第125回　まちがった正しさ（前編）｜数学ガールの秘密ノート｜結城浩

登場人物紹介
僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。論理的な話は好きだけれど飽きっぽい。

$ \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} % HIRAGANA LETTER NO (U+306E) \newcommand{\ABS}[1]{|#1|} \newcommand{\GEQ}{\geqq} \newcommand{\LEQ}{\leqq} $

僕の家

僕とユーリはリビングでテレビを見ていた。

僕「ほらほら、またこれだよ」

ユーリ「何が？」

僕「いまのニュースに出ていたじゃないか」

ユーリ「え？　何が出たっけ」

僕「グラフだよ。よく出るんだよ」

ユーリ「意味わかんない。そりゃグラフが出るときもあるよね。さっきは何だっけ。よく見てなかったけど……折れ線グラフ？」

僕「そうだね。ねえ、ユーリはグラフのこと《わかりやすい》と思う？」

ユーリ「来たな。お兄ちゃんの《先生トーク》。その手には引っかからないよーだ！」

僕「先生トークなんてしてないよ」

ユーリ「してたしてた。『グラフのこと《わかりやすい》と思う？』なーんて、当たり前の質問するじゃん？　そこに引っかかって、『そーだね！　わかりやすいと思うよ』って答えるじゃん？　そしたらお兄ちゃんは『そう思うよね、でも違うんだ』と上から目線で言う。なんとゆーお決まりの流れ。これを《先生トーク》と言わずになんと呼ぶ」

僕「いきなり饒舌になったな」

ユーリ「そろそろ《饒舌才媛》の二つ名も、ユーリのものかにゃ？」

僕「それはさておき、グラフのこと《わかりやすい》と思う？」

ユーリ「……そりゃー、わかりやすいんじゃない？　だってさ、数字がばらばら並んだ表を見せられてもよくわかんないもん。グラフのほうがずっとわかりやすい」

僕「そう思うよね。でも違うんだ」

ユーリ「……」

僕「世の中の多くの人が、グラフのことをわかりやすいと思う。確かに、表を見るよりもグラフのほうがパッとみてわかる……ように感じる」

ユーリ「でも違う？」

僕「うん。パッとみてわかるのはいいんだけど、問題は《グラフを見たときに、ほんとうに正しくわかるか》なんだよ」

ユーリ「えー、見てわかるなら、そりゃ、正しくわかるんじゃない？」

僕「具体的なグラフを作ってみよう。ちょっとテレビ切って」

ユーリ「へーい」

表を作る

僕「これから話すのは架空のデータだよ。たとえば……そうだなあ、ある会社の社員数を調べるとする」

ユーリ「ふんふん？　たとえば『ユーリ法律事務所』とか」

僕「法律事務所？　まあ、何でもいいんだけどね。ユーリが社長なのかな」

ユーリ「ふふ」

僕「ともかく、その会社の社員数を考える。初めの年、つまり$0$年目は社員が$100$人で、$1$年目は$117$人とするよ。たとえば」

ユーリ「$1$年目、社員が増えたんだ」

僕「そうそう。さらに、毎年調べると、$126$人、$133$人、$135$人、$136$人と変化していった……としよう」

ユーリ「いやー、そんなにペラペラ数字を言われましても」

僕「うん、だから、こういうときには表を作るといいよね。表を使えば、毎年の社員数がはっきりとわかる」

ユーリ「そだね」

社員数の表を作る
$$ \begin{array}{c|cccccccc} \text{年数} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{人} & 100 & 117 & 126 & 133 & 135 & 136 \\ \end{array} $$

僕「これを見ると……何がわかる？」

ユーリ「社員数がわかる」

僕「そうなんだけど、ほかにどんなことがいえる？」

ユーリ「増えてる」

僕「うん、社員数が増えていることがわかるね。数字を順番に見ていくとだんだん増えているから」

ユーリ「簡単じゃん」

僕「この会社の社長が……ユーリ社長が、表をもとにして、社員数の変化のようすを調べようと思った。その場合は、たとえば、折れ線グラフを描いてみることになる。 棒グラフでもいいけど」

ユーリ「うん」

僕「折れ線グラフを作るのは難しくないよね。こんな感じになる」

社員数の折れ線グラフ

ユーリ「うん、問題ないよ。やっぱり社員数は増えてるね。まー少しずつだけど」

僕「でも、ユーリ社長はこれが気にくわない」

ユーリ「は？」

大きく見せたい

僕「ユーリ法律事務所を経営している社長のユーリは、社員数の増加が少しずつなのが気にくわないとする」

ユーリ「じゃ、たくさん雇えばいいじゃん」

僕「なかなかそうもいかない。だから、こんなことを考えた。『グラフを修正して、社員数の増加が大きいように見せてやろう！』」

ユーリ「データのカイザンだ！」

僕「いやいや、データを改竄するわけじゃない。正義感あふれるユーリ社長は、そんなことしないよね？」

ユーリ「もちろんじゃ」

僕「グラフの下をちょっと切り取るだけだよ。こんなふうに」

下を切り取った折れ線グラフ

ユーリ「ほほー。確かに、社員がぐっと増えたように見える……かな」

僕「グラフを見るときに大事なことは何だか知ってる？」

ユーリ「大事なこと……軸を見るだっけ」

僕「そうだね！　グラフを見るときには必ず軸と目盛りをチェックするんだよ」

ユーリ「はいはい、センセー」

僕「下を切り取ったグラフの縦軸をよく見ると、『ここを省略してますよ』という波線が入っているよね、ほら」

ユーリ「あるねー」

僕「だから、データの改竄をしているわけでもないし、折れ線グラフに何かウソがあるわけでもない。つまりこれは《正しいグラフ》だよね」

ユーリ「うん、正しーっちゃ正しーけど……」

僕「でも、ユーリ社長はこれでも気にくわない」

ユーリ「は？」

もっと大きく見せたい

僕「グラフの下を切り取っただけだと、社員数の増加はそれほど大きく見えない」

ユーリ「だって、データは同じなんだもん」

僕「そこで、こんなふうにグラフを縦に引き延ばしてみた」

切り取ってさらに引き延ばした折れ線グラフ

ユーリ「何これすごい！　ってか、何これひどい！　社員数がめちゃめちゃ増えてるみたいじゃん！」

僕「でも、グラフでウソをついているわけじゃない。グラフの縦軸の目盛りをよく見ると、さっきの《下を切り取った折れ線グラフ》よりも間隔が大きくなっているから、グラフが表している数値そのものを改竄しているわけじゃない。だから、これも《正しいグラフ》といえる」

ユーリ「……ねー、お兄ちゃん。確かにそーかもしんないけど、ユーリは正しくないと思っちゃう。だって、社員数の増加が実際よりも大きく見えるもん」

僕「そうだね。そこは大事なところ。そして微妙なところでもある。繰り返しになるけれど……下を切り取っても、さらに引き延ばしても、表している数値をごまかしているわけじゃないから、あくまでこれは正しいグラフといえるんだよ。ただし、そこにグラフを作る人の意図が入り込んでいることは確かだね」

ユーリ「意図？」

僕「そう。グラフを使って社員数の増加を大きく見せたい、という意図だね」

ユーリ「そんなのまちがっている！」

僕「ところが必ずしもそうじゃない。さっきのように切り取って引き延ばすと、細かい変化の様子が拡大されてよくわかるようになる。つまり、場合によってはデータのようすをはっきりと見せることになるんだ。切り取ったから悪い！　引き延ばしたからまちがっている！　のようにいちがいに決めつけることはできないんだよ」

ユーリ「そーかなー」

僕「だから、グラフを見る側のほうで注意深く読み取る必要がある」

ユーリ「どゆこと？」

僕「ここまでの話は《グラフを見せる側》の話だった。グラフを見せる側が切り取って拡大して『ほらすごいだろ』といってきたときには、《グラフを見る側》が『もしも下を切り取らなかったら、どんな印象を与えるグラフになるんだろう』と考えればいい。そして、自分でグラフを作り直してみる。そうすれば、ユーリ社長がいくら『社員数はこんなにすごく増加している！』とグラフで主張しても、反論するグラフを作ることができるわけだね」

ユーリ「にゃるほど……」

僕「ところでここに、ユーリ社長に反旗を翻す専務が登場する」

ユーリ「は？」

もっと小さく見せたい

僕「専務だよ。専務は次期社長の座を狙っていて、社長の主張に反対したい……としよう。つまり『実のところ、社員数はそれほど増加していない』という印象を、グラフを使って他の人に与えたいとする」

ユーリ「陰謀渦巻く会社だにゃ」

僕「そこで、こんな表を作った。社員数の《前年からの増加分》を考えることにしたんだ」

前年からの増加分を表にした
$$ \begin{array}{c|cccccccc} \text{年数} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{人} & 100 & 117 & 126 & 133 & 135 & 136 \\ \hline \text{人（前年から$\HIRANO$増加分）} & - & 17 & 9 & 7 & 2 & 1 \\ \end{array} $$

ユーリ「えーと、$1$年目の$17$人は、$117 - 100$ってこと？」

僕「そうだね。$0$年目は前年を考えないから、何もなし。$-$とだけ書いた.あとの$17,9,7,2,1$は、それぞれ$117-100, 126-117, \ldots$として……」

ユーリ「階差数列だ！」

僕「あ、そうなるね。前年からの増加分」

ユーリ「それで？　これが何になるの？」