第133回 はさみはさむ(前編)

「わかっているよん。《はさみうち》で面積を求めるんでしょ!」とユーリが声を上げる。「積分を見つめて」第2章前編。
登場人物紹介
:数学が好きな高校生。
ユーリのいとこの中学生。のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだけれど飽きっぽい。
$ \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} % HIRAGANA LETTER NO (U+306E) $
第132回の続き。
ユーリはグラフが作り出す図形の面積についておしゃべりしていた。 母からの《おやつコール》で中断していた数学トークが再開する。

ユーリ「クッキーおいしかったね! ……何してんの?」

「さっきのこと、考えてたんだよ。ほら、これの話」

どうやって面積を求めればいい?

ユーリ「そーだった。長方形を使っても、スキマ空いてるから、 面積は正確に求められないよね」

「その通りだね。長方形が一つだったら面積は《掛け算》すれば求められる。長方形がいくつか並んでいたならそれを全部《足し算》すれば求められる。 でも、こんなふうにグラフが曲線になっていたら、 いくら長方形を並べても正確には求められない」

ユーリ「それじゃ、おもしろくない……そんで? 何かワザがあるっていってたじゃん。必殺技?」

「うん、高校で習う極限(きょくげん)を使うんだよ」

ユーリ「きょくげん……といえば」

「といえば?」

ユーリ「紫木一姫とか市井遊馬とか」

「それは字が違う……急に戯言シリーズを持ち出すなよ」

ユーリ「へへ」

「まじめにいこう。たくさんの長方形を使って面積を求めるんだけど、 正確に求めるために《長方形の幅をできるだけ小さくする》ということをやりたいんだ」

ユーリ「ほほー」

「長方形の幅を小さくすれば、実際の面積に近づくからね」

長方形の幅を小さくすると、実際の面積に近づく

ユーリ「むむむ? ねーお兄ちゃん、これ円周率のときにやったよね!」

「円周率?」

ユーリ「ほらほら! 円周率を《数えて求める》話のとき。誰だっけ、ピタゴラスだっけ」

「ああ、アルキメデスだね。アルキメデスが正$96$角形を作って円の面積を求めようとした話」

ユーリ「そのときにも、だんだん細かくしたよ!」

「そうだね。その通りだ。あのときは、正$6$角形→正$12$角形→正$24$角形→正$48$角形→正$96$角形と変えたよね。 これから始める計算も、それと似た話になるよ」

ユーリ「円周率$3.14$まで行くの、すんごく大変だった。おもしろかったけど」

「おもしろかったよね」

CM

ユーリ「そんときのユーリの活躍は、丸い三角関数で読めまーす!」

「メタ発言禁止」

ユーリ「気にしない、気にしない。そんで? どーやって面積求めるの?」

「具体的に考えてみよう。やさしいところで、こんな三角形の面積$S$を求める」

この三角形の面積$S$を《たくさんの長方形》を使って求めてみよう。

ユーリ「すぐわかるよ! 底辺×高さ÷$2$だから、$1\times1\div2 = \frac12$で、$S = \frac12$だ!」

「そうだね。確かに$S$の値はそうなる。で、それを長方形を使って求めてみようということ。 $4$個の長方形が見えるかな?」

ユーリ「$3$個しか見えない」

「一番左の長方形は高さが$0$だから見えないけど、長方形の一種だと思ってみよう。そうすると、この長方形$4$個はぜんぶ幅が$\frac14$であることがわかる」

ユーリ「$4$等分したから、そーだね」

「そして高さはどうなっているかというと……」

ユーリ「$0$と$\frac14$と$\frac12$と$\frac34$になってる」

「その通り。それで正しいんだけど、パターンがよく見えるように約分しないで書くと、長方形$4$個の高さは…… $$ \dfrac04, \dfrac14, \dfrac24, \dfrac34 $$ となるのがわかるね」

ユーリ「ふんふん。わかるわかる。分子が$0,1,2,3$になるって言いたいんでしょ?」

「そう。この、三角形の下にある長方形$4$個の面積を$L_4$と表すことにしよう」

「そうすると、長方形の幅が$\frac14$であることに注意して……$$ \begin{align*} L_4 &= \frac14\cdot\frac04 + \frac14\cdot\frac14 + \frac24\cdot\frac14 + \frac34\cdot\frac14 \\ &= \frac1{4^2}(0 + 1 + 2 + 3) \end{align*} $$ になる」

ユーリ「わかる! 計算すれば、$\frac{0+1+2+3}{16} = \frac{6}{16} = \frac38$になる。これって、三角形の面積$\frac12$より小さいね。$\frac12$は$\frac48$だもん」

「ああ、そうだね。そういうふうに確かめるのはとてもいいね! でも、実は《計算しない》ほうが役に立つこともあるんだ。つまり、 $$ L_4 = \frac1{4^2}(0 + 1 + 2 + 3) $$ のまま、いったん置いておく」

ユーリ「もっと計算できるのに?」

「もっと計算できるのに。なぜかというと、 いまは《$4$分割したときの長方形の面積の合計》を求めているんだけど、 ほんとうに求めたいのは《$n$分割したときの長方形の面積の合計》なんだよ」

ユーリ「えぬぶんかつ」

「そう。《文字の導入による一般化》だね。長方形の個数を文字$n$で表したい。その準備として、まずは$4$分割している。 だから、面積の合計を表す式の《どこに$4$が出てくるか》がはっきり見えたほうがいいんだ。 なので、《計算しない》ほうが役に立つことがある」

ユーリ「ほほー! ……そんならそーと、先に言ってよね!」

「はいはい。三角形の面積$S$は$\frac12$だと僕たちは知っているんだけど、ちょっと《知らないふり》をしよう。 そして、いま、長方形を$4$個、そのうち$1$個は面積が$0$だけど、並べた面積$L_4$と比較すると…… $$ L_4 < S $$ ……という式が成り立つことがわかる。わかる?」

$L_4 < S$が成り立つ

ユーリ「うん、わかる」

上から押さえる

「ではもう一度$4$分割しよう。今度は《上から押さえる》ようにする。つまり、三角形を覆い隠すように長方形を並べて、$S$よりも大きな面積にしようというわけ。 図に描くとこうだよ」

ユーリ「うん、アルキメデスの方法と同じで、《はさみうち》をするんだね!」

「そういうこと。三角形を覆い隠すように描いた$4$個の長方形の面積の合計を$M_4$と書くことにしよう。そうすると、 $$ L_4 < S < M_4 $$ が成り立つことがわかるよね」

ユーリ「うん、わかるわかる」

$L_4 < S < M_4$が成り立つ

「じゃ、$M_4$は具体的に計算できる?」

問題
$4$個の長方形の面積の合計$M_4$を求めよう。 計算結果だけではなく、パターンがわかりやすい式も作ろう。

(あなたも考えてみましょう!)

ユーリ「簡単だよ!」

解答
長方形の幅は$\frac14$で、高さは$\frac14,\frac24,\frac34,\frac44$なので、 $$ \begin{align*} M_4 & = \frac14\cdot \frac14 + \frac14\cdot\frac24 + \frac14\cdot\frac34+ \frac14\cdot\frac44 \\ & = \frac1{4^2}(1+2+3+4) \\ & = \frac{10}{16} \\ & = \frac{5}{8}\\ \end{align*} $$ となる。
計算結果は、 $$ M_4 = \frac{5}{8} $$ で、パターンがわかりやすい式はたとえば、 $$ M_4 = \frac1{4^2}(1+2+3+4) $$ となる。

「いいね! 確かに、$$ L_4 < S < M_4 $$ が成り立ってる」

一般化

「これで、$L_4 < S < M_4$という準備ができた。ここから《文字の導入による一般化》をするんだけど、式をまとめておくよ」

$4$分割したときの長方形の面積の合計
$$ \left\{\begin{array}{llll} L_4 &= \frac1{4^2}(0 + 1 + 2 + 3) && \text{(小さい方)} \\ M_4 &= \frac1{4^2}(1 + 2 + 3 + 4) && \text{(大きい方)}\\ \end{array}\right. $$

ユーリ「お兄ちゃんってよくこういうまとめをするよね。ちゃちゃっと先に進めば早いのに」

「いったんまとめておくと、読みまちがいや考えまちがいを減らせるからなんだよ。……で、この$4$を$n$に置き換える。それから、「小さい方」に出てくる$3$は$n-1$に置き換える。 $n$分割すると、こういう式になるはずだよ」

$n$分割したときの長方形の面積の合計
$$ L_n = \frac1{n^2}\left(0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1) \right) \qquad \text{小さい方} $$


$$ M_n = \frac1{n^2}\left(1 + 2 + 3 + \cdots + n \right) \qquad \text{大きい方} $$

ユーリ「にゃるほど。$\frac1{n^2}$に掛けるものが違う。《$0$から$n-1$まで足したの》と、《$1$から$n$まで足したの》。確かに$M_n$のが大きいね」

和を求める

「ところでユーリは$1$から$n$まで足したらいくらになるか知ってる?」

クイズ
$$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \text{?} $$
(ただし、$n$は$1$以上の整数とする)
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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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hyuki 金曜日は「数学ガールの秘密ノート」の日。Web連載『数学ガールの秘密ノート/積分を見つめて』第131回〜140回を無料公開します!公式 ( 3年弱前 replyretweetfavorite

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hyuki 明日は金曜日。Web連載「数学ガールの秘密ノート」の更新日です。いまのテーマは「積分を見つめて」。明日は第134回 はさみはさむ(後編)になります。 以下のリンクは(前編)です。 3年弱前 replyretweetfavorite