第131回 積もり積もる(前編)

「積分を見つめて」第1章前編。グラフを描く問題をユーリが考える。「でも、それって何だか変じゃない?」
登場人物紹介
:数学が好きな高校生。
ユーリのいとこの中学生。のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだけれど飽きっぽい。

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僕の部屋

ユーリ「ねーお兄ちゃん、算数って変な問題あるよね」

「変な問題って?」

ユーリ「ほら、『水槽に水を入れるときに何分かかりますか』みたいなの」

「算数でよくある問題だね。でも何も変じゃないよ」

ユーリ「だってさ『実はその水槽には穴が開いていて、水が決まった量だけ流れ出しています。さて』みたいなの……それって、 水を入れる前に穴ふさいだほーがいいじゃん!」

「ああ、そういうことね。ユーリの言いたいことはわかるけど。算数の問題は自然に読めるときもあるけど、実際の生活に当てはめるとき、 おかしな場合は確かにあるなあ」

ユーリ「こないだね、テストで計算ミスして、人間の歩くスピードが《時速300キロ》になった友達いたよ」

「あはは、そりゃおかしいな。新幹線より速い。でもそれは計算ミスだから、出題者は悪くないよね」

ユーリ「それでも『水槽に穴が開いていて』っていうのはちょっとなー」

「そういえば、小学校のときすごく悩んだ問題があったな。算数の問題なんだけど」

ユーリ「へー、どんなの?」

「話したことなかったっけ。水槽の問題だよ」

水槽の問題

問題1(二本の管と水槽)
円筒形の水槽に水を入れましょう。
太い管と細い管の二本を使って水を入れることができます。
太い管だけを使ったときには、 $3$分で水槽はいっぱいになります。
細い管だけを使ったときには、 $6$分で水槽はいっぱいになります。
それでは、太い管と細い管の両方を使って水を入れたなら、 水槽は何分でいっぱいになりますか。

ユーリ「これ、難しーの?」

「ユーリだったらどうやって解く?」

ユーリ「普通に解けばいーんでしょ? 太いのが$\frac13$で細いのが$\frac16$で、足したらえっと$\frac{9}{18}$だから$\frac12$なので、$2$分。$2$分でいっぱいになる!」

「早いな!」

ユーリ「へへ。難しくないじゃん」

「小学生のときのお兄ちゃんには難しかったんだよ」

ユーリ「へー、何でなんで? どこが難しかったの?」

「ユーリはいま一言で『太いのが$\frac13$』って答えたけど、その$\frac13$はどこから来たんだろう」

ユーリ「だって、太い管なら$3$分で水槽がいっぱいになるんだから、$\frac13$じゃん」

「うん、だから、その$\frac13$という数はどこから、なぜ出てきたのか。それが小学生のときのお兄ちゃんには納得いかなかったんだよ。 さっきの問題、ちゃんと答えるとこうだよね」

解答1(二本の管と水槽)
太い管だけを使ったときには、 $3$分で水槽の全体が水で満たされます。 だから、$1$分では水槽の$\frac13$が満たされます。
同じように、細い管だけを使ったときには、 $1$分で水槽の$\frac16$が満たされます。
ということは、太い管と細い管の両方を使ったときには、 $1$分で水槽の$\frac13 + \frac16$が満たされます。
$\frac13 + \frac16$を計算します。
$$ \begin{align*} \frac13 + \frac16 &= \frac6{18} + \frac3{18} \\ &= \frac{6 + 3}{18} \\ &= \frac{9}{18} \\ &= \frac12 \\ \end{align*} $$
ですから、太い管と細い管の両方を使ったときには、 $1$分で水槽の$\frac12$が満たされます。
よって、水槽全体が満たされるのは$2$分後です。

ユーリ「ユーリの答えであってるじゃん。何にも難しくない」

「お兄ちゃんがね、そのころ引っかかってたのは、《あれ? 水槽の大きさはどうなったんだろう》というところなんだよ。 問題を読んだとき、心の中に水槽を思い浮かべるよね。 水槽と、そこに水を入れる管二本を想像する」

ユーリ「そだね」

「$3$分で水槽がいっぱいになるとか、$6$分で水槽がいっぱいになるとか、 そういうことも全部想像できる。 でも、いざ計算しようと思ったときに《水槽の大きさ》を求められない!  と思ったんだよ。それで何だか納得いかなかった」

ユーリ「そーなんだ。お兄ちゃん、考えすぎんじゃないの?」

「でも、さっきの解答のように、『$1$分たったときどうなるか』を考えたら、すごく納得した。つまり『$3$分でいっぱいになります』という問題文を、 『$1$分たった時点では$\frac13$が満たされています』のように言い換える。 そこで大きなジャンプがあったんだね」

ユーリ「ジャンプって?」

「思考のジャンプ。考えの飛躍ってこと。その言い換えができたとき、頭の中でカチカチカチっとつながった感じがしたんだ。 なぜかっていうと、$1$分たった時点の状態を想像すると、

  • 太い管からの水は、水槽の$\frac13$を満たす。
  • 細い管からの水は、水槽の$\frac16$を満たす。

ということだから、これなら両方を足すのも納得だ!……と思ったんだね」

ユーリ「小学生のお兄ちゃんが?」

「いや、もちろん、そんなふうにきちんと考えたわけじゃなくて、そう感じたということなんだけど」

ユーリ「へー、すごいね」

「そんなことないよ。でも、まだ引っかかっていることがあったんだ」

ユーリ「問題は解けたのに?」

「問題は解けたのに」

ユーリ「へー」

$1$が大事

「あのね。さっきの問題は『$1$分後にどうなっているか』を想像すればわかる。$\frac13$と$\frac16$を足すことができるからね。 でも、じゃあ、この$\frac13$や$\frac16$というのは何を考えていることになるんだろう…… そこが気になったんだよ。すごく便利な考え方だから」

ユーリ「小学生のときにそんなこと考えてたの?」

「いや、それはちょっと違うかも。いまユーリに話したように整然と考えてたわけじゃない。 そんなふうに言語化してたわけじゃない。 もっとぼんやりと『これって何だろう』と考えてたという意味だよ」

ユーリ「んで、結論は?」

「そのときは結局ピンと来なかったんだけど、『$1$が大事』ということはわかった。つまりね、

  • 水槽全体を$1$として考える。
  • $1$分たったときのようすを想像する。

という二つの考え方がうまくいくことに気付いたんだね」

ユーリ「ほーほー。『そのとき少年は気付いた、$1$が大事であることを』」

「なにナレーションやってるんだよ」

ユーリ「倒置法の練習」

「いまにして思えば、『水槽全体を$1$として考える』というのは《割合》を理解したってことだし、 『$1$分たったときのようすを想像する』というのは《速さ》を理解したってことなんだろうな」

ユーリ「速さ?」

「そうだね。正負の向きも考えていうなら、《速度》を理解したってこと。『$1$分たったときにどれだけ水がたまったか』 というのは『単位時間あたりの水量』だから、水の速度といってもいいよね」

ユーリ「そゆことか。速度っていえば、こないだお兄ちゃんから《微分》を教わったときに出てきた (『数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて』参照)」

「そうだね。あのときは《単位時間あたりの位置の変化》で《平均の速度》を考えた」

ユーリ「グラフたくさん描いたよね」

「うん、あのときは接線の傾きで微分を……なるほど。それはちょっとおもしろいかも」

ユーリ「なになに?」

「こんな問題はどうだろう」

グラフを描く

問題2(?)
深さが$1$mで、円筒形をした水槽に水を入れます。
太い管を使って水槽に水を入れると、 $3$分で水槽がいっぱいになります。
時刻を$t$分とし、 底面から測った水面の位置を$x$メートルとし……

ユーリ「カンタン! だって、ずーっと水がたまっていくんだもん。こんな感じ!」


「いやいや、早押しクイズじゃないんだから、最後まで問題聞いてほしいな」

問題2
深さが$1$mで、円筒形をした水槽に水を入れます。
太い管を使って水槽に水を入れると、 $3$分で水槽がいっぱいになります。
時刻を$t$分とし、 底面から測った水面の位置を$x$メートルとし、 水面が上がっていく速度を分速$v$メートルとする。
時刻$t$と速度$v$の関係を表すグラフを描きましょう。

ユーリ「うわずるい! さっきのなし! こーだね!」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の女子高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わってください。本シリーズはすでに何冊も書籍化されている人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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hyuki 簡単な算数の問題、あなたは解けるかな?Web連載「数学ガールの秘密ノート」ではここから積分の話に進みます。 https://t.co/ss2fJVc8kb https://t.co/Zfm0fHWbHn 2年弱前 replyretweetfavorite

hyuki あけましておめでとうございます。 金曜日は「数学ガールの秘密ノート」の日。Web連載『数学ガールの秘密ノート/積分を見つめて』第131回〜140回を無料公開します!公式 https://t.co/ss2fJVc8kb (第131回) 2年弱前 replyretweetfavorite

hyuki 金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。最新回はお休み。無料リンク2個をツイート。 公式 【12/11 21:11まで無料 】 https://t.co/42BDJh3Q0n 2年弱前 replyretweetfavorite

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