

テトラ「ああ……」

僕「同じように《位置と変位のグラフ》を使って$x$の符号がプラスかマイナスかわかる。ちょっと$x$を動かしてみればいい」

テトラ「……でも、やはり三角関数には慣れてないといけませんね」

僕「そりゃそうだね。どういう式を立てたとしても、この二つのグラフを使って確かめるときは、いまのようなチェックをすることになるんだよ。 だから、波で大事なのは、 与えられた条件からきちんと《時刻と変位のグラフ》と《位置と変位のグラフ》を描ける力なんだ。 そしてそれは、波の形を描く力ともいえる。理解していたらグラフがさっと描ける」

テトラ「わかりました！」

僕「もしどうしても忘れちゃったら、とりあえず目の前のグラフからわかることだけを書くのも手だよ。 問題文にあるこの《時刻と変位のグラフ》の式は、 $$ \begin{align*} y &= 0.2 \sin \left\{ 2\pi \cdot \frac{t}{T} \right\} \\ &= 0.2 \sin \left\{ 2\pi \cdot \frac{t}{2} \right\} \\ &= 0.2 \sin \pi t \end{align*} $$ という形になってる。ということは、 与えられた選択肢$8$個のうち、$t$の係数が$2\pi$になっているものは除外できるわけだね」

テトラ「ははあ……これは、$x = 0$のときのグラフですものね」

僕「そういうこと。もっとも、そこから先は何をどう考えようとも、《時刻と変位のグラフ》と問題文から、《位置と変位のグラフ》を描くのと同じようなことを考える必要があるけれどね。 確実に解くためには結局、波の動きと式の意味をきちんと理解しておくしかないんだよ」

テトラ「はい！」

音波の謎

テトラ「……ところで、波というと、何となく想像はできるんですけど、《時刻と変位のグラフ》と《位置と変位のグラフ》の二種類を考えることができる、 という発想はありませんでした」

僕「そうだよね。僕も物理で習うまでそんなこと、意識もしなかったよ」

テトラ「横軸は違いますが、縦軸はどちらも変位なのですね」

僕「そうだね。水の波だったら水位だろうけど、一般的には変位というね」

テトラ「一般的には……先輩、音はどうなるのでしょう」

僕「音も波だよ」

テトラ「ええ、そうですよね。音も波で、空気の振動が伝わっていくのは知っているんですが、でも、水の波とは違うように思います。水の波ですと、水の下の世界と水の上の世界があります。 そしてその境目が波として見えています。でも、音は？　空気の振動は……」

僕「ああ、そうだね。テトラちゃんのいうとおり、水の波と音の波は違うよ。それは《横波》と《縦波》の違いになるのかなあ」

テトラ「あっ、横波と縦波という言葉は聞いたことがあります。地震のニュース解説でちらっと」

僕「横波か縦波かというのは、《波の進行方向》と《媒質の振動方向》の違いを表現しているんだよ、 テトラちゃん」

テトラ「波と媒質……ですか」

僕「波がまっすぐ前に進んでいくとするよね。それを《波の進行方向》と呼ぶとしよう」

テトラ「波の進行方向はこっち！　のようにですか」

僕「そうそう。たとえば水の波が進んでいくとして、媒質、つまり水は上下に振動しているよね」

テトラ「はい、そうですね」

僕「そういう波のことを《横波》っていうんだ。波の進行方向を基準として、媒質の振動方向は《横》になっているから」

テトラ「上下なのに、横……なんですか？」

僕「ああ、ちょっと混乱しやすいよね。《波の進行方向》に対して《媒質の振動方向》が垂直ということなんだ。基準の方向との関係。 うん、そうだ、洋服の横縞と縦縞を考えればいい。 自分の身体を棒だと考えると《横縞》というのは、 その棒に垂直の向きの縞模様のことだよね？」

テトラ「あっ、はい、そうですね。横のボーダー柄のことですね」

僕「あれと同じ。水の波が進む方向に対して水は垂直に振動している。だから、水の波は横波というわけ」

テトラ「わかりました！　横のボーダー柄の服を着て水泳しているようなものですね！」

僕「あはは、そうだね。泳ぐ方向が《波の進行方法》で、横縞の方向が《媒質の振動方向》に対応してる。横波だ」

テトラ「あれ、でも、縦波は？」

僕「縦波は《波の進行方向》に対して《媒質の振動方向》が平行になるような波のことだね。音の波は縦波になる。水の波は横波で、音の波は縦波」

テトラ「う、うう……波の進行方向と、媒質の振動方向が平行というのが、想像できませんっ！」

僕「たとえば、こんなふうに媒質を単純化して描いてみるよ。媒質が振動していないとき、つまり波がない状態では、 こんなふうに等間隔で並んでいるとする」

テトラ「おとなしく？」