第131回　積もり積もる（前編）｜数学ガールの秘密ノート｜結城浩

新刊『暗号技術入門第3版秘密の国のアリス』好評発売中！

登場人物紹介
僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。論理的な話は好きだけれど飽きっぽい。

$ \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} % HIRAGANA LETTER NO (U+306E) $

僕の部屋

ユーリ「ねーお兄ちゃん、算数って変な問題あるよね」

僕「変な問題って？」

ユーリ「ほら、『水槽に水を入れるときに何分かかりますか』みたいなの」

僕「算数でよくある問題だね。でも何も変じゃないよ」

ユーリ「だってさ『実はその水槽には穴が開いていて、水が決まった量だけ流れ出しています。さて』みたいなの……それって、水を入れる前に穴ふさいだほーがいいじゃん！」

僕「ああ、そういうことね。ユーリの言いたいことはわかるけど。算数の問題は自然に読めるときもあるけど、実際の生活に当てはめるとき、おかしな場合は確かにあるなあ」

ユーリ「こないだね、テストで計算ミスして、人間の歩くスピードが《時速300キロ》になった友達いたよ」

僕「あはは、そりゃおかしいな。新幹線より速い。でもそれは計算ミスだから、出題者は悪くないよね」

ユーリ「それでも『水槽に穴が開いていて』っていうのはちょっとなー」

僕「そういえば、小学校のときすごく悩んだ問題があったな。算数の問題なんだけど」

ユーリ「へー、どんなの？」

僕「話したことなかったっけ。水槽の問題だよ」

水槽の問題

問題1（二本の管と水槽）
円筒形の水槽に水を入れましょう。
太い管と細い管の二本を使って水を入れることができます。
太い管だけを使ったときには、 $3$分で水槽はいっぱいになります。
細い管だけを使ったときには、 $6$分で水槽はいっぱいになります。
それでは、太い管と細い管の両方を使って水を入れたなら、水槽は何分でいっぱいになりますか。

ユーリ「これ、難しーの？」

僕「ユーリだったらどうやって解く？」

ユーリ「普通に解けばいーんでしょ？　太いのが$\frac13$で細いのが$\frac16$で、足したらえっと$\frac{9}{18}$だから$\frac12$なので、$2$分。$2$分でいっぱいになる！」

僕「早いな！」

ユーリ「へへ。難しくないじゃん」

僕「小学生のときのお兄ちゃんには難しかったんだよ」

ユーリ「へー、何でなんで？　どこが難しかったの？」

僕「ユーリはいま一言で『太いのが$\frac13$』って答えたけど、その$\frac13$はどこから来たんだろう」

ユーリ「だって、太い管なら$3$分で水槽がいっぱいになるんだから、$\frac13$じゃん」

僕「うん、だから、その$\frac13$という数はどこから、なぜ出てきたのか。それが小学生のときのお兄ちゃんには納得いかなかったんだよ。さっきの問題、ちゃんと答えるとこうだよね」

解答1（二本の管と水槽）
太い管だけを使ったときには、 $3$分で水槽の全体が水で満たされます。だから、$1$分では水槽の$\frac13$が満たされます。
同じように、細い管だけを使ったときには、 $1$分で水槽の$\frac16$が満たされます。
ということは、太い管と細い管の両方を使ったときには、 $1$分で水槽の$\frac13 + \frac16$が満たされます。
$\frac13 + \frac16$を計算します。
$$ \begin{align*} \frac13 + \frac16 &= \frac6{18} + \frac3{18} \\ &= \frac{6 + 3}{18} \\ &= \frac{9}{18} \\ &= \frac12 \\ \end{align*} $$
ですから、太い管と細い管の両方を使ったときには、 $1$分で水槽の$\frac12$が満たされます。
よって、水槽全体が満たされるのは$2$分後です。

ユーリ「ユーリの答えであってるじゃん。何にも難しくない」

僕「お兄ちゃんがね、そのころ引っかかってたのは、《あれ？　水槽の大きさはどうなったんだろう》というところなんだよ。問題を読んだとき、心の中に水槽を思い浮かべるよね。水槽と、そこに水を入れる管二本を想像する」

ユーリ「そだね」

僕「$3$分で水槽がいっぱいになるとか、$6$分で水槽がいっぱいになるとか、そういうことも全部想像できる。でも、いざ計算しようと思ったときに《水槽の大きさ》を求められない！　と思ったんだよ。それで何だか納得いかなかった」

ユーリ「そーなんだ。お兄ちゃん、考えすぎんじゃないの？」

僕「でも、さっきの解答のように、『$1$分たったときどうなるか』を考えたら、すごく納得した。つまり『$3$分でいっぱいになります』という問題文を、『$1$分たった時点では$\frac13$が満たされています』のように言い換える。そこで大きなジャンプがあったんだね」

ユーリ「ジャンプって？」

僕「思考のジャンプ。考えの飛躍ってこと。その言い換えができたとき、頭の中でカチカチカチっとつながった感じがしたんだ。なぜかっていうと、$1$分たった時点の状態を想像すると、

太い管からの水は、水槽の$\frac13$を満たす。
細い管からの水は、水槽の$\frac16$を満たす。

ということだから、これなら両方を足すのも納得だ！……と思ったんだね」

ユーリ「小学生のお兄ちゃんが？」

僕「いや、もちろん、そんなふうにきちんと考えたわけじゃなくて、そう感じたということなんだけど」

ユーリ「へー、すごいね」

僕「そんなことないよ。でも、まだ引っかかっていることがあったんだ」

ユーリ「問題は解けたのに？」

僕「問題は解けたのに」

ユーリ「へー」

$1$が大事

僕「あのね。さっきの問題は『$1$分後にどうなっているか』を想像すればわかる。$\frac13$と$\frac16$を足すことができるからね。でも、じゃあ、この$\frac13$や$\frac16$というのは何を考えていることになるんだろう…… そこが気になったんだよ。すごく便利な考え方だから」

ユーリ「小学生のときにそんなこと考えてたの？」

僕「いや、それはちょっと違うかも。いまユーリに話したように整然と考えてたわけじゃない。そんなふうに言語化してたわけじゃない。もっとぼんやりと『これって何だろう』と考えてたという意味だよ」

ユーリ「んで、結論は？」

僕「そのときは結局ピンと来なかったんだけど、『$1$が大事』ということはわかった。つまりね、

水槽全体を$1$として考える。
$1$分たったときのようすを想像する。

という二つの考え方がうまくいくことに気付いたんだね」

ユーリ「ほーほー。『そのとき少年は気付いた、$1$が大事であることを』」

僕「なにナレーションやってるんだよ」

ユーリ「倒置法の練習」

僕「いまにして思えば、『水槽全体を$1$として考える』というのは《割合》を理解したってことだし、『$1$分たったときのようすを想像する』というのは《速さ》を理解したってことなんだろうな」

ユーリ「速さ？」

僕「そうだね。正負の向きも考えていうなら、《速度》を理解したってこと。『$1$分たったときにどれだけ水がたまったか』というのは『単位時間あたりの水量』だから、水の速度といってもいいよね」

ユーリ「そゆことか。速度っていえば、こないだお兄ちゃんから《微分》を教わったときに出てきた（『数学ガールの秘密ノート／微分を追いかけて』参照）」

僕「そうだね。あのときは《単位時間あたりの位置の変化》で《平均の速度》を考えた」

ユーリ「グラフたくさん描いたよね」

僕「うん、あのときは接線の傾きで微分を……なるほど。それはちょっとおもしろいかも」

ユーリ「なになに？」

僕「こんな問題はどうだろう」

グラフを描く

問題2（？）
深さが$1$mで、円筒形をした水槽に水を入れます。
太い管を使って水槽に水を入れると、 $3$分で水槽がいっぱいになります。
時刻を$t$分とし、底面から測った水面の位置を$x$メートルとし……

ユーリ「カンタン！　だって、ずーっと水がたまっていくんだもん。こんな感じ！」

僕「いやいや、早押しクイズじゃないんだから、最後まで問題聞いてほしいな」

問題2
深さが$1$mで、円筒形をした水槽に水を入れます。
太い管を使って水槽に水を入れると、 $3$分で水槽がいっぱいになります。
時刻を$t$分とし、底面から測った水面の位置を$x$メートルとし、水面が上がっていく速度を分速$v$メートルとする。
時刻$t$と速度$v$の関係を表すグラフを描きましょう。