僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだけれど飽きっぽい。
$ \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} % HIRAGANA LETTER NO (U+306E) $
僕の部屋
ユーリ「ねーお兄ちゃん、算数って変な問題あるよね」
僕「変な問題って？」
ユーリ「ほら、『水槽に水を入れるときに何分かかりますか』みたいなの」
僕「算数でよくある問題だね。でも何も変じゃないよ」
ユーリ「だってさ『実はその水槽には穴が開いていて、水が決まった量だけ流れ出しています。さて』みたいなの……それって、 水を入れる前に穴ふさいだほーがいいじゃん！」
僕「ああ、そういうことね。ユーリの言いたいことはわかるけど。算数の問題は自然に読めるときもあるけど、実際の生活に当てはめるとき、 おかしな場合は確かにあるなあ」
ユーリ「こないだね、テストで計算ミスして、人間の歩くスピードが《時速300キロ》になった友達いたよ」
僕「あはは、そりゃおかしいな。新幹線より速い。でもそれは計算ミスだから、出題者は悪くないよね」
ユーリ「それでも『水槽に穴が開いていて』っていうのはちょっとなー」
僕「そういえば、小学校のときすごく悩んだ問題があったな。算数の問題なんだけど」
ユーリ「へー、どんなの？」
僕「話したことなかったっけ。水槽の問題だよ」
水槽の問題
円筒形の水槽に水を入れましょう。
太い管と細い管の二本を使って水を入れることができます。
太い管だけを使ったときには、 $3$分で水槽はいっぱいになります。
細い管だけを使ったときには、 $6$分で水槽はいっぱいになります。
それでは、太い管と細い管の両方を使って水を入れたなら、 水槽は何分でいっぱいになりますか。
ユーリ「これ、難しーの？」
僕「ユーリだったらどうやって解く？」
ユーリ「普通に解けばいーんでしょ？ 太いのが$\frac13$で細いのが$\frac16$で、足したらえっと$\frac{9}{18}$だから$\frac12$なので、$2$分。$2$分でいっぱいになる！」
僕「早いな！」
ユーリ「へへ。難しくないじゃん」
僕「小学生のときのお兄ちゃんには難しかったんだよ」
ユーリ「へー、何でなんで？ どこが難しかったの？」
僕「ユーリはいま一言で『太いのが$\frac13$』って答えたけど、その$\frac13$はどこから来たんだろう」
ユーリ「だって、太い管なら$3$分で水槽がいっぱいになるんだから、$\frac13$じゃん」
僕「うん、だから、その$\frac13$という数はどこから、なぜ出てきたのか。それが小学生のときのお兄ちゃんには納得いかなかったんだよ。 さっきの問題、ちゃんと答えるとこうだよね」
太い管だけを使ったときには、 $3$分で水槽の全体が水で満たされます。 だから、$1$分では水槽の$\frac13$が満たされます。
同じように、細い管だけを使ったときには、 $1$分で水槽の$\frac16$が満たされます。
ということは、太い管と細い管の両方を使ったときには、 $1$分で水槽の$\frac13 + \frac16$が満たされます。
$\frac13 + \frac16$を計算します。
$$ \begin{align*} \frac13 + \frac16 &= \frac6{18} + \frac3{18} \\ &= \frac{6 + 3}{18} \\ &= \frac{9}{18} \\ &= \frac12 \\ \end{align*} $$
ですから、太い管と細い管の両方を使ったときには、 $1$分で水槽の$\frac12$が満たされます。
よって、水槽全体が満たされるのは$2$分後です。
ユーリ「ユーリの答えであってるじゃん。何にも難しくない」
僕「お兄ちゃんがね、そのころ引っかかってたのは、《あれ？ 水槽の大きさはどうなったんだろう》というところなんだよ。 問題を読んだとき、心の中に水槽を思い浮かべるよね。 水槽と、そこに水を入れる管二本を想像する」
ユーリ「そだね」
僕「$3$分で水槽がいっぱいになるとか、$6$分で水槽がいっぱいになるとか、 そういうことも全部想像できる。 でも、いざ計算しようと思ったときに《水槽の大きさ》を求められない！ と思ったんだよ。それで何だか納得いかなかった」
ユーリ「そーなんだ。お兄ちゃん、考えすぎんじゃないの？」
僕「でも、さっきの解答のように、『$1$分たったときどうなるか』を考えたら、すごく納得した。つまり『$3$分でいっぱいになります』という問題文を、 『$1$分たった時点では$\frac13$が満たされています』のように言い換える。 そこで大きなジャンプがあったんだね」
ユーリ「ジャンプって？」
僕「思考のジャンプ。考えの飛躍ってこと。その言い換えができたとき、頭の中でカチカチカチっとつながった感じがしたんだ。 なぜかっていうと、$1$分たった時点の状態を想像すると、
- 太い管からの水は、水槽の$\frac13$を満たす。
- 細い管からの水は、水槽の$\frac16$を満たす。
ということだから、これなら両方を足すのも納得だ！……と思ったんだね」
ユーリ「小学生のお兄ちゃんが？」
僕「いや、もちろん、そんなふうにきちんと考えたわけじゃなくて、そう感じたということなんだけど」
ユーリ「へー、すごいね」
僕「そんなことないよ。でも、まだ引っかかっていることがあったんだ」
ユーリ「問題は解けたのに？」
僕「問題は解けたのに」
ユーリ「へー」
$1$が大事
僕「あのね。さっきの問題は『$1$分後にどうなっているか』を想像すればわかる。$\frac13$と$\frac16$を足すことができるからね。 でも、じゃあ、この$\frac13$や$\frac16$というのは何を考えていることになるんだろう…… そこが気になったんだよ。すごく便利な考え方だから」
ユーリ「小学生のときにそんなこと考えてたの？」
僕「いや、それはちょっと違うかも。いまユーリに話したように整然と考えてたわけじゃない。 そんなふうに言語化してたわけじゃない。 もっとぼんやりと『これって何だろう』と考えてたという意味だよ」
ユーリ「んで、結論は？」
僕「そのときは結局ピンと来なかったんだけど、『$1$が大事』ということはわかった。つまりね、
- 水槽全体を$1$として考える。
- $1$分たったときのようすを想像する。
という二つの考え方がうまくいくことに気付いたんだね」
ユーリ「ほーほー。『そのとき少年は気付いた、$1$が大事であることを』」
僕「なにナレーションやってるんだよ」
ユーリ「倒置法の練習」
僕「いまにして思えば、『水槽全体を$1$として考える』というのは《割合》を理解したってことだし、 『$1$分たったときのようすを想像する』というのは《速さ》を理解したってことなんだろうな」
ユーリ「速さ？」
僕「そうだね。正負の向きも考えていうなら、《速度》を理解したってこと。『$1$分たったときにどれだけ水がたまったか』 というのは『単位時間あたりの水量』だから、水の速度といってもいいよね」
ユーリ「そゆことか。速度っていえば、こないだお兄ちゃんから《微分》を教わったときに出てきた （『数学ガールの秘密ノート／微分を追いかけて』参照）」
僕「そうだね。あのときは《単位時間あたりの位置の変化》で《平均の速度》を考えた」
ユーリ「グラフたくさん描いたよね」
僕「うん、あのときは接線の傾きで微分を……なるほど。それはちょっとおもしろいかも」
ユーリ「なになに？」
僕「こんな問題はどうだろう」
グラフを描く
深さが$1$mで、円筒形をした水槽に水を入れます。
太い管を使って水槽に水を入れると、 $3$分で水槽がいっぱいになります。
時刻を$t$分とし、 底面から測った水面の位置を$x$メートルとし……
ユーリ「カンタン！ だって、ずーっと水がたまっていくんだもん。こんな感じ！」
僕「いやいや、早押しクイズじゃないんだから、最後まで問題聞いてほしいな」
深さが$1$mで、円筒形をした水槽に水を入れます。
太い管を使って水槽に水を入れると、 $3$分で水槽がいっぱいになります。
時刻を$t$分とし、 底面から測った水面の位置を$x$メートルとし、 水面が上がっていく速度を分速$v$メートルとする。
時刻$t$と速度$v$の関係を表すグラフを描きましょう。
ユーリ「うわずるい！ さっきのなし！ こーだね！」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに13巻以上も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
